北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)教案 3.3 垂徑定理

課題名稱：第三章圓§3.3垂徑定理姓名工作單位年級學(xué)科九年級數(shù)學(xué)教材版本義務(wù)教育北師大版九年級下冊學(xué)情分析：學(xué)生在七、八年級已經(jīng)學(xué)習(xí)過軸對稱圖形的有關(guān)概念和性質(zhì)，等腰三角形的對稱性，以及本節(jié)定理的證明要用到的三角形全等的知識，在本章前兩節(jié)課中也已經(jīng)初步理解了圓的軸對稱性和圓弧的表示等知識，具備探索證明幾何定理的基本技能。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已掌握探究圖形性質(zhì)的不同手段和方法，具備幾何定理的分析、探索和證明能力。垂徑定理及其逆定理的文字表述是一個(gè)難點(diǎn)，教師如果直接給出，則學(xué)生就少了一個(gè)鍛煉表述能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治龅臋C(jī)會(huì)。因此，應(yīng)該讓學(xué)生大膽表述，并對各人的表述嚴(yán)謹(jǐn)分析，找出漏洞，反復(fù)提煉，直至得出正確的說法，使學(xué)生得到更好的鍛煉。教材分析：該節(jié)內(nèi)容為1課時(shí)。圓是一種特殊圖形，它是軸對稱圖形，學(xué)生通過類比等腰三角形的軸對稱性，能利用圓的軸對稱性探索、證明得出圓的垂徑定理及其逆定理。教材為教師提供了基本的教學(xué)素材，但如何使用這些素材，教師完全可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。學(xué)生在探索垂徑定理的時(shí)候，其中一個(gè)難點(diǎn)在于如何證明垂徑定理，這時(shí)通過類比等腰三角形的軸對稱性，可以使學(xué)生對證明的思考得到突破，從而尋找出合理的證明方向。這既使學(xué)生掌握了新知識，也培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的類比思想和觀察、猜想的能力．教學(xué)目標(biāo)：知識目標(biāo)：利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理；運(yùn)用垂徑定理及其逆定理解決問題。能力目標(biāo)：經(jīng)歷運(yùn)用圓的軸對稱性探索圓的相關(guān)性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生類比分析，猜想探索的能力；通過學(xué)習(xí)垂徑定理及其逆定理的證明，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動(dòng)精神。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理。難點(diǎn)：垂徑定理及其逆定理的證明，以及應(yīng)用時(shí)如何添加輔助線．教學(xué)策略：類比引入，猜想探索，知識應(yīng)用，歸納小結(jié)。本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)是如何添加輔助線，這在最后的歸納反思中應(yīng)該要有足夠的時(shí)間讓學(xué)生交流討論，但是限于本節(jié)課的時(shí)間，這是一個(gè)客觀限制，不應(yīng)該勉強(qiáng)在課堂上完成，效果并不理想，應(yīng)該留作課后作業(yè)，讓學(xué)生能通過更充分的討論才得出結(jié)論，這樣才能起到更好地交流和反思的作用。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、類比引入二、猜想探索三、知識應(yīng)用四、學(xué)習(xí)小結(jié)活動(dòng)內(nèi)容：1.等腰三角形是軸對稱圖形嗎？2.如果將一等腰三角形沿底邊上的高對折，可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？3.如果以這個(gè)等腰三角形的頂角頂點(diǎn)為圓心，腰長為半徑畫圓，得到的圖形是否是軸對稱圖形呢？1．如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M。（1）該圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？（2）你能找出圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由．條件：①CD是直徑；②CD⊥AB結(jié)論（等量關(guān)系）：③AM=BM；④eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AC))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BC))；⑤eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AD))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BD))。證明：連接OA,OB,則OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AC))和eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BC))重合,eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AD))和eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BD))重合.∴eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AC))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BC))，eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AD))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BD)).2．辨析：判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？OOCDBA注意：定理中的兩個(gè)條件缺一不可——直徑（半徑），垂直于弦。通過以上辨析，讓學(xué)生對垂徑定理的兩個(gè)條件的必要性有更充分的認(rèn)識。3．垂徑定理逆定理的探索如圖，AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑CD，交AB于點(diǎn)M。（1）下圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？（2）圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由。條件：①CD是直徑；②AM=BM結(jié)論（等量關(guān)系）：③CD⊥AB；④eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AC))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BC))；⑤eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AD))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BD)).讓學(xué)生模仿垂徑定理的證明過程，自行證明逆定理，并表述逆定理的內(nèi)容——平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.4．辨析：“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧．”如果該定理少了“不是直徑”，是否也能成立？ODODBAC1.例題：如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。磮D中eq空格\o(\s\up1(⌒),\s\do5(CD))eq空格\o(\s\up1(⌒),\s\do5(CD))eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(CD)),點(diǎn)0是eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(CD))所在圓的圓心），其中CD=600m，E為eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(CD))上的一點(diǎn)，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑。解：連接OC，設(shè)彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m．∵OE⊥CD根據(jù)勾股定理，得OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2.解這個(gè)方程，得R=545.所以，這段彎路的半徑為545m.2．隨堂練習(xí)T1．1400年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米，拱高（即弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2米，求橋拱所在圓的半徑（結(jié)果精確到0.1米）。OCBOCBDA如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？有三種情況：（1）圓心在平行弦外；（2）圓心在其中一條弦上；OBCOBCDAOOCDBA學(xué)生交流總結(jié)1．利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理。2．解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連接半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。學(xué)生思考并回答證明完畢后，讓學(xué)生自行用文字語言表述這一結(jié)論，最后提煉出垂徑定理的內(nèi)容——垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。同伴交流讓學(xué)生模仿垂徑定理的證明過程，自行證明逆定理，并表述逆定理的內(nèi)容。學(xué)生認(rèn)真讀題、審題，思考解題方法。學(xué)習(xí)同伴合作交流完成。教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題、讀圖，合作交流，把生活中的數(shù)學(xué)問題抽象概括為數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)上例的啟發(fā)添加輔助線，構(gòu)造符合定理的條件。學(xué)生表述自己學(xué)習(xí)所得，可以互相補(bǔ)充。通過等腰三角形的軸對稱性向圓的軸對稱性過渡，引導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生類比分析的能力。通過以上辨析，讓學(xué)生對垂徑定理的兩個(gè)條件的必要性有更充分的認(rèn)識。讓學(xué)生猜想、類比、探索和證明獲得新知，從而得到研究數(shù)學(xué)的多種方法的體會(huì)，獲取經(jīng)驗(yàn)；通過對定理表述反復(fù)的語言提煉，鍛煉學(xué)生的歸納能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎瞿芰ΓΧɡ淼臈l件和結(jié)論有更深刻的理解和認(rèn)識；讓學(xué)生應(yīng)用新知識構(gòu)造直角三角形，并通過方程的方法去解決幾何問題；讓學(xué)生通過作垂線段構(gòu)造符合定理使用的條件，從而運(yùn)用定理解決問題，以及培養(yǎng)學(xué)生解題中的分類思想。通過回顧本節(jié)課的各個(gè)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生交流自己的收獲