2022年-2022年新課標(biāo)全國卷1文科數(shù)學(xué)分類匯編-9．解析幾何

新課標(biāo)全國卷Ⅰ文科數(shù)學(xué)分類匯編9．解析幾何（含解析）一、選擇題【2022，5】已知是雙曲線的右焦點，是上一點，且與軸垂直，點的坐標(biāo)是，則的面積為（）A．B．C．D．【解法】選D．由得，所以，將代入，得，所以，又A的坐標(biāo)是(1,3)，故APF的面積為，選D．【2022，12】設(shè)A、B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是()A． B．C． D．【解法】選A．圖SEQ圖\*ARABIC1圖SEQ圖\*ARABIC2解法一：設(shè)是橢圓C短軸的兩個端點，易知當(dāng)點是橢圓C短軸的端點時最大，依題意只需使．1．當(dāng)時，如圖1，，解得，故；2．當(dāng)時，如圖2，，解得．綜上可知，m的取值范圍是，故選A．解法二：設(shè)是橢圓C短軸的兩個端點，易知當(dāng)點是橢圓C短軸的端點時最大，依題意只需使．1．當(dāng)時，如圖1，，即，帶入向量坐標(biāo)，解得，故；2．當(dāng)時，如圖2，，即，帶入向量坐標(biāo)，解得．綜上可知，m的取值范圍是，故選A．【2022，5】直線經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（）A．B．C．D．解析：選B．由等面積法可得，故，從而．故選B．【2022，5】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C:y2=8x，的焦點重合，A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則|AB|=()A．3B．6C．9D．12解：選B．拋物線的焦點為(2,0)，準(zhǔn)線為x=-2，所以c=2，從而a=4，所以b2=12，所以橢圓方程為，將x=-2代入解得y=±3，所以|AB|=6，故選B【2022，10】10．已知拋物線C：y2=x的焦點為F，A(x0,y0)是C上一點，|AF|=，則x0=()AA．1B．2C．4D．8解：根據(jù)拋物線的定義可知|AF|=，解之得x0=1．故選A【2022，4】4．已知雙曲線的離心率為2，則a=()DA．2B．C．D．1解：，解得a=1，故選D【2022，4】已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的離心率為，則C的漸近線方程為()．A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝±x解析：選C．∵，∴，即．∵c2＝a2＋b2，∴．∴．∵雙曲線的漸近線方程為，∴漸近線方程為．故選C．【2022，8】O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝的焦點，P為C上一點，若|PF|＝，則△POF的面積為()．A．2B．C．D．4答案：C解析：利用|PF|＝，可得xP＝，∴yP＝．∴S△POF＝|OF|·|yP|＝．故選C．【2022，4】4．設(shè)、是橢圓E：（）的左、右焦點，P為直線上一點，是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（）A．B． C． D．【解析】如圖所示，是等腰三角形，，，，，，又，所以，解得，因此，故選擇C．【2022，10】10．等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在軸上，C與拋物線的準(zhǔn)線交于A，B兩點，，則C的實軸長為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)等軸雙曲線C的方程為，即（），拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立方程，解得，因為，所以，從而，所以，，，因此C的實軸長為，故選擇C．【2022，4】橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【解析】選D．因為中，，所以，所以．【2022，9】已知直線過拋物線的焦點，且與的對稱軸垂直，與交于，兩點，，為的準(zhǔn)線上一點，則的面積為（）．A．B．C．D．【解析】不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于垂直于對稱軸且過焦點，故直線的方程為．代入得，即，又，故，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故．故選C．二、填空題【2022，15】設(shè)直線與圓相交于兩點，若，則圓的面積為．解析：．由題意直線即為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心到直線的距離，所以，故，所以．故填．【2022，16】已知F是雙曲線C:的右焦點，P是C左支上一點，，當(dāng)ΔAPF周長最小時，該三角形的面積為．解：．a(chǎn)=1，b2=8，c=3，∴F(3,0)．