專題12圓錐曲線(原卷版)

專題12圓錐曲線目錄一常規(guī)題型方法1題型一軌跡方程1題型二橢圓3題型三雙曲線6題型四拋物線9題型五圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題11題型六圓錐曲線中的最值、范圍問題14二針對性鞏固練習15練習一軌跡方程15練習二橢圓16練習三雙曲線17練習四拋物線19練習五圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題19練習六圓錐曲線中的最值、范圍問題20常規(guī)題型方法題型一軌跡方程【典例分析】典例1-1．（2023秋·廣東廣州·高二廣東實驗中學越秀學校?？计谀┮阎c，，動點滿足，則點的軌跡方程為（????）A．B．C．D．典例1-2．（2022秋·上海浦東新·高二上海市進才中學?？计谀┊旤c在橢圓上運動時，連接點與定點，則的中點的軌跡方程為（????）A．B．C． D．典例1-3．（2022秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（????）A． B．C． D．【方法技巧總結(jié)】1.分類：直接法、相關(guān)點法、定義法、消元法、交軌法。2.技巧：直接法先設(shè)出所求點坐標（x,y），并根據(jù)題意寫出含x,y的等式關(guān)系，化簡后即為所求點軌跡方程；相關(guān)點法也是先設(shè)出所求點坐標（x,y），并根據(jù)題意另外一動點的坐標（用含x,y表示），最后把點帶入所在方程化簡后即為所求點軌跡方程；定義法時根據(jù)題意可以分析出所求軌跡是哪種曲線（橢圓、雙曲線、拋物線等），然后設(shè)出方程，利用待定系數(shù)法求解參數(shù)，進而求出動點軌跡方程?！咀兪接柧殹?．（2022秋·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知點，，動點滿足，動點的軌跡為，則軌跡的方程為（????）A．B．C． D．2．（2022秋·北京·高二北京二中?？茧A段練習）設(shè)為坐標原點，動點在橢圓C：上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足，則點的軌跡方程是（????）A． B． C． D．3．（2022秋·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習）已知是圓上的一動點，點，線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為（????）A． B．C． D．題型二橢圓【典例分析】典例2-1．（2022秋·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學?？计谥校┮阎獮闄E圓上一點，，分別是圓和上的點，則的取值范圍是（????）A． B． C． D．典例2-2．（2022秋·福建南平·高三?？计谥校┰O(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點Q的坐標為，則的取值范圍為（????）A．B．C．D．典例2-3．（2022秋·四川樂山·高二四川省樂山沫若中學?？计谥校┮阎獧E圓的左、右焦點分別為、，，，過點的直線交橢圓于，兩點，則的周長為（????）A．4 B．4 C． D．8典例2-4．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龍游中學校聯(lián)考期末）“方程表示橢圓”是“”的（????）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件典例2-5．（2023·廣西柳州·二模）已知橢圓C的焦點為，過的直線與C交于P，Q兩點，若，則橢圓C的標準方程為（????）A． B．C． D．典例2-6．（2023秋·福建廈門·高三廈門外國語學校校考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為和，為上一點，且的內(nèi)心為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．典例2-7．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習）已知是橢圓的右焦點，是的上頂點，直線與交于兩點.若，到的距離不小于，則的離心率的取值范圍是（????）A． B． C． D．典例2-8．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考期末）已知橢圓，過點的直線與橢圓相交于，兩點，且弦被點平分，則直線的方程為（????）A． B．C． D．【方法技巧總結(jié)】1.技巧：在處理橢圓上動點與定點及焦點的和差問題時要遵循“同側(cè)轉(zhuǎn)換，異側(cè)相連”，且圓上的動點可用圓心配合加減半徑使其變?yōu)槎c；求離心率或離心率范圍需先盡量把幾何長度都用含abc來表示，然后利用勾股定理、余弦定理、定義等建立abc的等式或不等式，最后通過整理化簡求出離心率或離心率范圍；處理弦中點問題適用“點差法”，流程為：設(shè)點，帶入，做差、整理。【變式訓練】1．（2022·全國·高三專題練習）點為橢圓上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是（????）A． B． C． D．2．（2022秋·四川成都·高二樹德中學?？茧A段練習）點是圓上一動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足．已知點和，則的最小值為（????）．A． B． C． D．3．（2023秋·河北唐山·高二開灤第一中學?？计谀┮阎菣E圓的左?右焦點，點在橢圓上.當最大時，求（????）A． B． C． D．4．