高等傳熱學(xué)部分答案

/54把邊界條件y0,0代入(2-3-4)得到A=0,所以有TOC\o"1-5"\h\zXi(x)Bsh(x) (2-6)把邊界條件yL,—L 0代入(2-3-5)得到D=0,所以有y丫(y)Ccos(y) (2-7)把邊界條件yL,一I-hI0聯(lián)立(2-3-7)得到y(tǒng)cot(L)—— (2-8)hL/設(shè)L,hL/Bi,則有cot() /Bi,這個方程有無窮多個解，即常數(shù)3有無窮多個值，即n(n1,2,3)，所以對應(yīng)無窮多個 ，即n(n1,2,3)，所以有(2-9)(2-10)Y1(y)Cncos(ny)(2-9)(2-10)聯(lián)立(2-3-6)可得I(x,y)Kncos(ny)sh(nx)n1把邊界條件x把邊界條件x2代入上式可得解得其中nnLI(x,y)2,2cos(n解得其中nnLI(x,y)2,2cos(ny)dy0KnSh(n)8S(nY)dy(2-11)Kn22sin(n)sh(n/L)[sin(n)cos(n)n](2-12)22sin(n)n1sh(n/L)[sin(n)cos(n)-cos(-y)sh(-x)n]LL(2-13)(3)求解溫度場與解I一樣用分離變量法，假設(shè)所求溫度分布 (x,y)可以表示成一個x的函數(shù)和一個y的函數(shù)的乘積(2-14)(x,y)X2(x)Y2(x)

(2-14)將該式子代入的導(dǎo)熱微分方程中得到d>

dxd、dy2''X20,即XX2Y2Y此可得到兩個常微分方程將該式子代入的導(dǎo)熱微分方程中得到d>

dxd、dy2''X20,即XX2Y2Y此可得到兩個常微分方程d2X2

dx2X2 0(2-15)d2Y2

dy22Y20(2-16)X2(x)Ach[( x)]Bsh[( x)]把邊界條件x, 0代入上式，得到A=0,所以有X2(x)Bsh[( x)](2-17)(2-18)i(x,y)kncos(ny)sh[n( x)]n1(2-19)把邊界條件x0, 1代入上式可得1cos(ny)dy0KnSh[n( x)]C0S2(口丫川丫(2-20)1X’ 21Sin(n(2-17)(2-18)i(x,y)kncos(ny)sh[n( x)]n1(2-19)把邊界條件x0, 1代入上式可得1cos(ny)dy0KnSh[n( x)]C0S2(口丫川丫(2-20)1X’ 21Sin(n)Knsh(n/L)[sin(n)cos(n)n](2-21)(x,y) 21si"n) cosTy)sh[—(n1sh(n/L)[sin(n)COS(n)n]L^Lx)](2-22)(4)最終求得穩(wěn)態(tài)溫度場(x,y)i(x,y)(x,y)22Sin(n)n1Sh(n/L)[sin(n)cos(n)-cos(；y)sh(Lnx)21sin(n)n1sh(n/L)[sin(n)cos(n)—cos(-jny)sh[—(

n]L力IL'x)]2-5、地?zé)釗Q熱器是管中流動的流體與周圍土地之間的換熱，可應(yīng)用于熱能的儲存、地源熱泵等工程實際。一種布置方式是把管子埋設(shè)在垂直于地面的鉆孔中。由于管子的長度遠大于鉆孔的直徑，可把管子的散熱簡化為一個有限長度的線熱解：根據(jù)題意畫出示意圖如下：-H,P二

