廣東省高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題一 常以客觀題形式考查的幾個(gè)問題第2講　平面向量、復(fù)數(shù)、框圖及合情推理 文

PAGE7-專題一常以客觀題形式考察的幾個(gè)問題第2講平面向量、復(fù)數(shù)、框圖及合情推理真題試做1．(2023·廣東高考，文1)設(shè)i為虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)eq\f(3＋4i,i)＝()．A．－4－3i B．－4＋3iC．4＋3i D．4－3i2．(2023·廣東高考，文3)假設(shè)向量＝(1,2)，＝(3,4)，那么＝()．A．(4,6) B．(－4，－6)C．(－2，－2) D．(2,2)3．(2023·廣東高考，文9)執(zhí)行如下圖的程序框圖，假設(shè)輸入n的值為6，那么輸出s的值為()．A．105 B．16 C．15 D．14．(2023·廣東高考，文10)對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義α°β＝eq\f(α·β,β·β).假設(shè)兩個(gè)非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，且a°b和b°a都在集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)))n∈Z))中，那么a°b＝()．A.eq\f(5,2) B.eq\f(3,2) C．1 D.eq\f(1,2)5．(2023·天津高考，文8)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.假設(shè)＝－2，那么λ＝()．A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3) C.eq\f(4,3) D．26．(2023·陜西高考，文12)觀察以下不等式1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，……照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為________________．考向分析本局部?jī)?nèi)容在高考中通常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬容易題或中檔題，對(duì)平面向量的考察重點(diǎn)是應(yīng)用或與其他知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合，出題頻率較高；對(duì)復(fù)數(shù)的考察主要是復(fù)數(shù)概念、復(fù)數(shù)四那么運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義；對(duì)框圖的考察主要以循環(huán)構(gòu)造的程序框圖為載體考察學(xué)生對(duì)算法的理解；對(duì)合情推理的考察主要以歸納推理為主，考察學(xué)生的觀察、歸納和類比能力．熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一平面向量的運(yùn)算及應(yīng)用【例1】(1)平面向量a與b的夾角為60°，a＝(0,1)，|b|＝2，那么|2a＋b(2)已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．假設(shè)a－2b與c共線，那么k＝__________.規(guī)律方法1.平面向量主要考察：(1)平行、垂直的充要條件；(2)數(shù)量積及向量夾角；(3)向量的模．2．解決此類問題的方法主要有：(1)利用平面向量根本定理及定義；(2)建立坐標(biāo)系通過坐標(biāo)運(yùn)算．變式訓(xùn)練1已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，那么||的最小值為__________．熱點(diǎn)二復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算【例2】(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1＋ai,2－i)為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a為()．A．2 B．－2 C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)(2)復(fù)數(shù)z＝eq\f(2－i,2＋i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為()．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限規(guī)律方法1.處理有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，首先要整理出實(shí)部、虛部，即寫出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)定義解題；2．掌握復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算規(guī)律及in(n∈N*)的結(jié)果．變式訓(xùn)練2已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i為虛數(shù)單位，那么a＋b＝()．A．－1 B．1 C．2 D．3熱點(diǎn)三算法與程序框圖【例2】(2023·北京石景山一模)執(zhí)行下面的程序框圖，假設(shè)輸入的N是6，那么輸出p的值是()．A．120 B．720 C．1440 D．5040規(guī)律方法對(duì)本局部?jī)?nèi)容，首先搞清框圖的運(yùn)算功能，然后根據(jù)已知條件依次執(zhí)行，找出變化規(guī)律，最終得出結(jié)果或?qū)⒖驁D補(bǔ)充完整．變式訓(xùn)練3如圖給出的是計(jì)算eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,20)的值的一個(gè)程序框圖，那么空白框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()．A．i＞10? B．i＜10? C．i＞20? D．i＜20?熱點(diǎn)四合情推理的應(yīng)用【例4】設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)，觀察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝__________.規(guī)律方法運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論時(shí)，要注意從等式、不等式的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、系數(shù)等多個(gè)方面進(jìn)展綜合分析，歸納發(fā)現(xiàn)其一般結(jié)論，假設(shè)已給出的式子較少，規(guī)律不明顯時(shí)，可多寫出幾個(gè)式子，發(fā)現(xiàn)其中的一般結(jié)論．變式訓(xùn)練4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同時(shí)為0)表示過原點(diǎn)的直線．類比以上結(jié)論有：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同時(shí)為0)表示__________．思想滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法．一般是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題．本專題用到的轉(zhuǎn)化與化歸方法有：(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為根本定理、根本公式或根本圖形問題．(2)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問題是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑．(3)類比法：運(yùn)用類比推理，猜想問題的結(jié)論，易于確定．