2021年福建省莆田市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）

2021年福建省莆田市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的.

1.（4分）-1的絕對值為（）

2

A.-2B.-AC.AD.1

22

2.（4分）下列地方銀行的標(biāo)志中，既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形的是（）

A.@BaCOD您

3.（4分）下列運算正確的是（）

A.x--kx——B.a3,（-a2）--a6

33

C.（旄-1）（A/5+1）—4D.-（a2）2=a4

4.（4分）“厲行勤儉節(jié)約，反對鋪張浪費”勢在必行，最新統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國每年浪費

食物總量折合糧食大約是202100000人一年的口糧.將202100000用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A.2.021X109B.0.2021X109C.2.021X108D.2021X107

5.（4分）如圖，在△ABC中，A8=AC,8。平分N4BC交AC于。，AE〃B。交CB延長

線于點E,若NAEB=25°,則NAQB的度數(shù)為（）

EBC

A.50°B.70°C.75°D.80°

6.（4分）下列說法中，正確的是（）

A.為檢測我市正在銷售的酸奶質(zhì)量，應(yīng)該采用普查的方式

B.若兩名同學(xué)連續(xù)五次數(shù)學(xué)測試的平均分相同，則方差較大的同學(xué)數(shù)學(xué)成績更穩(wěn)定

C.拋擲一個正方體骰子，朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是上

2

D.“打開電視，正在播放廣告”是必然事件

7.（4分）若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程/+h+方=0的根的

情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.無法確定

8.（4分）輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用3小時，若船速為26

千米/時，水速為2千米/時，求A港和8港相距多少千米.設(shè)A港和8港相距x千米.根

據(jù)題意，可列出的方程是（）

C「.-x--+--2-=--x----2--4-Q門nO.-x--+--2-=--x----2---Q門

26262626

9.（4分）如圖，AB為直徑,A2=4,C、。為圓上兩個動點，N為CD中點、,于

M,當(dāng)C、。在圓上運動時保持/CMN=30°,則C￡＞的長（）

A.隨C、C的運動位置而變化，且最大值為4

B.隨C、。的運動位置而變化，且最小值為2

C.隨C、。的運動位置長度保持不變，等于2

D.隨C、。的運動位置而變化，沒有最值

10.（4分）如圖，正方形ABC。的對角線AC,8。相交于點0,E是4C上的一點，且AB

=AE,過點A作垂足為F,交BD于點、G.點//在AO上，且EH〃AF.若正

方形48CZ）的邊長為2,下列結(jié)論：①0E=0G；②EH=BE；③AH=2&-2；@AG-AF

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.（4分）若正多邊形的一個外角是40°,則這個正多邊形的邊數(shù)是.

12.（4分）如果一組數(shù)據(jù)1,3,5,a,8的方差是0.7,則另一組數(shù)據(jù)11,13,15,4+10,

18的方差是.

13.（4分）關(guān)于x的一元二次方程（k-1）7+6x+d-k=0的一個根是0,則k的值是.

14.（4分）如圖，數(shù)軸上4、8兩點所表示的數(shù)分別是-4和2,點C是線段48的中點，

則點C所表示的數(shù)是.

4C.4、

―~o2~>

15.（4分）將長為2、寬為aQ大于1且小于2）的長方形紙片按如圖①所示的方式折疊

并壓平，剪下一個邊長等于長方形寬的正方形，稱為第一次操作：再把剩下的長方形按

如圖②所示的方式折疊并壓平，剪下個邊長等于此時長方形寬的正方形，稱為第二次操

作：如此反復(fù)操作下去…，若在第n次操作后，剩下的長方形恰為正方形，則操作終止

當(dāng)〃=3時，a的值為.

□Z

16.（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，oABCD的邊AB在x軸上，頂點

。在y軸的正半軸上，點C在第一象限，將△A。。沿y軸翻折，使點A落在x軸上的點

E處，點8恰好為OE的中點，DE與BC交于點、F.若〉=四（左#0）圖象經(jīng)過點C,且

SAB￡F=1,貝！Ik的值為

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算：（3-71）0-2cos30°+|1-■'/§|+（A）1.

