版考研數(shù)學(xué)三歷年真題及答案1991路上的幸福哥

入學(xué)統(tǒng)一考數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)（試卷一

x1ty

d2

sinttcost4tdz

xyz.

zz(xy在點(diǎn)(1,0,1)已知直L1L2的方程L:x1y2z3Lx2y1z，則L1 行于L2的平面方程是x-3y＋z+2= x0(1ax2)1/21與cosx1是等階無(wú)窮小，則常數(shù)a3252 0 0設(shè)4階方陣A=21 0,則A的逆矩陣A1 000

1/ 2/ 00 1/31/ 1e2曲線y 21(A)沒(méi)有漸近 (B)僅有水平漸近(C)僅有鉛直漸近 (D)既有水平漸近線又有鉛直漸近2若連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x) f(t)dtln2，則f(x)等2exln

e2xln exln

e2xln2已知級(jí)數(shù)(1)n1a2,a5，則級(jí)數(shù)an等

2n

（A） （B） （C） （D）設(shè)D是XOY平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)為頂點(diǎn)的三角區(qū)域，D1是D在第一象限的 等 1(A)2Dcosxsinydxdy(B)2Dxydxdy(C)4D(xycosxsiny)dxdy(D)1 (A)ACB= (B)CBA= (C)BAC= (D)BCA=lim

x)

lncos limlncos解原式lime

ex0 ?2?4e2 ?5設(shè)n是曲面2x23y2z26在點(diǎn)P111u 在點(diǎn)P處沿方向nz解：n4i6j2k ?1z6x26x6x2P

6，6，Pz6x214P

88?3從 P[xcos(n,i)ycos(n,j)zcos(n,k)] 14 11 ?57y2求(x2y2z)dv，其中是由曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平z4

x2解(xyz)dv drdrr2(r ?22

28(4r38r5r58

?4 ?53O00A,0yasinx(a0)L線從O到A的積分(1y3dx2xy)dy的值最小L解：I(a)[1a3sin3x(2xasinx)acosx]dx ?204a4a3 ?435

??6f(x2x(1x1)2n2的和n1解：f(x2x(1x1是偶函數(shù)，所以a020(2x)dx5，?1 an20(2x)cos(nx)dx20xcos(nx)dx

n2

n1 ?3bn0,n1, ?4因所給函數(shù)在[1,1]滿足收斂定理的條件2x5

2(cosn

cos(nx)5

4cos(2k1)

x ?5 n2 4

2k

(2kx0

2 2

2

(2k

2，即

(2k

k0

2k01 4 于是n2(2k1)2(2k)2

84

，因此

6?8k k k 六(6分1cf(c0

3解：由積分中值定理知,在[3,1]上存在一點(diǎn)c1，使2f(x)dx3f(c1)， ?3分從而有f(c1)f(0) ?43f(x在區(qū)間[0,c1上滿足羅爾定理的條件，因此在(0,c1內(nèi)存在一點(diǎn)cf(c)0.c(0,c1(0,1 ?7已知11,0,2,3，21,1,3,5)，31,1a2,1，41,2,4,a8)(1,1,b3,5)解：xxxx則x2x32x41 2 3 4 2x3x(a2)x4xb 3x15x2x3(a3)x4

?21 1 1 1因0 1 0 1 ?4 23a b301a 3 a 0 a1 故當(dāng)a1,b0時(shí)，不能表示成a1,a2,a3,a4的線性組合. ?5分當(dāng)a1時(shí)，表示式唯一，且2baab1a a0a ?8a1 a a1 設(shè)A是n階正定陣，E是n階單位陣，證明A+E 因A是正定陣，故存在正交陣Q，使Q1AQ

?1其中i0(i1,

n 1

故Q1(AE)QQ1AQQ1Q

E

?4 n nn在上式兩端取行列式得(1)|Q1||AE||Q||AE|，從而|AE|1.?6 AE的特征值i11(i12,因此A+E的行列式|AE|112 n1

?1?4?6段PQ長(zhǎng)度的倒數(shù)（Q是法線與x軸的交點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線與X軸平行.解：yy(x在點(diǎn)(xy處的法線方程是Yy1Xxy0,?1x軸的交點(diǎn)是(xyy0)x軸之間的法線段PQ1y(1y2)2（y0也滿足上式 ?2 y

，即yy''1y'2 ?3313(1y'2 y(1y'2)且當(dāng)x1時(shí)，y1,y'0 ?4令y'p，則y''pdp，代入方程得ypdp1 dp 1y1p01

1

?6dypy

y2 y2y2積分上式，并注意到x1時(shí)y1，得ln(y y21)(x1)y2 ex1)即y1(ex1e(x1)) ?y22若 量X服從均值為2，方差為2的正態(tài)分布，且P{2X4}0.3，P{X0} 0. 隨機(jī)地向半圓0y (a0)內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于的概率為11 2設(shè)二維隨量(X，Y)的概率密度為f(x,y)