由護執(zhí)源

大他恒定溫度二、

0設(shè)有限長熱源長度為H,單位長度熱源發(fā)熱量為ql,電源強度為qldz0(w),設(shè)地面溫度維持恒定溫度t0, tt0o(1)求解點熱源dz0產(chǎn)生的溫度場因此有限長線熱源在某點產(chǎn)生的溫度可以看做是許多點源在該點產(chǎn)生的溫度場的疊加,因此我們先來看下無限大介質(zhì)中點源產(chǎn)生的溫度場,問題，其導(dǎo)熱微分方程為：這是一個球坐標(biāo)系中的無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱我們先來看下無限大介質(zhì)中點源產(chǎn)生的溫度場,問題，其導(dǎo)熱微分方程為：這是一個球坐標(biāo)系中的無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(3-1)2y)

dr(3-1)解微分方程可得C2C1(3-2)把邊界條件r0代入上式得到c2 0ci

r(3-3)在球坐標(biāo)系點熱源dzC2C1(3-2)把邊界條件r0代入上式得到c2 0ci

r(3-3)在球坐標(biāo)系點熱源dzo單位時間內(nèi)的發(fā)熱量等于它在任意球面上產(chǎn)生的熱流量Q,即—4r2dr4Gqldzo(3-4)所以得到c1—q4dzo由此可得到球坐標(biāo)系中點熱源dzo產(chǎn)生的溫度場為(3-5)*a1dz0(3-5)4r(2)分別求出兩個線熱源產(chǎn)生的溫度場

線熱源產(chǎn)生的溫度場可以看作是點熱源產(chǎn)生的溫度場的疊加，因此有地下有限長線熱源產(chǎn)生的溫度場(3-6)H-q-1dzo(3-6)04r對稱的虛擬熱源產(chǎn)生的溫度場為(3-7)(3-7)(3)虛擬熱源法求解的地?zé)釗Q熱器產(chǎn)生的溫度場H_q041dzor0—4H4rH_q041dzor0—4H4rqiH4~~02 2(zz。)1 dz02(zz。)2(3-8)AnHz\(H z)2H z,(H z)22 2 2■.z z2 2 2z z第三章3-1、用熱電偶測量呈簡諧波周期變化的氣流溫度，熱電偶的感溫節(jié)點可看作直徑為1mm的圓球，具材料的密度為8900kg/m3,比熱容為390J/(Kg?K),測溫記錄最高和最低溫度分別為130c和124C,周期為20s。若已知氣流與熱電偶問的對流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為20W/(m2?K),試確定氣流的真實溫度變化范圍。Bcos(w解：氣流溫度按簡諧波變化時，熱電偶的溫度響應(yīng)為Bcos(w(4-1)式中Barctan(wr)按題目要求w2T2式中Barctan(wr)按題目要求w2T220 10cvhA8900390110362028.925s,2h20w/(m2k),根據(jù)題目提供的熱電偶測量的最高溫度、最低溫度，求出熱電偶測量的溫度變化的振幅如下式1301242(4-2)把W,1301242(4-2)把W,r的數(shù)據(jù)代入上式中得到氣流溫度變化的振幅Af 27.4,所以真實氣體溫度變化的最大值、最小值為TOC\o"1-5"\h\z, 130124 °Ctmax 27.4154.4C (4-3)2x130124 0ctmin 27.499.6C (4-4)23-6、已知初始溫度均勻的無限大介質(zhì)中由連續(xù)恒定發(fā)熱的線熱源所引起的溫度2t(r,)如日(/)場由式子4 4a確定。若線熱源的加熱不是連續(xù)的而是間歇的， 即從 。的時刻起，線熱源進行周期性的間歇加熱，周期為 T,其中加熱的時段為T1,其余的T-T1時間不加熱。試利用線性疊加原理確定介質(zhì)中的溫度響應(yīng)。解：無限大介質(zhì)連續(xù)恒定發(fā)熱的線熱源引起的溫度場：t(r,)t2rEi()4a(5-1)uze.其中：Ei(z) —duu對于隨時間變化的熱流可以用一系列連續(xù)的矩形脈沖熱流來近似如圖所示:時刻的溫度變化為:由疊加原理得到1 r2 1.—(qiiqiii)Ei[— ；],(qio4 4a(ii)0)(5-2)對于間歇性的脈沖，令CTi/T為運行份額，如果在整個運行期間的平均熱負荷為 qi,則脈沖加熱的強度為ql/C,具體見下圖:由疊加原理得到：2tt 旦EJ——r-]no4 4a(nT)n。一 2工E r4Cno4a(nTTl即溫度響應(yīng)為Tl)(5-3)Ei4a(nT)TOC\o"1-5"\h\z2 2(5-4)4(tt) 1L r Lr(5-4)= 1 Ei ■二~Ei； 二7ql Cn0 4a(nTTl 4a(nT)第四章4-1、處在X>0的半無限大空間內(nèi)的一固體，初始溫度為溶解溫度tm。當(dāng)時間 0時，在x=0的邊界上受到一個恒定的熱流q0的作用。使用積分近似解得方法確定固液界面位置隨時間變化的關(guān)系式。溫度分布按二次多項式近似。解：設(shè)過余溫度 ttm,邊界條件為dTOC\o"1-5"\h\zx0 O,qo —— (6-1)dxxx() 0, 0 (6-2)熱平衡方程為—LdX^),xX(), 0 (6-3)dxd其中L是潛熱，a/L用二次多項式近似固相區(qū)中的溫度分布，設(shè)(x,)A(xX)B(xX)2 (6-4)由邊界條件（由邊界條件（6-1）可知,dx0,——A2B(xX),則dxqo[A2B(xX)2](A2BX)(6-5)由邊界條件（6-2）由邊界條件（6-2）變形,[X(),]X 一 ，代入（6-3）式可得X將（6-4）代入上式得到(6-6)(6-7)—A22aB(6-7)L聯(lián)立（6-5）和（6-7）兩個式子，可解得La24aq02XLa24aq02X2LX(6-8)將（6-4）代入（6-3）得到[A2B(xX)](6-9)其中xX（）,所以有A,dXL——[A2B(xX)](6-9)其中xX（）,所以有A,dXL——，代入d的值即得2 ,a4aq0dX,X2LX(6-10)變形可得到2X2X24aq0a 4aq2X2X24aq0a 4aq?！猟XaL4aq0*

