空間兩條直線的位置關(guān)系

.空間兩條直線的位置關(guān)系知識點(diǎn)一空間兩條直線的位置關(guān)系1．異面直線⑴定義：不同在任何一個平面的兩直線叫做異面直線。⑵特點(diǎn)：既不相交，也不平行。⑶理解：①"不同在任何一個平面〞，指這兩條直線永不具備確定平面的條件，因此，異面直線既不相交，也不平行，要注意把握異面直線的不共面性。②"不同在任……〞也可以理解為"任何一個平面都不可能同時經(jīng)過這兩條直線〞。③不能把異面直線誤解為分別在不同平面的兩條直線為異面直線．也就是說，在兩個不同平面的直線，它們既可以是平行直線，也可以是相交直線．2．空間兩條直線的位置關(guān)系⑴相交——在同一平面，有且只有一個公共點(diǎn)；⑵平行——在同一平面，沒有公共點(diǎn)；⑶異面——不同在任何個平面，沒有公共點(diǎn)．1、正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn)，有以下四個結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________．(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)答案：③④2、異面直線是指____．①空間中兩條不相交的直線；②分別位于兩個不同平面的兩條直線；③平面的一條直線與平面外的一條直線；④不同在任何一個平面的兩條直線．變式1、一個正方體中共有對異面直線．知識點(diǎn)二平行直線1．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號表示：a∥ba∥c2．等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向一樣，則這兩個角相b∥c等.DC例3、如圖在長方體ABCD-ABCD中，E、F分別為A11111AB、BC的中點(diǎn)，求證：EF∥AC.BB11變式1、如圖E、F、G、H是平面四邊形ABCD四邊中點(diǎn)，四邊形EFGH的形狀是平行四邊形嗎？為什么？如果將ABCD沿著對角線BD折起就形成空間四邊形ABCD，則四邊形EFGH的形狀還是平行四邊形嗎？DABFCAAEHAEEHD折B例4、如圖在正方體ABCD-ABCD中，E、E分別BEBCD11111FDFG為AD、AD的中點(diǎn)，求證：∠CEB=∠CEBGABC11111C知識點(diǎn)三異面直線EDC1、異面直線的畫法：為了充分顯示出它們既不平行又不相交的特點(diǎn)，常常需要以輔助平面作為襯托，以加強(qiáng)直觀性，如以下圖(l)，假設(shè)畫成如以下圖(2)A的情形，B就分不開了，千萬不能畫成(2)的圖形。畫平面襯托時，通常畫成以下圖中的情形。2、異面直線的判定⑴異面直線判定定理：過平面一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個平面不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異. >.面直線．⑵判定兩條直線為異面直線的常用方法有：①定義法：不同在任一平面的兩條直線．②定理法：過平面一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個平面不經(jīng)過該點(diǎn)的直線為異面直線．③推論法：一條異面直線上兩點(diǎn)與另一條異面直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線．④反證法：反證法是證明立體幾何問題的一種重要方法，證明步驟有三步：一是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；二是由此假設(shè)推出與題目條件或*一公理、定理或*一已被證明是正確的命題相矛盾結(jié)果；三是推翻假設(shè)，從而肯定與假設(shè)相反的結(jié)論，即命題的結(jié)論成立，3、異面直線所成的角a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′//b，直線a′和b′所成的銳角〔或直角〕叫做異面直線a，b所成的角．如以下圖所示．⑴異面直線所成角的圍是0°<≤90°；(2)為了求異面直線a，b所成的角，可以在空間中任取一點(diǎn)O，為了簡便，點(diǎn)O常常取這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)或異面直線連線中點(diǎn)，也可以是異面直線中*一條上的一個特殊點(diǎn).將這個角放入*個三角形中計算這個角的大小，假設(shè)該三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小.(3)我們規(guī)定：兩條平行直線所成的角為0°角，兩條相交直線所成的角為這兩條相交直線所成的四個角中的銳角〔或直角〕，因此在空間中的兩條直線所成的角的圍為(0°，90°]；特別地，假設(shè)兩異面直線所成角為90°，則稱兩異面直線互相垂直；(4)求異面直線所成角的一般步驟是：①構(gòu)造恰當(dāng)?shù)剡x擇一個點(diǎn)，用平移法構(gòu)造異面直線所成的角．②證明證明①中所作出的角就是所求異面直線所成的角，③計算通過解三角形〔常用余弦定理〕等知識，求①中所構(gòu)造的角的大小，④結(jié)論假設(shè)所構(gòu)造的角的大小為，假設(shè)0°<≤90°，則即為所求異面直線所成角的大小；假設(shè)90°<<180°，則180°－即為所求。5、平面l，直線a,alP,直線b,b//l，求證：直線a和b是異面直線．6、如下圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，問：(1)AM和是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由．解：(1)不是異面直線．理由如下：∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，∴MN∥A1C1.又∵A1AD1D，而D1DC1C，∴A1AC1C，A1ACC1為平行四邊形，∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A，M，N，C在同一個平面，AM和不是異面直線．(2)是異面直線．理由如下：假設(shè)D1B與CC1在同一個平面D1CC1，則B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC?平面CC1D1，這與BC是正方體的棱相矛盾，∴假7、如圖2．1．2—18，不共面的三條直線a，b，c相交于點(diǎn)P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求證：AD和BC是異面直線．證法一：〔反證法〕：假設(shè)AD和BC共面，所確定的平面為α，則點(diǎn)P、A、B、C、D都在平面α，∴直線a、b、c都在平面α，與條件a、b、c不共面相矛盾．. >.∴AD與BC是異面直線．證法二：〔直接用判定定理〕：∵a∩c＝P，∴a和c確定一個平面，設(shè)為β，巳知C平面β，B∈平面β，AD平面β，BAD，∴AD和BC是異面直線．變式1、如圖2．1．2—19，a，b是異面直線，A、B∈a，C、D∈b，E、F分別為線段AC和BD的中點(diǎn)，判斷直線EF和a的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．答案：EF和a是異面直線，可用反證法證明．例8、正方體AC中，E，F(xiàn)分別是AB，BCl的中點(diǎn)，求異面直線DB與EF所成角的大小。l 11 1 1變式1、空間四邊形ABCD中，E、F分別是對角線BD、AC的中點(diǎn)，假設(shè)BC＝AD＝2EF，求直線EF與直線AD所成的角。例9、直三棱柱