2

18.如圖，已知點B,C,D,E在一條直線上，AB//FC,AB=FC,BC=DE.求證：AD

//FE.

A

2

19.先化簡，再求值：一支二1_?，-布,其中x=2.

x-2x+lx+1x

20.“食品安全”受到全社會的廣泛關(guān)注，我區(qū)兼善中學(xué)對部分學(xué)生就食品安全知識的了解

程度，采用隨機抽樣調(diào)查的方式，并根據(jù)收集到的信息進行統(tǒng)計，繪制了下面的兩幅尚

不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：

扇f統(tǒng)福新編?十圖

(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有人，扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應(yīng)扇形

的圓心角為°；

(2)請補全條形統(tǒng)計圖；

(3)若對食品安全知識達到“了解”程度的學(xué)生中，男、女生的比例恰為2：3,現(xiàn)從中

隨機抽取2人參加食品安全知識競賽，請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個男生和1

個女生的概率.

21.(1)如圖1,已知EK垂直平分BC,垂足為。，AB與EK相交于點凡連接C凡求證:

ZAFE=ZCFD.

(2)如圖2,在Rt^GMN中，NM=90°,P為MN的中點.

①用直尺和圓規(guī)在GN邊上求作點。，使得NGQM=/PQN(保留作圖痕跡，不要求寫

作法);

②在①的條件下，如果NG=60°,那么Q是GN的中點嗎？為什么？

22.如圖，直線y=2r-6與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交于點A(4,2),與x軸交

X

于點B.

(1)求攵的值及點8的坐標(biāo)；

(2)過點8作8。J_x軸交反比例函數(shù)的圖象于點D,求點。的坐標(biāo)和的面積；

(3)觀察圖象，寫出不等式K>2x-6的解集.

x

23.每年的6月5日為世界環(huán)保日，為了提倡低碳環(huán)保，某公司決定購買10臺節(jié)省能源的

新設(shè)備，現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設(shè)備可供選購.經(jīng)調(diào)查：購買3臺甲型設(shè)備比購買2臺

乙型設(shè)備多花16萬元，購買2臺甲型設(shè)備比購買3臺乙型設(shè)備少花6萬元.

(1)求甲、乙兩種型號設(shè)備的價格；

(2)該公司經(jīng)決定購買甲型設(shè)備不少于3臺，預(yù)算購買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過

110萬元，你認為該公司有哪幾種購買方案；

(3)在(2)的條件下，已知甲型設(shè)備每月的產(chǎn)量為240噸，乙型設(shè)備每月的產(chǎn)量為180

噸.若每月要求總產(chǎn)量不低于2040噸，為了節(jié)約資金，請你為該公司設(shè)計一種最省錢的

購買方案.

24.如圖，ZVIBC內(nèi)接于。0,AB是。。的直徑，C￡>平分NACB交。。于點O,交48于

點尸，弦于點H,連接CE、OH.

(1)延長AB到圓外一點P,連接PC,若七2=尸小必，求證：PC是。。的切線；

(2)求證：CF'AE=AC'BC；

(3)若竺=3,。。的半徑是，石，求tan/AEC和0H的長.

BF2

25.如圖，已知拋物線yu.+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點，其中點A(0,1),點B(-

3

9,10),4(?〃》軸，點尸是直線AC下方拋物線上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點P且與y軸平行的直線/與直線AB、AC分別交于點E、F,當(dāng)四邊形AECP

的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點尸為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q,使得以C、P、。為頂點

的三角形與aABC相似，若存在，求出點。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

2021年福建省莆田市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的.

1.（4分）-工的絕對值為（）

2

A.-2B.-AC.AD.1

22

【考點】絕對值.

【解答】解：尸」，

22

-2的絕對值為工.

22

故選：C.

2.（4分）下列地方銀行的標(biāo)志中，既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形的是（）

A?B電O°@

【考點】軸對稱圖形；中心對稱圖形.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

。、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

3.（4分）下列運算正確的是（）

A.B./.（-/）=-“6

33

C.（泥-1）（遙+1）=4D.-（a2）2=a4

【考點】合并同類項；同底數(shù)塞的乘法；塞的乘方與積的乘方；平方差公式；二次根式

的混合運算.

