帶電粒子自主招生專題課程

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天【例3】之吉白夕凡創(chuàng)作【例4】創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天【例5】在平面內(nèi)有很多電子（質(zhì)量為、電量為）,從坐標O不斷以相同速率沿分歧方向射入第一象限,如圖7所示.現(xiàn)加一個垂直于平面向內(nèi)、磁感強度為的勻強磁場,要求這些電子穿過磁場后都能平行于軸向正方向運動,求切合該條件磁場的最小面積.分析：電子在磁場中運動半徑是確立的,設(shè)磁場地區(qū)足夠大年夜,作出電子可能的運動軌道如下圖,因為電子只能向第一象限平面內(nèi)發(fā)射,此中圓O1和圓O2為從圓點射出,經(jīng)第一象限的全部圓中的最低和最高地點的兩個圓.圓O2在ｘ軸上方的個圓弧odb就是磁場的上鴻溝.其余各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點O為圓心,以R為半徑的圓弧O1OmO2.因為要求全部電子均平行于x軸向右飛出磁場,故由幾何知識知電子的飛出點必為每條可能軌跡的最高點.可證明,磁場下鴻溝為一段圓弧,只要將這些圓心連線（圖中虛線O1O2）向上平移一段長度為的距離即圖中的弧ocb就是這些圓的最高點的連線,即為磁場地區(qū)的下鴻溝.兩鴻溝之間圖形的暗影地區(qū)面積即為所求磁場地區(qū)面積：.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天還可依據(jù)圓的知識求出磁場的下鴻溝.設(shè)某電子的速度V0與x軸夾角為θ,若走開磁場速度釀成水平方向時,其射出點也就是軌跡與磁場鴻溝的交點坐標為（x,y）,從圖10中看出,,即（x＞0,y＞0）,這是個圓方程,圓心在（0,R）處,圓的圓弧部份即為磁場地區(qū)的下鴻溝.三．空間軌跡問題【例6】在三維直角坐標中,沿+z方向有磁感強度為B的勻強磁場,沿-z方向有電場強度為E的勻強電場.在原點O有一質(zhì)量為m、電量為-q的粒子（不計重力）以正x方向、大年夜小為v的初速度發(fā)射.試求粒子再過z軸的坐標與時間.Bz【謎底】z=22k2mE,t=2km（此中k=1,2,qB2qB.3,）Y【例9】如下圖,oxyz坐標系的y軸豎直向上,xE在座標系所在的空間存在勻強電場和勻強磁場,電場方向與x軸平行．從y軸上的M點（0,H,0）無初速開釋一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負電的小球,它落在xz平面上的N（c,0,b）點（c>0,b>0）．若撤去磁場則小球落在xy平面的P（l,0,0）點l>0）．已知重力加快度為ｇ．1）已知勻強磁場方向與某個坐標軸平行,試判斷y其可能的詳細方向；M(0,H,0)（2）求電場強度E的大年夜??；（3）求小球落至N點時的速率v．oP(l,0,0)x)【分析】：磁場方向為－x方向或－y方向；（2）zN(c,0,bEmgl；（3）v2gH2c2qHH【例10】如圖,兩個共軸的圓筒形金屬電極,外電極接地,創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天aSdobc創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天其上均勻散布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d,外筒的半徑為r0.在圓筒以外的足夠大年夜地區(qū)中有平行于軸線方向的均勻磁場,磁感強度的大年夜小為B.在兩極間加上電壓,使兩圓筒之間的地區(qū)內(nèi)有沿半徑向外的電場.一質(zhì)量為m、帶電量為＋q的粒子,從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫a的s點起程,初速為零.假如該粒子經(jīng)過一段時間的運動以后恰巧又回到起程點S,則兩電極之間的電壓U應是若干？（不計重力,整個裝置在真空中）.222謎底：U=mv/2q=qBr0/2m【例11】如下圖,空間散布著如下圖的勻強電場E（寬度為L）和勻強磁場B（兩部份磁場地區(qū)的磁感覺強度大年夜小相等,方向相反）,一帶電粒子電量為q,質(zhì)量為m（不計重力）,從A點由靜止開釋,經(jīng)電場加快后進入磁場穿過中間磁場進入右邊磁場后能按某一路徑而返回A點,重復前述過程.求中間磁場的寬度d和粒子的運動周期.