2023年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)（五）分式與分式方程試題（新版）北師大版

PAGEPAGE5期末復(fù)習(xí)(五)分式與分式方程知識(shí)結(jié)構(gòu)分式與分式方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(認(rèn)識(shí)分式\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(根本性質(zhì),約分)),分式的乘除法,分式的加減法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同分母分式的加減法,異分母分式的加減法)),分式方程\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(概念及解法,應(yīng)用))))本章知識(shí)在考試中常考點(diǎn)為解分式方程，分式化簡求值，常與不等式結(jié)合，考解答題．典例精講【例1】(衡陽中考)假設(shè)分式eq\f(x－2,x＋1)的值為0，那么x的值為(C)A．2或－1B．0C．2D．－1【思路點(diǎn)撥】由分式的值為0可知x－2＝0，得x＝2.又由于分母不能為0可得x＋1≠0，即x≠－1，所以x＝2.【方法歸納】分式的值等于零的條件是分式的分母不等于零且分子等于零，不可無視分母不等于零這個(gè)條件．【例2】以下各式從左到右的變形正確的選項(xiàng)是(A)A.eq\f(x－\f(1,2)y,\f(1,2)x＋y)＝eq\f(2x－y,x＋2y)B.eq\f(0.2a＋b,a＋0.2b)＝eq\f(2a＋b,a＋2b)C．－eq\f(x＋1,x－y)＝eq\f(x－1,x－y)D.eq\f(a＋b,a－b)＝eq\f(a－b,a＋b)【思路點(diǎn)撥】此題主要考查分式的根本性質(zhì)及變號(hào)法那么．對(duì)于A，由分式的根本性質(zhì)知eq\f(x－\f(1,2)y,\f(1,2)x＋y)＝eq\f(2x－y,x＋2y)；對(duì)于B，由分式的根本性質(zhì)知eq\f(0.2a＋b,a＋0.2b)＝eq\f(10〔0.2a＋b〕,10〔a＋0.2b〕)＝eq\f(2a＋10b,10a＋2b)；對(duì)于C，由變號(hào)法那么知－eq\f(x＋1,x－y)＝eq\f(－〔x＋1〕,x－y)＝eq\f(－x－1,x－y)；對(duì)于D，由變號(hào)法那么知eq\f(a＋b,a－b)＝eq\f(－〔a＋b〕,－〔a－b〕)＝eq\f(－a－b,－a＋b).【方法歸納】分式根本性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是恒等變形，即“形〞變而“分式的值〞不變，不能等同于等式的性質(zhì)．【例3】(煙臺(tái)中考)先化簡：eq\f(x2＋x,x2－2x＋1)÷(eq\f(2,x－1)－eq\f(1,x))，再從－2<x<3的范圍內(nèi)選取一個(gè)你喜歡的x值代入求值．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)運(yùn)算順序先進(jìn)行分式的減法運(yùn)算，再根據(jù)分式的除法法那么，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后將x＝2或其他值(注意不能取x＝0，±1)代入計(jì)算即可求出值．【解答】原式＝eq\f(x〔x＋1〕,〔x－1〕2)÷eq\f(2x－〔x－1〕,x〔x－1〕)＝eq\f(x〔x＋1〕,〔x－1〕2)·eq\f(x〔x－1〕,x＋1)＝eq\f(x2,x－1).由題意，可取x＝2(注意不能取x＝0，±1，否那么題中出現(xiàn)的分式無意義)代入上式，eq\f(x2,x－1)＝eq\f(22,2－1)＝4.(答案不唯一)【方法歸納】分式的化簡求值，首先要對(duì)分式進(jìn)行化簡，化簡時(shí)要注意運(yùn)算順序，有括號(hào)要先算括號(hào)里的，除法轉(zhuǎn)化為乘法，分子、分母能分解因式的要分解，代入求值時(shí)要使原式有意義．