【解答】解：A、故本選項錯誤；

33

25

B、-fl）=-a,故本選項錯誤；

C>（A/5-1）（遙+1）—5-1-4,故本選項正確；

D、-（a2）2—-a4,故本選項錯誤；

故選：C.

4.（4分）“厲行勤儉節(jié)約，反對鋪張浪費”勢在必行，最新統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國每年浪費

食物總量折合糧食大約是202100000人一年的口糧.將2021000（）0用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A.2.021X109B.0.2021XI09C.2.021X108D.2021X107

【考點】科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【解答】解：202100000=2.021X108.

故選：C.

5.（4分）如圖，在△ABC中，AB^AC,8。平分NABC交AC于。，AE〃B。交延長

線于點E,若/AEB=25°,則的度數(shù)為（）

A.50°B.70°C.75°D.80°

【考點】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【解答】解：

:.NE=NDBC=25°,

；A8=AC,

NABC=ZACB,

：8。平分乙ABC,

：.ZABD=ZDBC=25°,

：.ZABC^ZACB=50°,

:*NADB=NACB+/DBC=15°,

故選：C.

6.（4分）下列說法中，正確的是（）

A.為檢測我市正在銷售的酸奶質(zhì)量，應(yīng)該采用普查的方式

B.若兩名同學(xué)連續(xù)五次數(shù)學(xué)測試的平均分相同，則方差較大的同學(xué)數(shù)學(xué)成績更穩(wěn)定

C.拋擲一個正方體骰子，朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是工

2

D.“打開電視，正在播放廣告”是必然事件

【考點】全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；方差；隨機事件；概率公式.

【解答】解：A、為檢測我市正在銷售的酸奶質(zhì)量，此調(diào)查具有破壞性，應(yīng)該采用抽查的

方式，此選項錯誤；

B、若兩名同學(xué)連續(xù)五次數(shù)學(xué)測試的平均分相同，則方差較小的同學(xué)數(shù)學(xué)成績更穩(wěn)定，此

選項錯誤；

C、拋擲一個正方體骰子，朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是3=工，此選項正確；

62

。、“打開電視，正在播放廣告”是隨機事件，此選項錯誤；

故選：C.

7.（4分）若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程/+履+匕=0的根的

情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.無法確定

【考點】根的判別式：一次函數(shù)的性質(zhì).

【解答】解：???一次函數(shù)y=&+〃的圖象不經(jīng)過第二象限，

：.k>0,bWO,

：.A=必-4b>0,

二方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：A.

8.（4分）輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用3小時，若船速為26

千米/時，水速為2千米/時，求A港和B港相距多少千米.設(shè)A港和B港相距x千米.根

據(jù)題意，可列出的方程是（）

A.工B.工*+3

28242824

x+2x2

C.=-+3D.x+2=x-2

26262626

【考點】由實際問題抽象出一元一次方程.

【解答】解：設(shè)A港和8港相距x千米，可得方程：

X___Q

28~243

故選：A.

9.（4分）如圖，AB為直徑,AB=4,C、。為圓上兩個動點，N為CD中點、,于

M,當(dāng)C、。在圓上運動時保持/CMN=30°,則C￡＞的長（）

A.隨C、。的運動位置而變化，且最大值為4

B.隨C、。的運動位置而變化，且最小值為2

C.隨C、。的運動位置長度保持不變，等于2

D.隨C、C的運動位置而變化，沒有最值

【考點】軌跡.

【解答】解；連接：OC、ON、OD.

：.ONLCD,NCON=NDON.

又；CMLAB,

:.NONC+NCMO=180°.

N、C、M四點共圓.

：.2NOC=NNMC=30°.

...NCO￡>=60°.

又；OC=OD,

為等邊三角形.

?■?CD=yAB-1x4=2-

故選：c.