中，假設(shè)

，

，則異面直線與 所成的角等于A．30°B．45°C．60°D．90°

解：C變式1、空間四邊形ABCD各邊長相等，求異面直線AB和CD所成的角的大小.解：∴異面直線AB、CD成90°角.穩(wěn)固練習(xí)：一、判斷題1.假設(shè)三條直線兩兩平行，則這三條直線必共面．()2.互不平行的兩條直線是異面直線．()二、單項(xiàng)選擇題關(guān)于異面直線，有以下3個命題：①分別在兩個不同平面的兩直線是異面直線②平面的一直線與平面外的一直線是異面直線③都不在*一平面的兩條直線是異面直線其中真命題的個數(shù)是A．0B．1C．2D．3直線a、b是兩條異面直線，A、B與C、D分別為直線a、b上不同的點(diǎn)，則直線AC與BD的關(guān)系是A．可能相交B．可能平行C．異面D．相交或異面兩條異面直線指的是以下命題中，真命題的是A．兩兩相交的三條直線共面B．兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線共面C．不共面的四點(diǎn)中可以有三點(diǎn)共線D．邊長相等的四邊形一定是菱形空間兩條互相平行的直線，指的是A．在空間沒有公共點(diǎn)的兩條直線B．分別在兩個平行平面的兩條直線C．位于同一平面且沒有公共點(diǎn)的兩條直線D．分別與第三條直線成等角的兩條直線平面M、N相交于EF，分別在平面M、N作∠EAC=∠FBD，則AC和BD的關(guān)系是A．異面B．平行C．相交D．不確定直線a和b是異面直線，直線c∥a，則b與cA．異面B．不異面C．相交D．異面或相交. >.如果一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可確定A．4個平面B．3個平面C．2個平面D．1個平面假設(shè)m和n是異面直線，n和l也是異面直線，則C．當(dāng)m與l共面時，m∥lD．m與l相交、異面、平行都可能10．假設(shè)P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則()A．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行B．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直C．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交D．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面11．過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作()A．1條 B．2條C．3條D．4條三、填空題"直線a、b異面〞的否認(rèn)說法是"__________〞．不平行的兩條直線的位置關(guān)系是_________．"直線a、b相交〞的否認(rèn)說法是"__________________________〞．過直線外一點(diǎn)，可以作_____條直線與直線垂直．分別在兩個平面的兩條直線的位置關(guān)系是_____________________．直線a和b是異面直線，直線c和a平行而不和b相交，則c和b的位置關(guān)系是_________．直線a、b確定一個平面，則a、b的位置關(guān)系是________________．"直線a、b異面〞還可以說成"直線a、b既不______，又不______〞．空間有三條直線a、b、c，如果b⊥a，c⊥a，則直線b、c的位置關(guān)系是_________________．和兩條異面直線中的一條相交的直線與另一條直線的位置關(guān)系是______________．直線a、b、c滿足a∥b，b與c是異面直線，則a與c的位置關(guān)系是____________．正方體ABCD─A1B1C1D1中，與側(cè)面對角線AD1成異面直線的棱共有_____條，它們分別是___________________________．正方體ABCD─A1B1C1D1中，與棱AB成異面直線的棱共有_____條，它們分別是____________________．正方體的12條棱中，互為異面直線的有________對.答案一、判斷題1.×2.×二、單項(xiàng)選擇題A2.C3.D4.B5.C6.D7.D8.C9.D10.B11.D三、填空題a、b共面2.相交或異面3.a、b不相交或a、b無公共點(diǎn)無數(shù)5.平行或相交或異面6.異面7.相交或平行8.相交，平行平行或相交或異面10.相交或平行或異面11.相交或異面6；BC，B1C1，BB1，CC1，DC，A1B113.4；A1D1，B1C1，CC1，DD114.24空間兩條直線的位置關(guān)系1.直線a,b都在平面外,則以下推斷錯誤的選項(xiàng)是〔 〕. >.A．a(chǎn)//b,b//