【例4】(山西中考)解方程：eq\f(1,2x－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,4x－2).【思路點(diǎn)撥】先將分式方程化為整式方程，解這個(gè)整式方程，將得到的解代入原方程檢驗(yàn)即可確定原方程解的情況．【解答】方程兩邊同時(shí)乘以2(2x－1)，得2＝2x－1－3.解得x＝3.檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，2(2x－1)＝2(2×3－1)≠0.所以，x＝3是原分式方程的解．【方法歸納】解分式方程切記：(1)解分式方程的根本思想是“轉(zhuǎn)化思想〞，方程兩邊都乘最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；(2)解分式方程一定注意要代入最簡公分母驗(yàn)根．【例5】(廣東中考)某工程隊(duì)修建一條長1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．(1)求這個(gè)工程隊(duì)原方案每天修建道路多少米？(2)在這項(xiàng)工程中，如果要求工程隊(duì)提前2天完成任務(wù)，那么實(shí)際平均每天修建道路的工效比原方案增加百分之幾？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等量關(guān)系：原方案修建天數(shù)－工效提升后修建天數(shù)＝提前天數(shù)，列分式方程求解．【解答】(1)設(shè)這個(gè)工程隊(duì)原方案每天修建道路xm．根據(jù)題意，得eq\f(1200,x)－eq\f(1200,〔1＋50%〕x)＝4.解得x＝100.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是原方程的解，且符合題意．答：這個(gè)工程隊(duì)原方案每天修建道路100m.(2)設(shè)實(shí)際平均每天修建道路的工效比原方案增加的百分比為a，那么eq\f(1200,100)－2＝eq\f(1200,100×〔1＋a〕).解得a＝20%.經(jīng)檢驗(yàn)，a＝20%是原方程的解，且符合題意．答：這個(gè)工程隊(duì)實(shí)際平均每天修建道路的工效比原方案增加了20%.【方法歸納】對(duì)于列分式方程解應(yīng)用題的題目，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，從而正確地建立方程模型，求出結(jié)果，最后一定要進(jìn)行驗(yàn)根，找出符合實(shí)際情況的解．整合集訓(xùn)一、選擇題(每題3分，共30分)1．在以下各式5x－7，3x2－1，eq\f(b－3,2a＋1)，eq\f(m〔n＋p〕,7)，－5，eq\f(x2－xy＋y2,2x－1)，eq\f(2,7)，eq\f(4,5b＋c)中，是分式的有(B)A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)2．以下分式是最簡分式的(B)A.eq\f(2a,3a2b)B.eq\f(a＋b,a2＋b2)C.eq\f(a,a2－3a)D.eq\f(a2－ab,a2－b2)3．分式eq\f(2ab,－a2b)約分后等于(C)A．－1B．－2aC．－eq\f(2,a)D.eq\f(2,a)4．(深圳中考)分式eq\f(x2－4,x＋2)的值為0，那么(C)A．x＝－2B．x＝±2C．x＝2D．x＝05．化簡eq\f(m2－3m,9－m2)的結(jié)果是(B)A.eq\f(m,m＋3)B．－eq\f(m,m＋3)C.eq\f(m,m－3)D.eq\f(m,3－m)6．(天津中考)分式方程eq\f(2,x－3)＝eq\f(3,x)的解是(D)A．x＝0B．x＝3C．x＝5D．x＝97．有游客m人，如果每n個(gè)人住一個(gè)房間，結(jié)果還有一個(gè)人無房住，那么客房的間數(shù)為(A)A.eq\f(m－1,n)B.eq\f(m,n)－1C.eq\f(m＋1,n)D.eq\f(m,n)＋18．