（全國通用）2023高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三篇三角函數(shù)解三角形第6節(jié)正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用習(xí)題理

PAGEPAGE10第6節(jié)正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)用正、余弦定理解三角形1,5,7,12,15與面積相關(guān)的問題4,6,9判斷三角形的形狀與實(shí)際應(yīng)用問題2,3,8綜合問題10,11,13,14,16根底對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間:30分鐘)1.(2022·北京大興區(qū)模擬)在△ABC中,a=2,b=3,B=π3(A)π6 (B)π4 (C)3π4解析:由正弦定理得sinA=asinBb又b>a,所以A=π4應(yīng)選B.2.假設(shè)sinAa=cosBb=(A)等邊三角形 (B)等腰直角三角形(C)有一個(gè)角為30°的直角三角形 (D)有一個(gè)角為30°的等腰三角形解析:由正弦定理和sinAa=cosB得sinB=cosB,sinC=cosC,所以B=45°,C=45°.應(yīng)選B.3.(2022·廈門一中期中)如果D,C,B在地平面同一直線上,DC=10m,從D,C兩地測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°,那么A點(diǎn)離地面的高AB等于(D)(A)10m (B)5m(C)5(3-1)m (D)5(3+1)m解析:ABtan30°-ABtan454.(2022·黑龍江哈爾濱模擬)在△ABC中,AB=3,AC=1,B=30°,△ABC的面積為32(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°解析:因?yàn)镾△ABC=12AB·ACsinA=3即12×3×1×sinA=3所以sinA=1,所以A=90°,所以C=60°.應(yīng)選C.5.(2022·河南鄭州一測(cè))在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,假設(shè)b3cosB(A)-12 (B)12 (C)-3解析:由正弦定理及b3cosB得sinB3cos所以tanB=3,又0<B<π,所以B=π3,cosB=1應(yīng)選B.6.(2022·河南六市聯(lián)考)在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,假設(shè)sinA=223,a=2,S△ABC=(A)3 (B)322 (C)22解析:由S△ABC=12bcsinA=2,得bc=3,又由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,可得b2+c2=6.②由①②解得b=3.應(yīng)選A.7.(2022·上海卷)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3,5,7,那么該三角形的外接圓半徑等于.

解析:由不妨令a=3,b=5,c=7,所以cosC=a2+b所以sinC=32所以R=c2sinC=答案:78.如下圖,A,B兩點(diǎn)在一條河的兩岸,測(cè)量者在A的同側(cè),且B點(diǎn)不可到達(dá),要測(cè)出AB的距離,其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C,可以測(cè)出AC的距離m,再借助儀器,測(cè)出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中,運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.假設(shè)測(cè)出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,那么A,B兩點(diǎn)間的距離為.

解析:∠ABC=180°-75°-45°=60°,由正弦定理得ABsin∠BCA所以AB=AC·sin∠BCAsin即A,B兩點(diǎn)間的距離為206答案:209.△ABC的周長(zhǎng)為20,面積為103,∠A=60°,那么邊a=.

解析:據(jù)條件可得12bcsin60°=103?又由余弦定理可得b2+c2-bc=b2+c2-40=a2,所以b2+c2-40=(b+c)2-2bc-40=(20-a)2-120=a2,解得a=7.答案:710.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702208在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cosA+cosC的最大值.解:(1)由余弦定理及題設(shè)得cosB=a2+c2-又因?yàn)?<B<π,所以B=π4(2)由(1)知A+C=3π2cosA+cosC=2cosA+cos(3π4=2cosA-22cosA+2=22cosA+2=cos(A-π4)因?yàn)?<A<3π所以當(dāng)A=π4時(shí),211.(2022·山東臨沂模擬)在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sin(A-B)=cosC.(1)假設(shè)a=32,b=10,求c;(2)求acos解:(1)由sin(A-B)=cosC,得sin(A-B)=sin(π2-C)因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以A-B+C=π2又A+B+C=π,兩式相減,得B=π4由余弦定理b2=c2+a2-2accosB,得10=c2+18-2c×32×cosπ4即c2-6c+8=0,解得c=2或c=4;當(dāng)c=2時(shí),b2+c2-a2=10+4-18=-4<0,cosA<0,即A為鈍角(舍去),故c=4.(2)由(1)得B=π4,所以C=3所以acosC=sin=2sin(2A-3π4因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,0<C=3π4-A<所以π4<A<π所以-π4<2A-3π4所以-22<sin(2A-3π4)所以-1<acos故acos能力提升練(時(shí)間:15分鐘)12.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702209△ABC中角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足ba+c+(A)(0,π3] (B)(0,π(C)[π3,π) (D)[π6,解析:由ba+c+得b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),化簡(jiǎn),得b2+c2-a2≥bc,即b2+c即cosA≥12(0<A<π所以0<A≤π3應(yīng)選A.13.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702210在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,假設(shè)S△ABC=23,a+b=6,acos(A)27 (B)23 (C)4 (D)33解析:因?yàn)閍cosB=sin=1,所以2cosC=1,所以C=60°.假設(shè)S△ABC=23,那么12absinC=23所以ab=8.因?yàn)閍+b=6,所以c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-ab=(a+b)2-3ab=62-3×8=12,所以c=23.應(yīng)選B.14.(2022·湖北宜昌模擬)在△ABC中,A=30°,2AB→·AC→=3△ABC的最大角的余弦值為.

解析:由2cbcosA=3a2,即bc=3a2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-3bc,即33bc=b2+c2-3解得b=3c或b=33假設(shè)b=3c,那么a=c,所以B=120°,假設(shè)b=33所以C=120°,因此最大角的余弦值為-12答案:-115.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702211△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且asinAsinB+bcos2A=5(1)求ba(2)假設(shè)c2=a2+85b2解:(1)由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=5即sinB(sin2A+cos2A)=故sinB=53所以ba=5(2)設(shè)b=5t(t>0),那么a=3t,于是c2=a2+85b2=9t2+85·25t2=49t即c=7t.由余弦定理得cosC=a2+=-12所以C=2π16.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702212在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.b+c=2acosB.(1)證明:A=2B;(2)假設(shè)△ABC的面積S=a2(1)證明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B),又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解:由S=a24得12故有sinΒsinC=12sin2Β=sinΒcosΒ因?yàn)閟inΒ≠0,所以sinC=cosΒ.又Β,C∈(0,π),所以C=π2±Β當(dāng)Β+C=π2時(shí),A=π當(dāng)C-Β=π2時(shí),A=π綜上,A=π2或A=π好題天天練導(dǎo)學(xué)號(hào)18702213如圖,在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.假設(shè)B=π3,b=7(1)求cos∠BAC的值;(2)求AD的值.解:(1)由正弦定理得sinC=cbsinB=27×32又因?yàn)樵凇鰽BC中,b>c,所以C<B,所以cosC=1-sin2C所以cos∠BAC=cos(π-B-C)=-cos(B+C)=-(cosBcosC-sinBsinC)=sinBsinC-cosBcosC=32×37-1=714(2)法一因?yàn)锳D→=12(AB→所