基本不等式第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

《2.2基本不等式(第一課時(shí))》教學(xué)設(shè)計(jì)?教學(xué)目標(biāo).理解基本不等式'布<Wb(a>0,b>0),會(huì)利用不等式性質(zhì)證明，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)；.了解基本不等式的幾何解釋，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)；.結(jié)合具體實(shí)例，形成用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問(wèn)題的基本模型，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).?教學(xué)重難點(diǎn)?教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的定義及運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式的證明和運(yùn)用基本不等式求最值.?課前準(zhǔn)備PPT課件，及GEOGEBRA制作的動(dòng)畫課件.?教學(xué)過(guò)程★資源名稱：【情景演示】基本不等式引入★使用說(shuō)明：本資源以歐拉智改羊圈的小故事為出發(fā)點(diǎn)，引出基本不等式的知識(shí).注：此圖片為視頻截圖，如需使用資源，請(qǐng)于資源庫(kù)調(diào)用.問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本第44頁(yè)，說(shuō)一說(shuō)今天我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么？在不等式中起著怎樣的作用？師生活動(dòng)：學(xué)生自主閱讀課本，思考并回答，教師給予簡(jiǎn)單總結(jié).預(yù)設(shè)的答案：基本不等式是一種重要而基本的不等式類型，與乘法公式在代數(shù)運(yùn)算的地位一樣，在解決不等式問(wèn)題中有重要的作用，它之所以被稱為“基本不等式”，主要是因?yàn)樗梢宰鳛椴坏仁秸摰幕径ɡ?，成為支撐其他許多非常重要結(jié)果的基石。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從整體上把握本節(jié)內(nèi)容，了解基本不等式在解決不等式問(wèn)題有重要的作用.二、新知探究.基本不等式的定義問(wèn)題2：閱讀課本，思考：什么是基本不等式？它是怎樣得到的？師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀課本回答，教師總結(jié)：基本不等式是將上節(jié)課所學(xué)的重要不等及2+歷三2ab中用乙，品代替a,b并變形得到的，并板書：yR<alb.2追問(wèn)：不等式中a,b的范圍是什么？它和原不等式中的范圍一樣嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生自主反思后回答，a,b均為非負(fù)數(shù)，如果a,b中有負(fù)數(shù)，該不等式不成立.教師指出基本不等式的定義要求a,b均為正數(shù).同時(shí)總結(jié)：我們稱其為基本不等式，其中也叫做正數(shù)a,b2的算術(shù)平均數(shù)，abb叫做a,b的幾何平均數(shù)，基本不等式表明兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)上一節(jié)的重要不等式得到基本不等式，同時(shí)明確兩個(gè)不等式之間的聯(lián)系，通過(guò)分析其特征，得到基本不等式的代數(shù)解釋，進(jìn)一步加深對(duì)其的理解..基本不等式的證明問(wèn)題3：你能否利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式呢？請(qǐng)你試一試。師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，用作差比較證明，教師給與肯定.追問(wèn)1：在前面我們學(xué)習(xí)過(guò)充分條件和必要條件，你能否從所證明的式子出發(fā)，尋找使不等式成立的充分條件，從而形成證明思路？師生活動(dòng)：師生共同分析，要證明<a±b,只需證明a+b>2丫益，從而只需證a+b-2、ab>0,2只要證人/一品）2>0,而3--bb）2>0顯然成立.教師指出只要把過(guò)程倒過(guò)來(lái)，就可證明出基本不等式了，并要求學(xué)生自己寫出證明過(guò)程.追問(wèn)2：上述證明中，每一步推理的依據(jù)是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生對(duì)照自己所寫的證明分別回答每一步的依據(jù).追問(wèn)3：上述證明叫做“分析法”.你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生討論后回答.教師指出分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.追問(wèn)4：根據(jù)教科書上的證明過(guò)程，你能說(shuō)說(shuō)分析法的證明格式是怎樣的嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答.教師總結(jié)：由于分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以分析法在書寫過(guò)程中必須有相應(yīng)的文字說(shuō)明：一般每一步的推理都用“要證……只要證……”的格式，當(dāng)推導(dǎo)到一個(gè)明顯成立的條件之后，指出“顯然XXX成立”.設(shè)計(jì)意圖：利用不等式的性質(zhì)，用分析法證明基本不等式，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分析法的證明過(guò)程和證明格式，提高學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)..基本不等式的幾何解釋問(wèn)題4：如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b，過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD,BD.你能利用這個(gè)圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？師生活動(dòng)：如圖1,連接OD，教師引導(dǎo)學(xué)生先尋找圖中的不等關(guān)系，利用動(dòng)畫，觀察從弦DE長(zhǎng)和圓的直徑AB這兩個(gè)幾何元素在變化中的不等關(guān)系，及半弦CDWOD，并將此不等關(guān)系用符號(hào)表示.學(xué)生獨(dú)立思考，并說(shuō)出思路:半徑OD為"b，利用射影定理可得弦DE長(zhǎng)的一半CD為abb，由2cd<od，得至ha<3.教師評(píng)價(jià)并總結(jié)，基本不等式可以利用“圓2中直徑不小于任意一條弦”得到解釋.當(dāng)且僅當(dāng)弦DE過(guò)圓心時(shí)，二者相等.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生觀察圖形，先將圖形中的不等關(guān)系找出來(lái)，再用代數(shù)語(yǔ)言表示，從而獲得基本不等式的幾何解釋，提高學(xué)生數(shù)學(xué)直觀的核心素養(yǎng).