謎底：謎底：d12mELt22mL7m2BqqE3qB【例12】如圖(甲)所示,x≥0的地區(qū)內(nèi)有圖(乙)所示大年夜小不變、方向隨時間周期性改動的磁場,磁場方向垂直紙面向外時為正方向．現(xiàn)有一個質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子,在0時刻從坐標原點O以速度v沿著與x軸正方向成750角射入．粒子運動一段時間后達到P點,P點的坐標為(a,a),此時粒子的速度方向與OP延伸線的夾角為300．粒子只受磁場力作用．若B0B1為已知量,試求帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑R和周期T0的表達式,創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天(2)說明粒子在OP間運動的時間跟所加磁場改動周期T之間應有什么樣關(guān)系才干使粒子達成上述運動；(3)若B0為未知量,那么所加磁場的改動周期T,磁感覺強度B0的大年夜小各應知足什么條件,才干使粒子達成上述運動?(寫出T、B0應知足條件的表達式)謎底.1）2mT0q1B【例13】

3）如下圖,一個質(zhì)量為m、電量為q的正離子,從A點正對著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中．圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場,磁感覺強度的大年夜小為B要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞兩次后仍從A點射出,求正離子在磁場中運動的時間t(設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電量損失,不計粒子的重力．)若碰n次從A射出又怎樣？謎底：t3R3va【例14】如圖,正方形勻強磁場區(qū)鴻溝長為a,由圓滑絕緣壁圍成.質(zhì)量為m、電量為q的帶電粒子垂直BaAv于磁場方向和鴻溝,從下鴻溝中央的A孔射入磁場中,粒子碰撞時無能量損失,不計重力和碰撞時間,磁感覺強度的大年夜小B,粒子在磁場中運動的半徑小于a.欲使粒子還能從A孔中反向射出,粒子的入射速度應為幾多？在磁場中運動時間是若干？謎底：（1）R＝an＝0,1,2t＝2(2n1)mn＝2(2n1)qB創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天0,1,2（2）R,＝an＝0,1,2t‘＝4n(2)mn＝0,1,4nqB2【例15】如下圖,虛線AB右邊是磁感覺強度為B的勻強磁場,左側(cè)是磁感覺強度為2B的勻強磁場,磁場的方向垂直于圖中的紙面并指向紙面內(nèi),現(xiàn)有一帶正電的粒子自圖中O處以初速度V0開始向右運動.從開始時刻到第10次經(jīng)過AB線向右運動的時間內(nèi),該粒子在AB方向的均勻速度？【分析】帶電粒子從O點起程,遇到洛侖茲力作用,做圓周運動,經(jīng)過半個周期后,穿

OAvVB過AB鴻溝向左飛出,遇到大年夜小為本來二分之一的洛侖茲力作,做半徑為本來兩倍的圓周運動,相同經(jīng)過半個周期,穿過AB鴻溝向右飛出,這樣循環(huán)往復地穿過AB鴻溝,形成了如下圖似“舞龍”的完滿對稱的運動軌跡.［分析］粒子在磁場中只受洛侖茲力得,粒子在AB右邊做圓周運動,半徑r1mv,在AB邊左邊做圓周運動,半徑r2mv.如圖所2qBqB示,當粒子第10次經(jīng)過x軸的地點和時間分別為x5r1mv5qBt5(2m2m)15mqB2qBqB【例16】如下圖,在半徑為R的圓形地區(qū)內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場,磁感覺強度為B0三個點P、M、N均勻地散布在圓創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天周上,有三對電壓相同、相距為d的平行金屬板,它們分別在這三點與圓相切,并且在相切處的極板上分別留有縫隙.一個質(zhì)量為m,帶電量為＋q的粒子,從點Q由靜止開始運動,經(jīng)過一段時間恰能回到點Q（不計重力）.1）在圖上標出各板的正負極,并剖析平行金屬板間的電壓U與磁感覺強度的大年夜小B應知足什么關(guān)系？2）粒子從點Q出以發(fā)又回到點Q,起碼需要多長時間？