10.（4分）如圖，正方形A8CQ的對角線AC,8。相交于點O,E是AC上的一點，且AB

=AE,過點A作AFLBE,垂足為F,交BD于點、G.點”在AC上，KEH//AF.若正

方形ABC。的邊長為2,下列結(jié)論：①OE=OG；②EH=BE；③A”=2&-2；@AG'AF

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【解答】解：①：四邊形A8CO是正方形，

：.ACLBD,0A=。8,

AZAOG=ZBOE=90°,

'：AF±BE,

：.ZBFG=90Q,

：.ZOBE+ZBGF=90°,ZFA0+ZAG0^90°,

NAG0=NBGF,

：.ZFAO=ZEBO,

"ZFA0=ZEB0

在△AGO和△8E0中，，ZAOG=ZBOE-

AO=BO

.'.△AGO絲△8E0(ASA),

：.OE=OG.

故①正確；

@"：EH//AF,AFVBE,

.".EH1.BE,

:.NBEH=9Q°,

如圖1,過E作MN〃C￡>交A。于M,交BC于N,貝ijMN_LA。，MNLBC,

圖1

:四邊形ABCD是正方形，

AZACB=ZEAM=45°,

叢ENC是等腰直角三角形，

：.EN=CN=DM,

\"AD=BC,

:"AM=EM=BN,

'：NNBE+NBEN=NBEN+NHEM=90°,

：.NNBE=/HEM,

：.4BNEq叢EMH(ASA),

：.EH=BE,

故②正確；

③如圖2,RtzXABC中，AB=BC=2,

；.AC=2M，

"：AB=AE,

：.EC=AC-AE=2y/2-2,NAEB=NABE,

：.NEBC=NAEH,

由②知：EH=BE,

:ABCEg/XEAH(SAS),

:.AH=CE=2貶-2；

故③正確；

④如圖2,&ABE=/*;?0B=￡B￡?AF,

\'BE=AG,

.?.AF?AG=AE?0B=2亞，

故④正確；

本題正確的有：①②③④，4個，

故選：D.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.(4分)若正多邊形的一個外角是40。，則這個正多邊形的邊數(shù)是9.

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【解答】解：多邊形的每個外角相等，且其和為360。，

據(jù)此可得360=40,

n

解得n—9.

故答案為9.

12.(4分)如果一組數(shù)據(jù)1,3,5,a,8的方差是0.7,則另一組數(shù)據(jù)11,13,15,a+10,

18的方差是0.7.

【考點】方差.

【解答】解：設(shè)一組數(shù)據(jù)1,3,5,a,8的平均數(shù)是7,另一組數(shù)據(jù)11,13,15,?+10,

18的平均數(shù)是7+10,

?.(1G)2+-)2+(51)7

?_5_,

?(11-x-10)2+(13---10)2+…(18-x-lO)2_

??--------------------------------------------------------------

5

(1-7)2(3-x)2(5-7)2(a-7)2(8-7)2.r

------------+-------------+-------------+------------+--------------Un./,

5

故答案為：0.7.

13.(4分)關(guān)于x的一元二次方程Ck-1)/+6田+必-A=。的一個根是0,則k的值是0.

【考點】一元二次方程的解.

【解答】解：由于關(guān)于x的一元二次方程(A-1)/+6x+F-k=0的一個根是0,

把x=0代入方程，得必-k=0,

解得，k\—\,k2=0

當(dāng)％=1時，由于二次項系數(shù)k-1=0,

方程1）/+6/&2-上=0不是關(guān)于x的二次方程，故上H1.

所以上的值是0.

故答案為：0

14.（4分）如圖，數(shù)軸上A、8兩點所表示的數(shù)分別是-4和2,點C是線段AB的中點，

則點C所表示的數(shù)是-1.

4C.4、

―~o2~

【考點】數(shù)軸.

【解答】解：???數(shù)軸上A,B兩點所表示的數(shù)分別是-4和2,

線段A8的中點所表示的數(shù)=工（-4+2）=7.

2

即點C所表示的數(shù)是-1.

