【四維備課】高中數(shù)學(xué)32《簡(jiǎn)單的三角恒等變換》教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版必修4

3.2《簡(jiǎn)單的三角恒等變換》教課方案【教課目的】會(huì)用已學(xué)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明，指引學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式（公式不要求記憶），使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)變、換元、方程等數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的能力.【導(dǎo)入新課】習(xí)引入：復(fù)習(xí)倍角公式S2、C2、T2先讓學(xué)生默寫(xiě)三個(gè)倍角公式，注意等號(hào)兩邊角的關(guān)系，特別注意C2.既然能用單角表示倍角，那么可否用倍角表示單角呢？新講課階段半角公式的推導(dǎo)及理解：例1、試以cos表示sin2,cos2,tan2．222分析：我們能夠經(jīng)過(guò)二倍角cos2cos21和cos12sin2來(lái)22做本題．（二倍角公式中以代2，2代）1cos解：由于cos12sin2，能夠獲得sin2；222由于cos2cos21，能夠獲得cos21cos．222兩式相除能夠獲得tan2sin221cos．221coscos2sin

1cos22評(píng)論：⑴以上結(jié)果還能夠表示為：cos

1cos22并稱之為半角公式（不要求記憶），符號(hào)由2角的象限決定.⑵降倍升冪公式和降冪升倍公式被寬泛用于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、證明.⑶代數(shù)式變換常常著眼于式子構(gòu)造形式的變換，三角恒等變換經(jīng)常第一找尋式子所包括的各個(gè)角之間的聯(lián)系，并以此為依照選擇能夠聯(lián)系他們的適合公式，這是三角式恒等變換的重要特色.例2求證：（１）（２）

sincos1sinsin；2sinsin2sincos．22分析：回想并寫(xiě)出兩角和與兩角差的正余弦公式，察看公式與所證式子的聯(lián)系.證明：（１）由于sin和sin是我們所學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，所以我們從等式右側(cè)著手．sinsincoscossin；sinsincoscossin．兩式相加得2sincossinsin；即sincos1sin；sin2（２）由（１）得sinsin2sincos①；設(shè),，那么,．22把,的值代入①式中得sinsin2sincos．22評(píng)論：在例２證明頂用到了換元思想，（１）式是積化和差的形式，（２）式是和差化積的形式，在后邊的練習(xí)中間還有六個(gè)關(guān)于積化和差、和差化積的公式．例３求函數(shù)ysinx3cosx的周期，最大值和最小值．分析：利用三角恒等變換，先把函數(shù)式化簡(jiǎn)，再求相應(yīng)的值.解：ysinx3cosx21sinx3cosx2sinx，223所以，所求的周期T22，最大值為２，最小值為2．評(píng)論：例３是三角恒等變換在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的舉例，它使三角函數(shù)中對(duì)函數(shù)yAsinx的性質(zhì)研究獲得延長(zhǎng)，表現(xiàn)了三角變換在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式中的作用．講堂小結(jié)用和（差）角公式、倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換.我們要對(duì)三角恒等變換過(guò)程中表現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)靈巧運(yùn)用．作業(yè)課本p143習(xí)題3.2A組1、（1）（5）3、5拓展提高1．已知cos（α+β）cos（α－β）=1，則cos2α－sin2β3的值為（）A．－2B．－1C．1D．233332．在△ABC中，若sinAsinB=cos2C2，則△ABC是（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．不等邊三角形D．直角三角形3．sinα+sinβ=3（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈3（0，π），則α－β等于（）A．－2πB．－πC．πD．2π33334．已知cos（α+β）cos（α－β）=1，則cos2α－sin2β3的值為（）A．－2B．－1C．1333D．232C，則△ABC是（）5．在△ABC中，若sinAsinB=cos2A．等邊三角形B．等腰三角形C．不等邊三角形D．直角三角形6．sinα+sinβ=3（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈3（0，π），則α－β等于（）A．－2πB．－πC．π333D．2π37．已知sin（α+β）sin（β－α）=m，則cos2α－cos2β等于（）A．－mB．mC．－4mD．4m二、填空題8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．9．已知α－β=2π，且cosα+cosβ=1，則cos（α+β）等33于_________．三、解答題10．已知f（x）=－1sin5x+2，x∈（0，π）．x2sin21）將f（x）表示成cosx的多項(xiàng)式；2）求f（x）的最小值．12．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C知足：A+C=2B，12，求cosAC的值．cosAcosCcosB213．已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，求證：（2cos2A+1）2=a2+b2．2214．求證：cosx+cos（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin

2α．15．求函數(shù)y=cos3x·cosx的最值．參照答案一、選擇題：1．C2．B3．D4．C5．B6．D7．B二、填空題：8．19．－749三、解答題10．解：（1）f（x）=sin5xsinx2cos3xsinx2222sinx2sinx22

2cos3xcosx=cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1．22（2）∵f（x）=2（cosx+1）2－9，且－1≤cosx≤1，48∴當(dāng)cosx=－14

時(shí)，f（x）獲得最小值－9．8剖析：本小題考察三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形和運(yùn)算的能力．解：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°，∵－2=－22，cos60∴11=－22．cosAcosC將上式化簡(jiǎn)為cosA+cosC=－22cosAcosC，利用和差化積及積化和差公式，上式可化為2cosACcosAC=－2［cos（A+C）+cos（A－C）］，22將cosAC=cos60°=1，cos（A+C）=cos120°=－1代入上式222得cosAC=2－2cos（A－C），22將cos（A－C）=2cos2（AC）－1代入上式并整理得42cos22（AC）+2cosAC－32=0，22即［2cosAC－2］［22cosAC+3］=0．22∵22cosA2C+3≠0，∴2cosAC－2=0．2∴cosAC=2．2212．證明：由已知得∴sin3A(2cos2A1)a，cos3A(2cos2A1)b.兩式平方相加得（2cos2A+1）2=a2+b2．13．證明：左側(cè)=1（1+cos2x）+1［1+cos（2x+2α）］－222cosxcosαcos（x+α）=1+1［cos2x+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α）2=1+cos（2x+α）cosα－cosα［cos（2x+α）+cosα］=1+cos（2x+α）cosα－cosαcos（2x+α）－cos2α=1－cos2α=sin2α=右側(cè)，∴原不等式建立．