設(shè)雙曲線的的左焦點為F1，由雙曲線定義知|PF|=2+|PF1|，∴ΔAPF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|+|PF1|+2，由于|AF|是定值，只要|PA|+|PF1|最小，即A,P,F1共線，∵，F(xiàn)1(-3,0)，∴直線AF1的方程為，聯(lián)立8x2-y2=8消去x整理得y2+y-96=0，解得y=或y=(舍去)，此時SΔAPF=SΔAFF1-SΔPFF1．三、解答題【2022，20】設(shè)A，B為曲線C：上兩點，A與B的橫坐標(biāo)之和為4．（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且，求直線AB的方程．解析：第一問：【解法1】設(shè),AB直線的斜率為k，又因為A,B都在曲線C上，所以-得由已知條件所以，即直線AB的斜率k=1．【解法2】設(shè),AB直線的方程為y=kx+b,所以整理得：且所以k=1第二問：設(shè)所以又所以所以M（2,1），，，且，即，設(shè)AB直線的方程為，化簡得，所以由得所以b=7或者b=-1(舍去)所以AB直線的方程為y=x+7【2022，20】在直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點，交拋物線于點，關(guān)于點的對稱點為，連結(jié)并延長交于點．（1）求；（2）除以外，直線與是否有其他公共點？請說明理由．解析（1）如圖，由題意不妨設(shè)，可知點的坐標(biāo)分別為，，，從而可得直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，．即點的坐標(biāo)為，從而由三角形相似可知．（2）由于，，可得直線的方程為，整理得，聯(lián)立方程，整理得，則，從而可知和只有一個公共點．【2022，20】已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點.(Ⅰ)求k的取值范圍；(Ⅱ)=12，其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|.解：(Ⅰ)依題可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，則圓心C(2,3)到的l距離.解得.所以k的取值范圍是.(Ⅱ)將y=kx+1代入圓C的方程整理得(k2+1)x2-4(k+1)x+7=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=12，解得k=1，所以l的方程為y=x+1.故圓心在直線l上，所以|MN|=2.【2022，21】已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB|.解：由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為(x≠－2)．(2)對于曲線C上任意一點P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時，R＝2.所以當(dāng)圓P的半徑最長時，其方程為(x－2)2＋y2＝4.若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|＝.若l的傾斜角不為90°，由r1≠R知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點為Q，則，可求得Q(－4,0)，所以可設(shè)l：y＝k(x＋4)．由l與圓M相切得＝1，解得k＝.當(dāng)k＝時，將代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，所以|AB|＝|x2－x1|＝.當(dāng)k＝時，由圖形的對稱性可知|AB|＝.綜上，|AB|＝或|AB|＝.【2022，20】設(shè)拋物線C：（）的焦點為F，準(zhǔn)線為，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交于B，D兩點。（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為，求的值及圓F的方程；（2）若A，B，F(xiàn)三點在同一直線上，直線與平行，且與C只有一個公共點，求坐標(biāo)原點到，距離的比值?！窘馕觥浚?）若∠BFD=90°，則△BFD為等腰直角三角形，且|BD|=，圓F的半徑，又根據(jù)拋物線的定義可得點A到準(zhǔn)線的距離。因為△ABD的面積為，所以，即，所以，由，解得。從而拋物線C的方程為，圓F的圓心F（0，1），半徑，因此圓F的方程為。（2）若A，B，F(xiàn)三點在同一直線上，則AB為圓F的直徑，∠ADB=90°，根據(jù)拋物線的定義，得，所以，從而直線的斜率為或。當(dāng)直線的斜率為時，直線的方程為，原點O到直線的距離。依題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，因為直線與C只有一個公共點，所以，從而。所以直線的方程為，原點O到直線的距離。因此坐標(biāo)原點到，距離的比值為。當(dāng)直線的斜率為時，由圖形的對稱性可