a//

B．

a

b,

b

a//C．a(chǎn)//,b//

a//b

D．

a

,

b

a//b【答案】C2.直線l∥平面α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于l的直線( )A．只有一條，不在平面αB．只有一條，在平面αC．有兩條，不一定都在平面αD．有無數(shù)條，不一定都在平面α【答案】B以下命題正確的選項(xiàng)是〔〕A．假設(shè)兩條直線與同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．假設(shè)一條直線垂直于一個平面的兩條直線，則這條直線垂直于這個平面C．假設(shè)一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D．假設(shè)兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行【答案】C以下四個條件中,能確定一個平面的是〔〕A.一條直線和一個點(diǎn)B.空間兩條直線C.空間任意三點(diǎn)D.兩條平行直線【答案】D在平整的地面上任意放一根筆直的鋼管,則在地面上必存在直線與鋼管所在的直線()A.平行B.相交C.異面D.垂直【答案】D平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系〔〕A．平行B．相交C．異面D．平行、相交或異面【答案】D以下命題中，錯誤的選項(xiàng)是()A．三角形的兩條邊平行一個平面，則第三邊也平行于這個平面．B．平面α∥平面β，aα，過β的一點(diǎn)B有惟一的一條直線b，使b∥a.C．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交線為a、b、c、d，則a∥b∥c∥d.D．一條直線與兩個平面所成角相等，則這兩個平面平行．【答案】D8.直線m不平行于平面，且m，則以下結(jié)論成立的是〔〕A．所有直線與m異面B．不存在與m平行的直線C．存在唯一的直線與m平行D．的直線與m都相交【答案】B正三棱錐P-ABC的高為2，側(cè)棱與底面所成的角為450，則點(diǎn)A到側(cè)面PBC的距離是〔〕A.5B.22C.2D.655【答案】D在棱長為1的正方體ABCD—ABCD中，M和N分別是AB和BB的中點(diǎn)，則直線AM與1111 11 1所成角的余弦值是〔〕. >.31032A．2B．10C．5D．5【答案】D直線l,m，平面,，且l，m，給出以下四個命題：①假設(shè)∥，則lm；②假設(shè)lm，則∥；③假設(shè)，則l∥m；④假設(shè)l∥m，則．其中真命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【答案】B設(shè)m、n是兩條不同的直線，、是兩個不重合的平面，給定以下四個命題：①假設(shè)mn，n，則m； ②假設(shè)a，a，則；③假設(shè)m，n，則m//n；真命題的是〔 〕A．①和②B．②和③【答案】B