★資源名稱：【數(shù)學(xué)探究】基本不等式a+b22根號(hào)（ab）★使用說(shuō)明：本資源通過(guò)交互式動(dòng)畫展示了基本不等式的幾何意義，運(yùn)用本資源，可以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加教學(xué)效果，提高教學(xué)效率.注：此圖片為“動(dòng)畫”截圖，如需使用資源，請(qǐng)于資源庫(kù)調(diào)用.4.基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1已知%>0，求x+1的最小值.x追問(wèn)：求解的依據(jù)什么？怎樣應(yīng)用？師生活動(dòng)：教師通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生分析，明確求解的依據(jù)是基本不等式，再引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題與公式對(duì)比，找到x+1和基本不等式的聯(lián)系，讓學(xué)生獨(dú)立思考后，進(jìn)行書寫，教師基于學(xué)生書寫的不規(guī)范進(jìn)行糾x正.1 .1 1預(yù)設(shè)的答案：因?yàn)閤>0，所以x+>2,,x-=2,x\x當(dāng)且僅當(dāng)x=-時(shí)，即x2=1,x=1時(shí)，等號(hào)成立.因此最小值為2.x變式：(1)已知x>2，求x+的最小值；x(2)求x+1的最小值.x師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成。教師依據(jù)學(xué)生的解答或困難，對(duì)比例1分析其求解中存在的問(wèn)題，并用軟件展示函數(shù)尸x+1的讓學(xué)生觀察。x追問(wèn)1：比較三個(gè)問(wèn)題，你能總結(jié)什么條件的代數(shù)式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？師生活動(dòng)：學(xué)生自主反思后，發(fā)表自己的意見(jiàn)，相互補(bǔ)充，形成共識(shí).教師將討論結(jié)果進(jìn)行匯總，并進(jìn)行總結(jié)，明確若代數(shù)式能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正數(shù)積為定值，可以利用基本不等式求和的最小值；若代數(shù)式能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正數(shù)和為定值，可以利用基本不等式求積的最大值.在利用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”的條件.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典例分析，讓學(xué)生掌握利用基本不等式解決哪些代數(shù)式的最值問(wèn)題，及在利用不等式時(shí)應(yīng)注意的三個(gè)條件，在具體情境中理解基本不等式，為學(xué)生求解代數(shù)式的最值問(wèn)題提供示范.同時(shí)，為下一道例題應(yīng)用基本不等式求最值的代數(shù)式提供范例.例2已知x，y都是正數(shù)，求證：(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2、方；一(2)如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值-S2.師生活動(dòng)：學(xué)生思考并書寫證明過(guò)程后展示，師生共同補(bǔ)充完善.教師總結(jié)用基本不等式解決最值問(wèn)題有兩個(gè)基本模型：”兩個(gè)正數(shù)的積為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，求它們的和的最小值”，或者“兩個(gè)正數(shù)的和為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，求它們的積的最大值”.設(shè)計(jì)意圖：本題是例1的總結(jié)和提升，看似簡(jiǎn)單，但是給出了用基本不等式能夠解決的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型，為用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題創(chuàng)造了條件.提升學(xué)生數(shù)學(xué)模型的思想.三、歸納總結(jié)問(wèn)題5：本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了基本不等式，請(qǐng)同學(xué)們回顧今天所學(xué)內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：(1)什么是基本不等式？如何推導(dǎo)基本不等式？(2)基本不等式的代數(shù)特征是什么？如何從幾何圖形上進(jìn)行解釋？(3)基本不等式可以解決哪兩類數(shù)學(xué)問(wèn)題？使用的條件是什么？應(yīng)注意什么？師生活動(dòng)：先由學(xué)生反思回答，教師糾正并提升.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)內(nèi)容，對(duì)所學(xué)的基本不等式有初步的掌握，為下一節(jié)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用做好鋪墊.作業(yè)布置：習(xí)題2.2第1,2,4,5題.四、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì).已知a,b￡R,求證ab<(a；.)2.設(shè)計(jì)意圖：考查證明不等式的思路，并注意不能用基本不等式去求證，進(jìn)一步掌握基本不等式使用的條件..(1)已知%>0，求2%+1的最小值及相應(yīng)的％值.%(2)已知0<%<1,求％(1-%)的最大值及相應(yīng)的％值.設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生利用基本不等式求最大值和最小值的能力..已知%,y都是正數(shù)，且%豐y，求證：%+y>2； ⑵*<晶.y% %+y設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生利用基本不等式證明不等式及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力..已知直角三角形的面積等于50cm2,當(dāng)兩條直角邊的長(zhǎng)度各為多少時(shí)，兩條直角邊的和最?。孔钚≈凳嵌嗌?？設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題能力.參考答案：.證明：要證明ab<(*)2，只需證明ab<°a+b：+2a,即4ab<a2+b2+2ab，即a2+b2-2ab>0，即需證(a-b)2>0而(a-b)2>0顯然成立，只要把式子倒過(guò)來(lái)，就可以推出原不等式成立..(1)解：?/x>0,.，.2%+->2/2%,=2C2,x%x當(dāng)且僅當(dāng)2x=-,即x=2時(shí)時(shí)，等號(hào)成立.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x 2所以2x+1的最小值為2、紜，這時(shí)x=—.\o"CurrentDocument"x 2x+1—x 1(2):0<x<1,?，?1-x>0，由x(1-x)<(x2x)2=4當(dāng)且僅當(dāng)1-x二x，即x=1時(shí)取等號(hào).2.證明(1)/x,y都是正數(shù)，???x+義>2；x-2=2，又由于x豐y，所以等號(hào)取不到.yxyx.?