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，假設(shè)＝m，＝n(m，n＞0)，那么eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值為()．A．2 B．4 C.eq\f(9,2) D．9解析：連接AO，那么＝－＝－＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,m)))＋eq\f(1,2)，同理＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n)))＋eq\f(1,2).因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,m)))＋eq\f(1,2)＝，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,m)－\f(λ,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(λ,2)＋\f(λ,n)))＝0.由于，不共線，根據(jù)平面向量根本定理得eq\f(1,2)－eq\f(1,m)－eq\f(λ,2)＝0且eq\f(1,2)－eq\f(λ,2)＋eq\f(λ,n)＝0，消掉λ即得m＋n＝2，故eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(1,2)(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥eq\f(1,2)×(5＋4)＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2m時(shí)取等號(hào)．應(yīng)選C.答案：C1．(2023·廣東惠州一模，文2)設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，假設(shè)復(fù)數(shù)(1＋i)·(a＋bi)＝1＋2i，那么()．A．a(chǎn)＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2) B．a(chǎn)＝3，b＝1C．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,2) D．a(chǎn)＝1，b＝32．(2023·廣東肇慶一模，文10)觀察以下圖，可推斷出“x”應(yīng)該填的數(shù)字是()．A．171 B．183 C．205 D．2683．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：①“假設(shè)a，b∈R，那么a－b＝0a＝b”類比推出“假設(shè)a，b∈C，那么a－b＝0a＝b”；②“假設(shè)a，b，c，d∈R，那么復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d”類比推出“假設(shè)a，b，c，d∈Q，那么a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)a＝c，b＝d”；③“假設(shè)a，b∈R，那么a－b＞0a＞b”類比推出“假設(shè)a，b∈C，那么a－b＞0a＞b”．其中類比得到的正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()．A．0 B．1 C．2 D．34．(2023·廣東潮州期末，文13)假設(shè)下面框圖的程序運(yùn)行結(jié)果為S＝20，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的條件是__________．參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1．D解析：eq\f(3＋4i,i)＝eq\f((3＋4i)·i,i·i)＝eq\f(3i＋4i2,i2)＝－(3i－4)＝4－3i.2．A解析：＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．3．C解析：i＝1，s＝1；i＝3，s＝3；i＝5，s＝15；i＝7時(shí)，輸出s＝15.4．D解析：由已知cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))，再根據(jù)α°β的定義可知，b°a＝eq\f(a·b,a·a)＝eq\f(|a||b|cosθ,a2)＝eq\f(|b|,|a|)cosθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)·\f(|b|,|a|)))；a°b＝eq\f(a·b,b·b)＝eq\f(|a||b|cosθ,|b|2)＝eq\f(|a|,|b|)cosθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)·\f(|a|,|b|))).又因?yàn)閍°b和b°a都在集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)))n∈Z))中，所以n只能取1，此時(shí)a°b＝eq\f(1,2).5．B解析：設(shè)＝a，＝b，∴|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝0.·＝()·()＝[(1－λ)b－a]·(λa－b)＝－λa2－(1－λ)b2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，∴λ＝eq\f(2,3).6．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6)精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】(1)2eq\r(3)解析：|2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2cos60°＋4＝12.∴|2a＋b|＝2eq\r(3).(2)1解析：由于a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，所以a－2b＝(eq\r(3)，3)，而c＝(k，eq\r(3))，且(a－2b)∥c，所以有eq\r(3)×eq\r(3)＝3×k，解得k＝1.【變式訓(xùn)練1】5解析：如圖，設(shè)PC＝x，PD＝y(tǒng).由于∠ADC＝∠BCD＝90°，從而PA＝eq\r(y2＋4)，PB＝eq\r(x2＋1).又，，∴＝＋＋＋＝－xy＋2，因此|＋3|＝＝＝eq\r(y2＋4＋6(－xy＋2)＋9(x2＋1))＝eq\r(9x2＋y2－6xy＋25)＝eq\r((3x－y)2＋25)≥5，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝y(tǒng)時(shí)取最小值5.【例2】(1)A解析：eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f((1＋ai)(2＋i),(2－i)(2＋i))＝eq\f((2－a)＋(2a＋1)i,5)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(2a＋1,5)i為純虛數(shù)，∴eq\f(2－a,5)＝0，∴a＝2.(2)D解析：∵z＝eq\f(2－i,2＋i)＝eq\f((2－i)2,(2＋i)(2－i))＝eq\f(3－4i,5)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．【變式訓(xùn)練2】B解析：∵eq\f(a＋2i,i)＝b＋i，∴a＋2i＝－1＋bi.∴a＝－1，b＝2.∴a＋b＝1.【例3】B解析：當(dāng)k＝1，p＝1時(shí)，p＝p·k＝1,1＜6，滿足；當(dāng)k＝2，p＝1時(shí)，p＝p·k＝2,2＜6，滿足；當(dāng)k＝3，p＝2時(shí)，p＝p·k＝6,3＜6，滿足；當(dāng)k＝4，p＝6時(shí)，p＝p·k＝24,4＜6，滿足；當(dāng)k＝5，p＝24時(shí)，p＝p·k＝120,5＜6，滿足；當(dāng)k＝6，p＝120時(shí)，p＝p·k＝720,6＜6，不滿足，輸出p為720.【變式訓(xùn)練3】A解析：由表達(dá)式eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,20)的最后一項(xiàng)的分