④假設(shè)m，n，//則m//n．其中C．③和④ D．②和④如圖，在正四棱柱ABCDABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則以下結(jié)1 1 1 1 1 1論中不成立的是〔〕．．．D1CB1A11EFDCA BA．EF與BB垂直 B．EF與BD垂直 C．EF與CD異面 D．EF與1AC異面1 1【答案】D異面直線a、b，a⊥b，c與a成30°角，則c與b成角的圍是(). >.,,3262B.22,,6333D.【答案】A在正方體ABCD—ABCD中，AC與BD所成的角的大小〔〕1111 1A．B．64C．D．32【答案】D空間直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A〔0，0，3〕，B〔0，4，0〕，C〔5，0，0〕則經(jīng)過O、A、B、C四點(diǎn)的球的體積為〔〕A．50B．1252C．10002D．25334【答案】B設(shè)m,n是兩條不同直線,,是兩個不同的平面,給出以下四個命題①假設(shè)m,n//,則m//n②m,n,mn,則③假設(shè)n,m//n,則m//,且m//④假設(shè)m,m,則//其中正確的命題是()A.① B.② C.③④D.②④【答案】D直線l和平面,，〔〕A．假設(shè)l∥，，則lB．假設(shè)l∥，∥，則l∥C．假設(shè)l∥，l，則∥D．假設(shè)l⊥，l，則【答案】D在以下條件下，可判斷平面與平面平行的是〔〕α、β都垂直于平面γα不共線的三個點(diǎn)到β的距離相等l,m是α兩條直線且l∥β,m∥βl,m是異面直線,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β. >.【答案】D20.設(shè)m,n是空間兩條不同直線，,是空間兩個不同平面，當(dāng)m,n時,以下命題正確的選項(xiàng)是A．假設(shè)mn，則B．假設(shè)mn，則C．假設(shè)m，則mnD．假設(shè)n，則m【答案】C21. 直線l、m,平面、，則以下命題中：①．假設(shè)//，l,則l//②．假設(shè)，l,則l//③．假設(shè)l//，m,則l//m④．假設(shè)，l, ml,則m，其中真命題有〔〕A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B如圖1所示，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個四面體，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，如圖2所示，則，在四面體AEFH中必有( )．A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【答案】A23.如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面的對數(shù)為〔〕A．1B．2C．3D．4【答案】C24.棱長為1的正方體ABCD-ABCD中,點(diǎn)M,N分別在線段AB,BC上,且AM=BN,給出以下結(jié)111111論:①AA⊥MN②異面直線AB,BC所成的角為60°111③四面體B-DCA的體積為1113④AC⊥AB,AC⊥BC,其中正確的結(jié)論的個數(shù)為〔〕1111A．4B]3C．2D．1【答案】A一平面平行于兩條異面直線，一直線與兩異面直線都垂直，則這個平面與這條直線的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直 C．斜交 D．不能確定【答案】B26. 兩個不重合的平面,，給定以下條件：①不共線的三點(diǎn)到的距離相等；②l,m是的兩條直線，且l//,m//；. >.l,m是兩條異面直線，且l//,l//,m//,m//；其中可以判定//的是〔〕A．①B．②C．①③D．③【答案】D如下圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分別為CD、DA和AC的中點(diǎn)．求證：平面BEF⊥平面BGD.【答案】∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中點(diǎn)，∴BG⊥AC，DG⊥AC.∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.又EF？平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.三條不重合的直線m,n,l，兩個不重合的平面,，有以下命題：①假設(shè)l//,m//，且//，則l//m②假設(shè)l,m，且l//m，則//③假設(shè)m,n，m//,n//，則//④假設(shè), m,n,nm，n其中真命題的個數(shù)是〔〕A．4B．3C．2D．1【答案】C假設(shè)M、N分別是△ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，MN與過直線BC的平面β的位置關(guān)系是〔〕A.MN∥βB.MN與β相交或MNβC.MN∥β或MNβD.MN∥β或MN與β相交或MNβ【答案】C空間三條直線互相平行,由每兩條平行線確定一個平面,則可確定平面的個數(shù)為〔〕A．3B．1或2C．1或3D．2或3【答案】C兩個不同的平面α，和兩條不重合的直線m,n，則以下四種說確的為()A、假設(shè)m∥n,n