（2023秋·湖北·高三湖北省云夢縣第一中學校聯(lián)考期末）“”是“方程表示焦點在y軸上的橢圓”的（????）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2022秋·重慶萬州·高二重慶市萬州第二高級中學?？茧A段練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，過坐標原點的直線交E于P，Q兩點，且，且，則E的標準方程為（????）A． B． C． D．6．（2023秋·湖北·高二武漢市第二十三中學校聯(lián)考期末）已知橢圓的左右焦點分別為，過點且斜率為的直線l與C在x軸上方的交點為A．若，則C的離心率是（????）A． B． C． D．7．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓存在一點，若，則橢圓的離心率取值范圍為（????）A．B．C． D．8．（2022秋·浙江杭州·高二學軍中學校考階段練習）焦距為，并且截直線所得弦的中點的橫坐標是的橢圓的標準方程為（????）A．B．C． D．或題型三雙曲線【典例分析】典例3-1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二尚志市尚志中學?？计谥校╇p曲線的兩個焦點為，，雙曲線上一點到的距離為8，則點到的距離為（????）A．2或12 B．2或18 C．18 D．2典例3-2．（2022秋·江蘇揚州·高二揚州中學?？茧A段練習）已知，雙曲線的左?右焦點分別為，點是雙曲線右支上一點，則的最小值為（????）A．5 B．7 C．9 D．11典例3-3．（2023秋·北京朝陽·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，設(shè)是雙曲線的兩個焦點，點在上，且，則的面積為（????）A． B．2 C． D．4典例3-4．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學?？茧A段練習）若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（????）A．B．C． D．典例3-5．（2023秋·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谀┤綦p曲線的漸近線方程為，且過點，則雙曲線的標準方程為（????）A．B．C． D．典例3-6．（2022秋·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級中學?？计谀┮阎謩e為雙曲線的左?右焦點，過的直線與雙曲線交左支交于兩點，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點，則的離心率為（????）A． B． C． D．典例3-7．（2022秋·山東濟南·高二山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過作圓：的切線，切點為，延長交雙曲線的左支于點.若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（????）A．B．C． D．典例3-8．（2023秋·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）過雙曲線內(nèi)一點且斜率為的直線交雙曲線于兩點，弦恰好被平分，則雙曲線的離心率為（????）A． B． C． D．【方法技巧總結(jié)】1.技巧：在處理雙曲線上動點與定點及焦點的和差問題時也要遵循“同側(cè)轉(zhuǎn)換，異側(cè)相連”；求雙曲線離心率或離心率范圍流程與橢圓相同；處理弦中點問題同樣使用“點差法”?！咀兪接柧殹?．（2022·全國·高三專題練習）已知，點P滿足，動點M，N滿足，，則的最小值是（????）A．3 B． C．4 D．2．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的下焦點為，，是雙曲線上支上的動點，則的最小值是（????）A． B． C． D．3．（2022秋·廣東江門·高二臺山市第一中學?？计谥校┰O(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，是雙曲線上一點，且．若的面積為，則的周長為（????）A． B． C． D．4．（2022秋·四川·高二四川師范大學附屬中學?？茧A段練習）設(shè)是不為零的實數(shù)，則“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（????）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2022秋·天津濱海新·高二天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學?？计谀┮阎p曲線：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則的方程為（????）A． B．C． D．6．（2023秋·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，點P為雙曲線漸近線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（????）A． B． C． D．27．（2022秋·山西晉城·高二?？茧A段練習）已知雙曲線的左，右焦點分別為，P是右支上一點，且，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（????）A． B． C． D．8．（2022秋·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）已知傾斜角為的直線與雙曲線，相交于，兩點，是弦的中點，則雙曲線的漸近線的斜率是（????）A．