XLXa) dX(6-11)積分可得到2aq0aX6aq0(a24aq2aq0aX6aq0(a24aqLX0)3/2(6-12)化簡整理可得界面隨時間的變化方程為(aX2aq0)22L22236a(aX2aq0)22L22236a2q2(a24aq0LX)3(6-13)第六章上板在6-4、常物性流體在兩無限大平板之間作穩(wěn)態(tài)層流運動，下板靜止不動,外力作用下以恒定速度U運動，試推導(dǎo)連續(xù)性方程和動量方程。上板在解：按照題意可以寫出故連續(xù)性方程為可以簡化為因流體是常物性，不可壓縮,X方向上：簡化為Y方向上:可簡化為v0,—yN—S方程為uuuvxyFxvvu——v—xy(7-1)(7-2)(7-3)Py(2u2x2u)yP2u02xy1p（一2v2v、 —22)yxy(7-4)(7-5)(7-6)Fy(7-7)第七章7-3、試證明：當(dāng)Pr1時流體外掠平板層流動邊界層換熱的局部努塞爾數(shù)為Nux1/2 1/2RePr證明：適用于外掠平板的層流邊界層的能量方程為tu——x2ty常壁溫的邊界條件為y0,ttwy,tt(8-1)(8-2)(8-3)引入一量綱溫度，則上述能量方程變?yōu)閠tw引入相似變量(8-4)y.；—，得到

.x(8-5)(8-6)(8-7)將上面的三個式子代入（8-4)可得到，1-Prf2(8-8)當(dāng)Pr1當(dāng)Pr1時,速度，即f1,f,由此可得速度邊界層厚度遠小于溫度邊界層厚度， 可近似認為溫度邊界層內(nèi)速度為主流(8-9)(8-9)Pr?(一)yf求解得到()erf(2)Pr1/2’(0)(Pr)1/2Nux_ _ _