(天津中考)假設(shè)x＝－1，y＝2，那么eq\f(2x,x2－64y2)－eq\f(1,x－8y)的值等于(D)A．－eq\f(1,17)B.eq\f(1,17)C.eq\f(1,16)D.eq\f(1,15)9．(畢節(jié)中考)為加快“最美畢節(jié)〞環(huán)境建設(shè)，某園林公司增加了人力進(jìn)行大型樹木移植，現(xiàn)在平均每天比原方案多植樹30棵，現(xiàn)在植樹400棵所需時(shí)間與原方案植樹300棵所需時(shí)間相同，設(shè)現(xiàn)在平均每天植樹x棵，那么列出的方程為(A)A.eq\f(400,x)＝eq\f(300,x－30)B.eq\f(400,x－30)＝eq\f(300,x)C.eq\f(400,x＋30)＝eq\f(300,x)D.eq\f(400,x)＝eq\f(300,x＋30)10．(涼山中考)關(guān)于x的方程eq\f(3x－2,x＋1)＝2＋eq\f(m,x＋1)無解，那么m的值為(A)A．－5B．－8C．－2D．5二、填空題(每題4分，共20分)11．(珠海中考)假設(shè)分式eq\f(3,x－5)有意義，那么x應(yīng)滿足x≠5．12．要使eq\f(5,x－1)與eq\f(4,x－2)的值相等，那么x＝6．13．(臨夏中考)化簡：eq\f(x2,x－2)＋eq\f(4,2－x)＝x＋2．14．當(dāng)m＝2016時(shí)，計(jì)算：eq\f(m2,m＋3)－eq\f(9,m＋3)＝2_013．15．關(guān)于x的方程eq\f(3x＋n,2x＋1)＝2的解是負(fù)數(shù)，那么n的取值范圍為n<2且n≠eq\f(3,2)．三、解答題(共50分)16．(6分)化簡：(1)eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b)＋eq\f(b,a〔a＋b〕)；解：原式＝eq\f(ab＋a2＋ab＋b2,ab〔a＋b〕)＝eq\f(〔a＋b〕2,ab〔a＋b〕)＝eq\f(a＋b,ab).(2)(淄博中考)eq\f(ab＋b2,5ab2)·eq\f(15a2b,a2－b2).解：原式＝eq\f(b〔a＋b〕,5ab2)·eq\f(15a2b,〔a＋b〕〔a－b〕)＝eq\f(3a,a－b).17．(6分)(廣安中考)解方程：eq\f(1－x,x－2)＝eq\f(x,2x－4)－1.解：去分母，得2(1－x)＝x－2(x－2)．解得x＝－2.檢驗(yàn)：當(dāng)x＝－2時(shí)，2(x－2)≠0，∴x＝－2是原分式方程的解．18．(8分)(長沙中考)eq\f(a2－2ab＋b2,a2－b2)＋eq\f(b,a＋b)，其中a＝－2，b＝1.解：原式＝eq\f(〔a－b〕2,〔a＋b〕〔a－b〕)＋eq\f(b,a＋b)＝eq\f(a－b,a＋b)＋eq\f(b,a＋b)＝eq\f(a,a＋b).當(dāng)a＝－2，b＝1時(shí)，原式＝eq\f(－2,－2＋1)＝2.19．(8分)(達(dá)州中考)化簡eq\f(a,a2－4)·eq\f(a＋2,a2－3a)－eq\f(1,2－a)，并求值，其中a與2，3構(gòu)成△ABC的三邊，且a為整數(shù)．解：原式＝eq\f(a,〔a＋2〕〔a－2〕)·eq\f(a＋2,a〔a－3〕)＋eq\f(1,a－2)＝eq\f(1,〔a－2〕〔a－3〕)＋eq\f(1,a－2)＝eq\f(1＋a－3,〔a－2〕〔a－3〕)＝eq\f(a－2,〔a－2〕〔a－3〕)＝eq\f(1,a－3).∵a與2，3構(gòu)成△ABC的三邊，且a為整數(shù)，∴1<a<5，即a＝2，3，4.當(dāng)a＝2或a＝3時(shí)，原式?jīng)]有意義，那么a＝4，原式＝1.20．(10分)假設(shè)關(guān)于x的方程eq\f(k,x－3)＋2＝eq\f(x－4,3－x)有增根，試求k的值．解：原方程可化為k＋2(x－3)＝4－x.由題意知x－3＝0，即x＝3.那么k＋2(3－3)＝4－3.所以k＝1.21．(12分)(菏澤中考)為了響應(yīng)“十三五〞規(guī)劃中提出的綠色環(huán)保的建議，某校文印室提出了