章節(jié)函數(shù)與極限市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

第一章函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)第二節(jié)數(shù)列極限第三節(jié)函數(shù)極限第四節(jié)無窮小與無窮大第五節(jié)極限運(yùn)算法則第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個主要極限第1頁第1頁第七節(jié)無窮小比較第八節(jié)函數(shù)連續(xù)性與間斷點第九節(jié)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算與初等函數(shù)連續(xù)性第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)第2頁第2頁第一節(jié)映射與函數(shù)一、集合二、映射三、函數(shù)返回第3頁第3頁

一、集合

集合與元素之間關(guān)系a∈M：若x是集合元素；

1.集合概念(1)集合：含有某種特定性質(zhì)事物總體，集合元素通慣用A，B，S，T等表示.元素:構(gòu)成這個集合事物集合元素通慣用a，b，x，y等表示.集合分為有限集和無限集.a

M:若x不是集合元素.(2)集合表示法列舉法:將集合元素一一列舉出來,描述法:如:第4頁第4頁N={全體自然數(shù)}，Z={全體整數(shù)}，Q={全體有理數(shù)}，R={全體實數(shù)}.(3)慣用集合記號假如，必有,則稱A是B子集，記為不含任何元素集合，則稱為空集記為Φ.Φ是任何集合子集.(4)集合關(guān)系集合:集合A內(nèi)排除0集.集合:集合B內(nèi)排除0與負(fù)數(shù)集.若，且,則稱A是B真子集,記為.若，且,則稱A與B相等,記為.第5頁第5頁2、集合運(yùn)算是二個集合，定義設(shè)A、B(A與B并集)(A與B交集)(A與B差集)設(shè)I表示我們研究某個問題全體,則其它集合A都是I子集,稱I為全集或基本集.A余集或補(bǔ)集記為:比如:在實數(shù)集R中則有第6頁第6頁設(shè)A、B、C為任意三個集合，則有下列法則成立：（1）互換律（2）結(jié)合律（3）分派律（4）對偶律以上這些法則都能夠依據(jù)集合相等定義驗證.第7頁第7頁證實:兩個集合并集余集等于它們余集交集.證實:且且反之,且注:在以后證實中,“”表示“推出”(或“蘊(yùn)含”),“”表示“等價”.且于是第8頁第8頁直積或笛卡兒乘積比如：為xOy面上全體點集合，記為第9頁第9頁3、區(qū)間和鄰域設(shè)a,b∈R,且a<b,開區(qū)間閉區(qū)間半開區(qū)間和稱a,b為區(qū)間端點，稱b－a為這些區(qū)間長度.以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.第10頁第10頁無限區(qū)間用數(shù)軸能夠表示區(qū)間,區(qū)間慣用I表示.引進(jìn)記號：

+∞

－∞

∞（讀作正無窮大）(讀作負(fù)無窮大）（讀作無窮大）第11頁第11頁(2)點a去心鄰域：注若不強(qiáng)調(diào)δ大小，點a去心鄰域記為U(a)鄰域點a左δ鄰域:開區(qū)間(a-δ,a)點a右δ鄰域:開區(qū)間(a,a+δ)(1)設(shè)δ是任一正數(shù)，稱開區(qū)間(a-δ,a+δ)為點aδ鄰域，記為U(a,δ)，即

點a稱為該鄰域中心，稱δ為該鄰域半徑.a返回第12頁第12頁二、映射1、映射概念定義設(shè)X、Y是二個非空集合，假如存在一個法則

,使得對X中每個元素x,按法則

,在Y中有唯一擬定元素y與之相應(yīng),則稱

為從X到Y(jié)映射,記為

其中y稱為元素x(在映射下)像,記作,即,元素x稱為元素y(在映射下)一個原像;集合X稱為映射定義域,記作,即X中所有元素像所構(gòu)成集合稱為映射值域,記作或,即第13頁第13頁注意:(1)

一個映射必須具備下列三個要素:集合X,即定義域集合Y,即值域范圍:相應(yīng)法則使對每個有唯一擬定與之相應(yīng).(2)對每個,元素x像y是唯一;對每個,元素y原像不一定是唯一;映射值域是Y一個子集,即,不一定.第14頁第14頁例1設(shè),對每個,.顯然,是一個映射,定義域,值域它是R一個真子集.對于中元素y,除y=0外,它原像不是唯一.如y=4原像就有x=2和x=-2兩個.例2設(shè)對每個,有唯一擬定與之相應(yīng).顯然,是一個映射,定義域,值域Oxy-11這個映射表示將平面上一個圓心在原點單位圓周上點投影到x軸區(qū)間[-1,1]上.第15頁第15頁例3設(shè)對每個,這是一個映射,其定義域,值域為X到Y(jié)上映射（或滿射）：為X到Y(jié)上單射：是從集合X到集合Y映射，若都是X中某元素像.即Y中任一元素y若對X中任意兩個不同元素它們像為一一映射（或雙射）：若映射既是單射，又是滿射.如:例1既非單射,又非滿射;例2不是單射,是滿射;例3既是單射,又是滿射,因此是一一映射.第16頁第16頁映射又稱為算子.依據(jù)集合X、Y不同情形,在不同數(shù)學(xué)分支中,映射又有不同慣用名稱.如:從非空集合X到數(shù)集Y映射又稱為X上泛函.從非空集合X到它本身映射又稱為X上變換.從實數(shù)集(或其子集)X到實數(shù)集Y映射稱為定義在X上函數(shù).第17頁第17頁2.逆映射與復(fù)合映射是X到Y(jié)上單射,設(shè)即于是,能夠定義一個從到X新映射g,對每個要求這x滿足這個映射g稱為f逆映射,記作其定義域值域注意:只有單射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:第18頁第18頁設(shè)有兩個映射其中則能夠擬定一個從X到Z映射,稱為復(fù)合映射,記作即注意:映射g和f構(gòu)成復(fù)合映射條件:二者也不同時故意義.第19頁第19頁例4設(shè)有映射對每個映射對每個返回第20頁第20頁三、函數(shù)1.函數(shù)概念因變量自變量定義設(shè)數(shù)集，則稱映射為定義D上函數(shù)，通常簡記為

D稱為定義域,記作,即.