B．C． D．題型四拋物線【典例分析】典例4-1．（河北省石家莊市2023屆高三上學期期末試題）已知拋物線：的焦點為，準線為，點P在C上，過點P作準線的垂線，垂足為A，若，則（????）A．1 B． C． D．2典例4-2．（2019秋·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學校考階段練習）若點坐標為，為拋物線的焦點，點在拋物線上移動，為使取得最小值，點坐標應(yīng)為（????）A． B． C． D．典例4-3．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點為，過的直線交于點，點在的準線上，若為等邊三角形，則（???）A． B．6 C． D．16典例4-4．（2022秋·北京·高二匯文中學?？计谀┮阎獟佄锞€，過點引拋物線的一條弦，使它恰在點P處被平分，則這條弦所在的直線l的方程為（????）A． B． C． D．【方法技巧總結(jié)】1.拋物線的性質(zhì)：(1)焦半徑：，；(2)焦點弦：；(3)若直線的傾斜角為，則，；(4)以為直徑圓與準線相切，以為直徑圓與y軸相切；(5)；(6)通徑：；(7)x1x2=p24,y1y2=-p2；2.技巧：拋物線的二級結(jié)論雖然做題很快，但記憶量較大，酌情使用?！咀兪接柧殹?．（2022·河南·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，動點在上，圓的半徑為1，過點的直線與圓相切于點，則的最小值為（????）A．7 B．8 C．9 D．102．（天津市和平區(qū)2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試題）已知是拋物線上的一點，過點作直線的垂線，垂足為，若是圓：上任意一點，則的最小值是（????）A． B．4 C．5 D．63．（2023秋·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為F，點M在拋物線C的準線l上，線段與y軸交于點A，與拋物線C交于點B，若，則（????）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022秋·廣東廣州·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線C：的焦點為F，直線l與拋物線C交于A，B兩點，線段AB的中點為，則點F到直線l的距離為（????）A． B． C． D．題型五圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題【典例分析】典例5-1．（2022秋·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)如圖，橢圓的左?右頂點分別為，點是橢圓上異于的不同兩點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點，并求出此定點坐標.典例5-2．（2023秋·湖北·高二江夏一中校聯(lián)考期末）已知橢圓的離心率為，且過點．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓上的兩點，且，求證：為定值；反之，若為此定值時，是否成立？試說明理由．典例5-3．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）已知橢圓過點，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線與橢圓交于不同的兩點P，Q，那么在x軸上是否存在點M，使且，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．【方法技巧總結(jié)】1.技巧：直線與圓錐曲線大題需熟練流程，第一步：設(shè)點、設(shè)直線（討論斜率存不存在）且直線有兩種不同設(shè)法，需結(jié)合題意來選擇；第二步：聯(lián)立方程并整理成含參一元二次方程；第三步：韋達定理（可配合根的判別式）；第四步：將偉大定理帶入題干中產(chǎn)生的等式或不等式，并整理化簡，最后求出結(jié)果?！咀兪接柧殹?．（2022秋·江蘇揚州·高二揚州中學?？计谀┮阎p曲線的左?右焦點分別為，離心率為，直線交于兩點，且.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若點，直線與軸分別相交于兩點，且為坐標原點，證明：直線過定點.2．（2023秋·上海青浦·高二上海市青浦高級中學校考期末）已知拋物線過點，過點的直線與拋物線交于兩個不同的點（均與點A不重合）.(1)求拋物線的方程及焦點坐標；(2)設(shè)直線的斜率分別為，，求證：為定值，并求出該定值.3．（2021·浙江·高二學業(yè)考試）如圖所示，P（在函數(shù)的左邊）與Q（在函數(shù)的右邊）分別為函數(shù)的兩個點，F(xiàn)為該拋物線的焦點．（1）若P的坐標為（-2，t），連接PF交拋物線另一點于H點，求H點的坐標；（2）記PQ直線為m，其在y軸上的截距為6，過P作拋物線的切線，交拋物線的準線于M點，連接QF，若QF恰好經(jīng)過M點，求直線m的方程．題型六圓錐曲線中的最值、范圍問題【典例分析】典例6-1．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點為F，C上任意一點M到F的距離最大值和最小值之積為3，離心率為.(1)求C的方程；(2)若過點的直線l交C于A，B兩點，且點A關(guān)于x軸的對稱點落在直線上，求n的值及面積的最大值.典例6-2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考期末）已知橢圓長軸長為4，離心率.