2e(x2y

x0,yZX2Y的分布函數(shù) 其FZ(zP{ZzP{X2Yzx2

f(x ?2z0時(shí)P{Z00 當(dāng)z0時(shí)，P{Zz}0 ?4 (x2 x 2 2y x 2 2y x z z e dy e)dx1 .?5

zZX2YFZ(z1ezzez

?6z數(shù)學(xué)（試卷二 (x(x x2 (x(x x2

(x(x (x1)2令x1sec，則dxsectand ?2 ?33sec43 3 2(1sin2cosd38 ?63sydzdxz1)dxdySx2y24xz2z0解一：S,S1,S2,D1如圖I1ydzdxz1)dxdy,I2ydzdxz1)dxdy I3 ydzdx(z1)dxdy,則II3I1I2 ?1SS1I1ydzdx(z (z1)dxdy(2x1)dxdy12 I2ydzdx(z1)dxdydxdy4 有I3(11)dv0II3I1I28

?3

?4?5?6解二：SD2 24x2

?1?3 2 0 0

4x2 ?422(2x)4x2

?522

4x2dx8 ?6五、(8分)六、(7分)七、(8分)八、(6分)九、(8分)數(shù)學(xué)（試卷三3xlnyln(13xdy

1

dx曲線yex2的向上凸區(qū)間是 2 2)

lnxdx 到t2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程等于1/ 米1lim1ex x若yx2axb和2y1xy3在(11)點(diǎn)相切其中a,b是常數(shù)， (A)a0,b (B)a1b (C)a3,b (D)a1,b0x 0x 0f(x)2

F(x)

0x

F(x)

0x 2x 1x 2x 1x

F(x)

0x3

（D）F(x)3 3

0x 2x

1x 2x

1x設(shè)函數(shù)f(x)在(,)內(nèi)有定義，x00是函數(shù)f(x)的極大點(diǎn) x0必是f(x)的駐 (B)x0必是f(x)的極小(C)x0必是f(x)的極小 (D)對(duì)一切x，都有f(x)f(x0)(4)如圖，x軸上有一線密度為常數(shù)，長(zhǎng)度為l的細(xì)桿，若質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)到桿右端的距離為a，引力系數(shù)為k，則質(zhì)點(diǎn)和細(xì)桿之間引力的大小為 0 1 0 1

2

21 2 (D)22 1(a 0(a 2(a 0(a

xtytsint

dysintt

?2 costtsin d2ysinttcostdt costtsint 2

?44計(jì)算1

(costtsin

?5解：令t ，則xt2,dx2tdt，于是2原式

?22 12 ?31 1t12[lntln(1 ?412ln4 ?53xsin求 0 n解：原式lim lim1

?2?4

1 lim ?5x0 求xsin21cos解：原式

?21xdx1xdsin

?32x 2x44xsinx4sin ?4 xsin2xcos2xC ?5 xy2yxexy(1)1解：yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdx ?11

1 x[

xdx ?2ex1,y1代入，得C1yx1xe

?4?5x1時(shí)，有不等式ln(1x)ln

x1x證一：令f(x)(1x)ln(1x)xlnx ?2)f(xln(11)x

所以在[1,)中f(x)為增函數(shù) ?6f(1)2ln20，所以在[1中，有f(x)0.即(1xln(1xxlnx0x1時(shí)，有l(wèi)n(1x)ln

1

?9求微分方程yyxcosx解：原方程所對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為C1cosxC2sinx ?yyxy1AxB.B0,A1y1x xsinx x因此原方程的通解為yC1cosxC2sinxx2sinx ?9x解：在[1,2]上取積分元，得dV2x|y|dx ?42于是有V12x|y|2

?6

1

?7 ?92如圖，A和Dyexye2xABDC均垂直xAB:DC21,AB求點(diǎn)B和CABCD的面積最大1解：設(shè)B，C的橫坐標(biāo)為x,x,則有ex2e2x，由此可得x1ln22x. ?21分又BCxx13xln2x2

?5令S3(36x2ln2)e2x0，得駐點(diǎn)x11ln2 ?7 x11ln2S0x11ln2S0 所以x

ln2是極大值點(diǎn)，又駐點(diǎn)唯一.故x

?8即當(dāng)x ln2，x1 ?9 八、(本題滿分6分 設(shè)函數(shù)f(x)在(,)內(nèi)滿足f(x)計(jì)算 f(x)dx

f(xsinxf(x)xx[0,解一： f(x)dx3[f(x)sinx]dx

f(x ?1令tx

f

?3 0 0f(t)dt f(t)dt0f(t)dtf(tsin ?6 令xt 22f(t22f?822?9數(shù)學(xué)（試卷四設(shè)zesinxy，則dz esinxycosxy(ydx 設(shè)曲線f(x)x3ax與g(x)bx2c都通過(guò)點(diǎn)(1,0)，且在點(diǎn)(1,0)有公共切線，則a-1 ，b ，c 設(shè)f(x)xex，則f(n)(x)在點(diǎn)x (n1)處取極小 設(shè)A和BX