［思路］帶電粒子在Q點遇到電場力PP作用,做勻加快運動,從N點飛入磁場,遇到洛侖茲力作用,做圓周運動,MNM經(jīng)過1/6周期后,穿過P點,在電場Q力作用下,做減速運動,到極板時速度恰巧為零.而后近似前面運動,從P點飛出后飛入M,雙從M點飛出后飛入N點,回到Q點,這樣重復運動,形成如下圖似“埃菲爾鐵塔”的完滿對稱的運動軌跡.［分析］三對金屬板的正負極,如下圖設(shè)粒子進入磁場時速度大年夜小為v,運動半徑為r,依據(jù)動能定理,有：qU1mv2.M、N、P三點均勻地散布在圓周上,每一段圓弧對2圓心角為120°,由幾何知識可知：r3R.依據(jù)牛頓第二定律,有：qvBmv2r由上述三式,可得：U3qR2B22m（3）粒子在磁場中作圓周運動的周期T2m,經(jīng)過三段圓弧所qB用時間為：t131Tm.6qB設(shè)粒子從Q點起程達到磁場所用時間T′.則：d1qET2qUT22m2md得T23md.粒子在三對平行金屬板間經(jīng)歷的時間為：3qBRt26T43mdqBR創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天

NQ創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天所以粒子從Q點起程又回到Q點需要的時間為：tt1t2m43mdqBqBR【例17】如圖甲所示,兩塊相互平行,水平擱置的金屬間存在相互垂直的勻強電場和勻強磁場.勻強磁場垂直紙面向里,兩板間的電壓U隨時間而改動,改動狀況如圖乙所示,已知板長L=兩板間距為d=,當t=o時有一個a粒子以速度從兩板中央飛入.問；1．a(chǎn)粒子可否穿出金屬板？為何？2．若能穿過,需要多長時間？剖析：這是一個恒定的磁場和一個斷續(xù)發(fā)生的電場共同作用于運動的帶電粒子問題,因為電場斷續(xù)存在,這樣就存在著兩個時間段：一是電場與磁場同時存在；二是只有磁場存在.在劃分兩種狀況,確立帶電粒子作何運動后,才干判斷帶電粒子可否穿出,若穿出,需要若干時間.解答：1）先研究電場與磁場同時存在的狀況：在電場與磁場同時存在時,a粒子作勻速直線運動.再研究只存在磁場的狀況,因為只受洛侖茲力,a粒子應作勻速圓周運動,半徑大年夜小為R,即得圓周運動的直徑：因此粒子作勻速圓運動時不會打到極板上,圓周運動的周期：粒子作勻速圓周運動的周期恰巧即是電壓改動的半周期.這就是說,在只有磁場存在的那個時間段,粒子作圓周運動,在時間段結(jié)束的時刻,粒子回到原處,且速度大年夜小和方向沒有變動.依據(jù)上述計算和剖析可得；粒子的運動軌跡如下圖.2）綜上所述,粒子作勻速圓周運動時其實不行進,而勻速直線運動的時間與勻速圓周運動的時間相同,n次后粒子飛出了極板,設(shè)粒子作直線運動的時間為.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天所以,粒子飛出兩板間的時刻,正利處在粒子作直線運動的時間段上,所以粒子是勻速直線飛出的.并且粒子在兩板間作了3次勻速圓周運動,故作勻速圓周運動的總時間為：粒子穿過兩板間所用的總時間為：說明：粒子經(jīng)過3次勻速直線運動,已經(jīng)行進了,距離右鴻溝還有,這個距離仍舊比粒子作勻速圓周運動的半徑要大年夜很多,所以,不會發(fā)生粒子在第3次作勻速圓周運動中穿出兩板間右鴻溝.選講：車輪線問題：【例18】當平行板電容器的負極板為必定波長的光所照耀時,我們發(fā)現(xiàn)這個負極板上有電子從各個方向射出來,電子離開負極板時速率很小,能夠忽視不計.設(shè)電容器兩極板間的距離為d,兩極板間的電勢差為U.求：要使這些電子達到不了正極板,應當施加一個多大年夜的與極板平行的磁場？剖析：依據(jù)題意可畫出題目表示圖,如下圖.解這個題目,簡單犯的缺點就是在電子最湊近正極板的p點時,人們會缺點以為,在此點電子遇到的電場力和磁場力相等,進而列出方程：其實不然,因為在此點,帶電粒子作曲線運動,所以協(xié)力不為零.也有人以為,電場力和磁場力的協(xié)力供給了電子作曲線運動的向心力,即,此式固然未錯,但曲率半徑R未知,亦不可行.下邊介紹一種簡單的做法.解：設(shè)電子到p點時在方向的速度,依據(jù)動量定理可列出（1）為作用在電子上的沿x方向的力的均勻值；為從開始至達到p點所需時間,又因磁場力有做功,依據(jù)動能定理可列出在p點,即：（2）又x方向作用于電子的力只有磁場力.3）聯(lián)立（1）、（2）、（3）式可求得：創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天為y方向的均勻速度,是達到p點的時間,則所以【例19】在空