故答案為：-1

15.（4分）將長為2、寬為“（〃大于1且小于2）的長方形紙片按如圖①所示的方式折疊

并壓平，剪下一個邊長等于長方形寬的正方形，稱為第一次操作：再把剩下的長方形按

如圖②所示的方式折疊并壓平，剪下個邊長等于此時長方形寬的正方形，稱為第二次操

作：如此反復(fù)操作下去…，若在第n次操作后，剩下的長方形恰為正方形，則操作終止

當(dāng)〃=3時，”的值為反或旦.

一5一2一

①②

【考點】規(guī)律型：圖形的變化類.

【解答】解：第1次操作，剪下的正方形邊長為。，剩下的長方形的長寬分別為。、2-a,

由Wa>2-a

第2次操作，剪下的正方形邊長為2-a,所以剩下的長方形的兩邊分別為2-a、a-（2

-a）=2a-2,

①當(dāng)2a-2V2-。,即時,

3

則第3次操作時，剪下的正方形邊長為2a-2,剩下的長方形的兩邊分別為2a-2、（2-

a)-(2a-2)=4-3a,

貝！I2a-2=4-3a,解得a=2；

5

②2a-2>2-a,即時

3

則第3次操作時，剪下的正方形邊長為2-小剩下的長方形的兩邊分別為2-八(2a-2)

-(2-a)=3a-4,

則2-a=3a-4,解得a=—；

2

故答案為旦或3.

52

16.(4分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點，QABCO的邊AB在x軸上，頂點

。在y軸的正半軸上，點C在第一象限，將△A。。沿y軸翻折，使點A落在x軸上的點

E處，點B恰好為0E的中點，DE與BC交于點F.若y=K(%W0)圖象經(jīng)過點C,且

x

SMEF=1,則k的值為24.

【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐

標(biāo)特征；平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化-對稱；翻折變換(折疊問題).

【解答】解：連接OC,BD,

?.,將△A。。沿y軸翻折，使點A落在x軸上的點E處，

：.OA=OE,

??,點B恰好為0E的中點，

OE=2OB,

：.OA=2OB,

設(shè)OB=BE=x,則OA=2x,

.\AB=3X9

???四邊形ABC。是平行四邊形,

：.CD=AB=3x,

U：CD//AB,

:.△CDFsABEF,

.BEEF=X=1

,*CD=DF373"

,?*SABEF=1>

:?S叢BDF=3,S&CDF=9,

**?S4BCD=12,

:?SACDO=S>BDC=12，

:.k的值=2S^C0o=24.

三、解答題：本題共9小題，共86分?解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算：(3-TT)2cos30°+|1-?|+(A)

2

【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)幕；負整數(shù)指數(shù)幕；特殊角的三角函數(shù)值.

【解答】解：原式=1-2*返+?-1+2=2.

2

18.如圖，已知點B,C,D,E在一條直線上，AB//FC,AB=FC,BC=DE.求證：AD

//FE.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【解答】證明：：AB〃FC,

；.NB=NFCE,

"：BC=DE,

：.BC+CD=DE+CD.

即BD=CE,

在△A5O和△人;￡：中

'AB=FC

,NB=NFCE，

BD=CE

AAABD^AFCE(SAS),

???NADB=NE,

：.AD//FE.

2

19.先化簡，再求值：「二「J-」其中x=2.

X2-2X+1X+1x

【考點】分式的化簡求值.

【解答】解：原式=(四)(0.D

(x-1)2x+1x

=1,1

X-1X

—X_X-1

x(x-l)x(x-l)

=1,

x(x-l)

當(dāng)x=2時，原式=---=A.

2X12

20.“食品安全”受到全社會的廣泛關(guān)注，我區(qū)兼善中學(xué)對部分學(xué)生就食品安全知識的了解

程度，采用隨機抽樣調(diào)查的方式，并根據(jù)收集到的信息進行統(tǒng)計，繪制了下面的兩幅尚

不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：

扇F統(tǒng)榴翱縮■十圖

(I)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有60人,扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應(yīng)扇形的

圓心角為90°；

(2)請補全條形統(tǒng)計圖；

(3)若對食品安全知識達到“了解”程度的學(xué)生中，男、女生的比例恰為2：3,現(xiàn)從中

隨機抽取2人參加食品安全知識競賽，請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個男生和1

個女生的概率.