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過點的直線l交橢圓C于A、B兩點，求的取值范圍.【方法技巧總結(jié)】1.技巧：流程同上一題型一致，需注意自變量的范圍求解，以及對所含變量最值范圍的求解，通常化為函數(shù)，并使用構(gòu)造、換元、同除等方法來求解。2.【變式訓練】1．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：，是上位于第一象限內(nèi)的動點，且到點的距離的最小值為.直線與交于另一點，是上位于直線下方的動點.(1)求的值；(2)當，且△ADE面積最大時，求△ADE外接圓的標準方程2．（2021秋·吉林白山·高二撫松縣第一中學?？茧A段練習）已知雙曲線的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，點的坐標為，過的直線與雙曲線交于不同兩點、.(1)求雙曲線的方程；(2)求的取值范圍（為坐標原點）.針對性鞏固練習練習一軌跡方程1．（2022秋·河南鄭州·高二鄭州市第九中學?？茧A段練習）已知動圓過定點，且被軸截得的弦長為2，則圓心的軌跡方程為（????）A．B．C． D．2．（2022秋·甘肅隴南·高三統(tǒng)考期中）點與圓上任意一點連線的中點的軌跡方程是（????）A． B．C． D．3．（2022·高二課時練習）已知半徑為1的動圓與圓相切,則動圓圓心的軌跡方程是（????）A．B．或C．D．或練習二橢圓4．（2022秋·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓：的離心率為，為橢圓上的一個動點，定點，則的最大值為（????）A． B．2 C． D．35．（2022·高二單元測試）點，是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的取值范圍是（????）A． B． C． D．6．（2022秋·廣西玉林·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的方程為，若點在第二象限，且，則的面積（????）．A． B． C． D．7．（2022秋·遼寧沈陽·高二沈陽二中?？茧A段練習）“”是“方程表示焦點在軸上的橢圓”的（????）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023秋·北京順義·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C的焦點為，．過點的直線與C交于A，B兩點．若的周長為12，則橢圓C的標準方程為（????）A． B． C． D．9．（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學?？计谀┮阎cA，B是橢圓長軸上的兩個頂點，點P在橢圓上（異于A，B兩點），若直線斜率之積為，則橢圓的離心率為（????）A． B． C． D．10．（2022秋·江蘇揚州·高二揚州中學?？计谀┮阎獧E圓的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線交橢圓E于A，B兩點.若，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是（????）A． B． C． D．11．（2022秋·福建龍巖·高三上杭縣第二中學校考階段練習）已知橢圓E：的右焦點為，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為，則橢圓E的方程為（????）A． B． C． D．練習三雙曲線12．（2021·高二課時練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線左支交于A，B兩點，且，那么的值是（????）A．21 B．30 C．27 D．1513．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線一條漸近線方程為，左焦點為F，點P在雙曲線右支上運動，點Q在圓上運動，則的最小值為（????）A． B．8 C． D．914．（2021秋·河南安陽·高二安陽市第三十九中學?？计谀┮阎獮殡p曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，且，則（????）A． B． C． D．15．（2022·全國·高三專題練習）若方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為（????）A．B．C．D．16．（2022秋·江蘇連云港·高一校考期末）已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，兩個頂點間的距離為2，焦點在軸上，且焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的標準方程是（????）A． B． C． D．17．（2023秋·天津和平·高二天津一中?？计谀┮阎狥是雙曲線C：的右焦點，過點F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，且直線l與雙曲線C的左支交于點B，若，則雙曲線C的離心率為（????）A．2 B． C． D．18．（2022秋·浙江溫州·高二?？计谥校┮阎p曲線（，）的左右焦點分別為，，O為坐標原點，點P為雙曲線C中第一象限上的一點，的平分線與x軸交于Q，若，則雙曲線的離心率范圍為（????）A． B． C． D．19．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線方程，則以為中點的弦所在直線的方程是（????）A． B． C． D．練習四拋物線20．（2023秋·安徽