對每個,按相應(yīng)法則f,總有唯一擬定值y與之相應(yīng),這個值稱為函數(shù)f在x處函數(shù)值,記作f(x),即y=f(x).函數(shù)值f(x)全體所構(gòu)成集合稱為函數(shù)f值域,記作或f(D),即第21頁第21頁函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集映射,其值域總在R內(nèi).函數(shù)兩要素:定義域與相應(yīng)法則f.假如兩個函數(shù)定義域相同,對應(yīng)法則也相同,那么這兩個函數(shù)就是相同,不然就是不同.商定:定義域是自變量所能取使算式有(實際)意義一切實數(shù)值.假如自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，相應(yīng)函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，不然叫與多值函數(shù)．比如:第22頁第22頁對于多值函數(shù),往往只要附加一些條件,就能夠?qū)⑺癁閱沃岛瘮?shù),這樣得到單值函數(shù)稱為多值函數(shù)單值分支.比如,在由方程給出相應(yīng)法則中,附加“”條件,就可得到一個單值分支表示函數(shù)主要辦法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）.定義:點集稱為函數(shù)圖形.第23頁第23頁常見幾種函數(shù)例5函數(shù)y=2它定義域值域它圖形是一條平行于x軸直線.Oxyy=2例6函數(shù)定義域D=(－∞,+∞),值域=[0,+∞).這個函數(shù)稱為絕對值函數(shù).Oxy第24頁第24頁1-1xyo例7函數(shù)稱為符號函數(shù),定義域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.第25頁第25頁12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線[x]表示不超出最大整數(shù)例8取整函數(shù)

y=[x]如[-3.4]=-4,[－1]=－1,定義域D=(－∞,+∞),值域=Z.第26頁第26頁例9函數(shù)是一個分段函數(shù).它定義域D=[0,+∞).如:yxO1第27頁第27頁2.函數(shù)幾種特性(1)函數(shù)有界性:oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX無界則稱函數(shù)若有成立，f(x)在X上有界.不然稱為無界.(2)有界是否是和X相關(guān).(1)當(dāng)一個函數(shù)有界時，它界是不唯一.注意:使(3)證實無界辦法:對于任意正數(shù)M,總存在第28頁第28頁(2)函數(shù)單調(diào)性:xyo及設(shè)函數(shù)f(x)定義域為D,區(qū)間假如對于區(qū)間I上任意兩點當(dāng)時,恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增長;第29頁第29頁xyo及設(shè)函數(shù)f(x)定義域為D,區(qū)間則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少;假如對于區(qū)間I上任意兩點當(dāng)時,恒有第30頁第30頁(3)函數(shù)奇偶性:偶函數(shù)yxox-x設(shè)函數(shù)f(x)定義域為D關(guān)于原點對稱,對于有f(-x)=f(x)恒成立,則稱f(x)為偶函數(shù);偶函數(shù)圖形關(guān)于y軸對稱.函數(shù)y=cosx是偶函數(shù).第31頁第31頁奇函數(shù)yxox-x設(shè)函數(shù)f(x)定義域為D關(guān)于原點對稱,對于有f(-x)=-f(x)恒成立,則稱f(x)為奇函數(shù).奇函數(shù)圖形關(guān)于原點對稱.函數(shù)y=sinx是偶函數(shù).函數(shù)y=sinx+cosx既非奇函數(shù),又非偶函數(shù).第32頁第32頁(4)函數(shù)周期性:函數(shù)sinx,cosx周期是函數(shù)tanx周期是（通常說周期函數(shù)周期是指其最小正周期）.則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)周期.一有且恒成立,設(shè)函數(shù)f(x)定義域為D,假如存在一個正數(shù)l,使得對于任第33頁第33頁有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo例10狄利克雷函數(shù)它是一個周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它周期,但它沒有最小正周期.第34頁第34頁3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)定義:設(shè)函數(shù)是單射,則它存在逆函數(shù)稱此映射為函數(shù)f反函數(shù).如:函數(shù)是單射,其反函數(shù)為若函數(shù)f(x)在D上是單調(diào)函數(shù),則也是f(D)上單調(diào)函數(shù).DD)(xfy=函數(shù)第35頁第35頁

直接函數(shù)與反函數(shù)圖形關(guān)于直線對稱.相對于反函數(shù)本來函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù).第36頁第36頁復(fù)合函數(shù)定義:設(shè)函數(shù)定義域為函數(shù)u=g(x)在D上有定義,且則由下式擬定函數(shù)稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù),它定義域為D,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成復(fù)合函數(shù)通常記為函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成復(fù)合函數(shù)條件是:函數(shù)g在D上值域g(D)必須含在f定義域內(nèi),即第37頁第37頁注意:1.不是任何兩個函數(shù)都能夠復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù);2.復(fù)合函數(shù)能夠由兩個以上函數(shù)通過復(fù)合構(gòu)成.如:如:第38頁第38頁4.函數(shù)運(yùn)算設(shè)函數(shù)f(x),g(x)定義域依次為則能夠定義這兩個函數(shù)下列運(yùn)算：和(差)積商第39頁第39頁例11設(shè)函數(shù)f(x)定義域為(-l,l),證