【考點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；列表法與樹狀圖法.

【解答】解：(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有30?50%=60(人)，

扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角為360。X25=90°,

60

故答案為：60,90.

(2)了解的人數(shù)有：60-15-30-10=5(人)，補圖如下:

翱統(tǒng)十圖

(3)畫樹狀圖得:

開始

女女女男男

/TV-TV-

女女男男女妥男男女女男男女女女男女女女男

???共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽到1個男生和1個女生的有12種情況，

...恰好抽到1個男生和1個女生的概率為22=3.

205

21.(1)如圖1,已知EK垂直平分BC,垂足為Q,A8與EK相交于點F,連接CF.求證:

NAFE=NCFD.

(2)如圖2,在RtaGMN中，ZM=90",P為MN的中點.

①用直尺和圓規(guī)在GN邊上求作點Q,使得NGQM=/PQN(保留作圖痕跡，不要求寫

作法)

②在①的條件下，如果NG=60°,那么。是GN的中點嗎？為什么？

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；作圖一復(fù)雜作圖.

【解答】(1)證明：如圖1中，

AC

EDK

圖1

〈EK垂直平分線段BC,

:.FC=FB,

：?NCFD=/BFD,

NBFD=NAFE,

：.ZAFE=ZCFD.

(2)①作點P關(guān)于GN的對稱點P'連接PM交GN于Q,連接P。，點0即為所

求.

上

vS--v

理由：：GN垂直平分PP',

AQP'=QP,ZKQP'=NKQP,

■:NGQM=NKQP',

.\ZGQM=ZPQK,

.?.點P即為所求.

②結(jié)論：。是GN的中點.

理由：設(shè)PP'交GN于K.

VZG=60°,NGMN=90°,

：.ZN=30°,

■:PKLKN,

：.PK=KP'=LPN,

2

：.PP'=PN=PM,

=NPMP',

,:NNPK=NP'+ZPMP'=60°,

AZPMP'=30°,

:.NN=NQMN=30°,NG=/GMQ=60°,

J.QM=QN,QM=QG,

：.QG=QN,

.??Q是GN的中點.

22.如圖，直線y=2x-6與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交于點A(4,2),與x軸交

X

于點反

(1)求攵的值及點8的坐標(biāo)；

(2)過點8作8。_Lx軸交反比例函數(shù)的圖象于點D,求點。的坐標(biāo)和的面積；

(3)觀察圖象，寫出不等式K>2x-6的解集.

X

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【解答】解：(1)???點4(4,2)在反比例函數(shù)打&&》0)的圖象上,

X

解得k=8.

將y=0代入y=2x-6，得2x-6=0，解得x=3.

???點B的坐標(biāo)是(3,0).

(2)?..反比例函數(shù)解析式為：y=S(X>0)

將x=3代入得丫3,

y3

...點。的坐標(biāo)是(3,&).

3

/\ABD的面積為s』X—X1』，

233

(3)由圖象可知，不等式￡>2x-6的解集為0〈xV4.

X

23.每年的6月5日為世界環(huán)保日，為了提倡低碳環(huán)保，某公司決定購買10臺節(jié)省能源的

新設(shè)備，現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設(shè)備可供選購.經(jīng)調(diào)查：購買3臺甲型設(shè)備比購買2臺

乙型設(shè)備多花16萬元，購買2臺甲型設(shè)備比購買3臺乙型設(shè)備少花6萬元.

(1)求甲、乙兩種型號設(shè)備的價格；

(2)該公司經(jīng)決定購買甲型設(shè)備不少于3臺，預(yù)算購買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過

110萬元，你認為該公司有哪幾種購買方案；

(3)在(2)的條件下，已知甲型設(shè)備每月的產(chǎn)量為240噸，乙型設(shè)備每月的產(chǎn)量為180

噸.若每月要求總產(chǎn)量不低于2040噸，為了節(jié)約資金，請你為該公司設(shè)計一種最省錢的

購買方案.

【考點】二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用.

【解答】解：(1)設(shè)甲型設(shè)備每臺的價格為x萬元，乙型設(shè)備每臺的價格為y萬元，

根據(jù)題意得：儼力=16,

(2x+6=3y

解得：卜R.

ly=10

答：甲型設(shè)備每臺的價格為12萬元，乙型設(shè)備每臺的價格為10萬元.

(2)設(shè)購買甲型設(shè)備機臺，則購買乙型設(shè)備(10w)臺，

根據(jù)題意得：

|n>3

解得：3W〃W5.

取非負整數(shù)，

?*lit~~3,4,5,

...該公司有3種購買方案，方案一：購買甲型設(shè)備3臺、乙型設(shè)備7臺；方案二：購買

甲型設(shè)備4臺、乙型設(shè)備6臺；方案三：購買甲型設(shè)備5臺、乙型設(shè)備5臺.

(3)由題意：240m+180(10-/M)22040,

解得：

為4或5.

當(dāng),”=4時，購買資金為：12X4+10X6=108(萬元)，

當(dāng)機=5時，購買資金為：12X5+10X5=110(萬元)，

V108<110,

.?.最省錢的購買方案為：選購甲型設(shè)備4臺，乙型設(shè)備6臺.

24.如圖，△ABC內(nèi)接于。0,AB是。。的直徑，C。平分NACB交。。于點Q,交AB于

點F,弦AELCD于點兒連接CE、OH.

(1)延長AB到圓外一點P,連接PC,若PC2=PB，％,求證：PC是。。的切線；

(2)求證：CF-AE=AC-BC；

(3)若￡2=3,。。的半徑是03，求tan/AEC和。”的長.

【考點】圓的綜合題.

【解答】解：如圖，連接OC,

PAPC

,：2P=2P,

：.△ACOS/\PBC,

：.ZPAC=ZPCB,

■:OC=OAf

：.ZACO=ZCAO,

：./ACO=/PCB,

〈AB是。。直徑，

-3=90°,

：.ZOCP=90°,

即OC_LCP,

???OC是半徑，

???PC是。。的切線；

9

(2)：AE.LCDf

：.ZE+ZDCE=90°,

是。。直徑，

AZACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA=90°,

VZE與NCB4所對的弧是左,

:./E=/CBA,

:?/DCE=4CAB,

ZCFB=ZCAB+ZACDf

：./ACE=/CFB,

'：ZE=ZCBA,

：.AACEsACFB,

?AC=AE

"CFBC，

:.CF^E=AC*BC；

(3)如圖，作FM_LAC于M,作產(chǎn)M13C于N作CGJ_AB于G,

D

SAACF=LC?CM=L戶CG,SRBF=?FN=、BF?CG,

2222

平分NAC8,

：.FM=FN,

e-^AC'FM-^AF-CG

?bAACF^2_____^2______

""e11'

,△BCFyBC-FNyBF-CG

?AC=^,

"'BC防’

NAEC=ZABC,

，tanN4EC=tanNABC=&^=W,

BC2

VZACB=90°,CO平分NACB,

：.ZDCB=45a,

"：CDA.AE,

：.ZCHE=90°,

；.NK=45°,

...△4CK為等腰直角三角形，

：.AH=HK,AC=CK,

\"AO=BO,

；.OH為△ABK的中位線，

:.OH=LBK,

2

..AC=AF=2J

,BCBFT

設(shè)AC=3x,BC=2x,

,.,。。的半徑是萬，

."8=2萬，

(3x)2+(2x)2=(2?)2,

解得，X1=2,X2=-2(舍)，

**?AC=3x=6,8c=2x=4,

:?AC=CK=6,BK=CK-CB=2,

：.OH=^BK=l.

2

25.如圖，已知拋物線+云+c經(jīng)過^ABC的三個頂點，其中點A(0,1),點B(-

3

9,10),4?！ā份S，點P是直線AC下方拋物線上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點P且與y軸平行的直線/與直線AB、AC分別交于點E、F,當(dāng)四邊形AECP

的面積最大時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點。，使得以C、P、Q為頂點

的三角形與△A8C相似，若存在，求出點。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【解答】解：(1)?.?點A(0,1).B(-9,10)在拋物線上,

(c=l

-fx81-9b+c=io

、o

.fb=2

\c=l

.,?拋物線的解析式為y=Xv2+2x+l,

3

(2)：AC〃x軸，A(0,1)

-kr2+2x+1=1>

3

?*xi=-6,X2~O,

???點C的坐標(biāo)(-6,1),

??,點A(0,1).3(-9,10),

工直線A3的解析式為y=-x+1,

設(shè)點尸("2,-kw24-2/n+1)

3

:.E("2,+1)

21

*.PE=-m+\-(AW4-2W+I)=--tn-3mf

33

VAC1EP,AC=6,

:?S四邊形AECP

=S&4EC￡APC

=LcxEF+IACXPF

22

=Lcx(EF+PF)

2

=LCXPE

2

=JLX6X(-Xm2-3m)

23

=-m-9tn

=-(m+9)2+AL,

24

:-6<77?<O

當(dāng)m=-9時，四邊形AECP的面積的最大值是21,

24

此時點尸(-9,-互)；

24

(3)；>=?+級+1=工(x+3)2-2,

33

：.P(-3,-2),

PF=yF-yp=3,CF=XF-xc=3,

:?PF=CF,

???NPCF=45°

同理可得：ZEAF=45°,

：.ZPCF=ZEAF,

在直線AC上存在滿足條件的Q,

設(shè)。（f,1）且48=9&,AC=6,CP=3&

:以C、P、。為頂點的三角形與△A8C相似，

①當(dāng)△CPQS^ABC時，

???CQCP,

ACAB_

.|t+6|_3衣

"6:班

；.f=-4或f=-8（不符合題意，舍）

.?.Q（-4,1）

②當(dāng)△CQPS/^ABC時，

??..C.Q二CP,

ABAC_

.|t+6|35/2

"W2=6'

?1=3或f=-15（不符合題意，舍）

：.Q（3,1）

考點卡片

1.數(shù)軸

(1)數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向.

(2)數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理

數(shù).(一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù).)

(3)用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

2,絕對值

(1)概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù).

(2)如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母“本身的取值來確定：

①當(dāng)a是正有理數(shù)時，。的絕對值是它本身a；

②當(dāng)a是負有理數(shù)時，。的絕對值是它的相反數(shù)-a；

③當(dāng)a是零時，a的絕對值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(a<0)

3.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)

(1)科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成aX10"的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，"是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.【科學(xué)記數(shù)法形式：“X10",其中

〃為正整數(shù).】

(2)規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)〃的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位

數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)〃.

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此

法表示，只是前面多一個負號.

4.實數(shù)的運算

(1)實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準(zhǔn)確度.

5.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系

數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)會

減少，達到化筒多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字母

和字母的指數(shù)不變.

6.規(guī)律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規(guī)律題

首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化

規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

7.同底數(shù)嘉的乘法

（1）同底數(shù)新的乘法法則：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

a'n'an=am+n（相，〃是正整數(shù)）

(2)推廣：am*an*aP=am￥n+PCm,n,p都是正整數(shù))

在應(yīng)用同底數(shù)靠的乘法法則時，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,（/射）3與Ca2b2）

4,（x-y）2與（x-y）3等；②。可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只有

相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（3）概括整合：同底數(shù)基的乘法，是學(xué)習(xí)整式乘除運算的基礎(chǔ)，是學(xué)好整式運算的關(guān)鍵.在

運用時要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當(dāng)變

形為同底數(shù)基.

8.幕的乘方與積的乘方

（1）塞的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（am）n=amn（m,”是正整數(shù)）

注意：①幕的乘方的底數(shù)指的是幕的底數(shù)；②性質(zhì)中''指數(shù)相乘”指的是幕的指數(shù)與乘方的

指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)累的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的基相乘.

Cab）"=a%"（〃是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘

方的意義，計算出最后的結(jié)果.

9.平方差公式

（1）平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.

（a+/?）（a-/＞）—a2-b1

（2）應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：

①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；

②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；

③公式中的。和人可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；

④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多

項式法則簡便.

10.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注

意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式