A為分塊矩陣，則X1

0若x若1x0若10若x若1x0若1x1若x 3 則X的概率分布為 0.2 lim(11)x (B)lim(11)x (C)lim(11)x (D)lim(11)x 設(shè)0an1n(=,2)，則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的 nnn

(1)nn

(1)na2 設(shè)A為n階可逆矩陣，是A的一個(gè)特征根則A的伴隨矩陣A*的特征根之一 (A)1A (B)1 (C) (D)A A與B不相 A與B相 P(AB)=P(A)P(B P(A-B)=P(對(duì)于任意兩個(gè)隨量X和Y若E(XY)=EXEY (BD(XY)=DXD (B D(X+Y)=DX+D X和Y獨(dú) (D X和Y不獨(dú)exe2xenx求極限lim( )x其中n是給定的自然數(shù) exe2x ln(exe2xenxln解：原式limexp{ )} }.?1 0

其中大括號(hào)內(nèi)的極限是0limln(exe2xenx)ln limex2e2x

?212

n

x0exe2x ?4 于是原式e2 ?5計(jì)算二重積分IDydxdy，其中D是由x軸，y軸與曲 1所圍成的區(qū)域；a0,b0.解：積分區(qū)域D如圖中陰影部分所示 1，得yb Ia2 ?2 xx20 adx ?3x令t

xa1t2dx2a(1t)dtI

1(t4t5)dtab2t

t61

2 ?5

6 xydyx2y2

y x2 x2

?1

1設(shè)yux, u ，將其代入上式，得u

?2即xdu1，ududx,1u2ln|x|C ?3 將uy代入上式，得通解y22x2(ln|x|C) ?4xy

2e,求得C1，于是，所求特解為y22x2(ln|x|1) ?5222Lyax2分為面積相等的兩部分，其a是大于零的常數(shù)，試確定的a值.2 解：y1x2(0x1yax2聯(lián)立，可解得故曲L 11的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為 , )11于是S111a[(1x2)ax2]dy[x1(1a)x3 31 12SS

?43 3 從而S13.因此31a3 ?5因此于是a3 ?6某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售，售價(jià)分P1P2，銷量分別為q1和q2，需求函數(shù)分別為q1240.2P1和q2100.05P2，總成本函數(shù)為c3540(q1q2)，解：總收入函數(shù)為Rpqpq24p0.2p210p0.05p ?21 2 總利LRCp1q1p2q2[3540(q1q232p0.2p212p0.05p2 ?4 L320.4p 由極值的必要條件，得方程組 p1p180,p2?6由問(wèn)題的實(shí)際意義可知，當(dāng)p180,p2120時(shí)，廠家所獲得的總利潤(rùn) 605p180,p2?8

120.1p2)試證明函數(shù)f(x)(11)x

在區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)增加證：f(x)exp{xln(1

f(x11

11 ?2x

11

) ) x(1

0故函數(shù)g(x)在(0,)上單調(diào)減少 ?3

1

0 ?4 x(0g(xln(11

0 ?5 1從而，f(x)0，x(0,)于是，函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)增加 ?61 1 1 0設(shè)11，問(wèn) 23 1 1 可由1,2,3可由1,2,3不能由1,2,3解：xxx

1x1 011 1x1 2 3

11

2 x 21

3 其系數(shù)行列式|A

11 11

2(3) ?3若0且3，則方程組有唯一解，可由a1,a2,a3唯一地線性表示 ?4若0可由a1a2a3線性表示，但表達(dá)式不唯一.5若3

0

318

6A

3

12

29 29 29 ?7考慮二次fx24x24x22xx2xx4xx，問(wèn)取何值時(shí)為正

1 1 2 解：二次型f的矩陣為A 2 ?2 1 4 而A的順序主子式為：D10，D1 42， 3D 242484(1)(2) ?431 由D242 可見(jiàn)22；由D34(1)(2)0，可見(jiàn)2是，二次型是，二次型f正定，當(dāng)且僅當(dāng)2 ?6試證明n維列向量組1,2,,n 1 1 1 i 2 1,2,,nD0其中i表示列向量i n n解：記n階矩陣A1,2,,n則1,2,,n線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是|A|0 ?2 T1

1 由于ATA2(,, )2 n ?4 T

n n nn故有|ATA||AT||A||A|2D|A|0D0等價(jià)于是D0是1,2,,n線性無(wú)關(guān)的充分必要條件 ?6十二、(6分)1)假設(shè)隨量X和Y在圓域x2y2r2上服從聯(lián)合均勻分布XY

1 若x2y2解：(1)因X和Y的聯(lián)合密度為p(x,y)r ?1r2dy r2r2dy r2r2(|y|故Xp1x

(|x|r同理，Yp2(yr

?2于是EX

xr2x2dx0，EYr

?3r2cov(X,Y)EXY

x2y2

r2 xydxdy0 因此X和Y

?5(2)由于p(x,y)p1(x)p2(y)，故X和Y不獨(dú)立 ?6設(shè)總體Xpx

axa1e

若x0，其中0 若xa0XX1X2,,Xn，求 ?2 ln

0 ?4n由此可解得的最大似然估計(jì)量= ?5nn數(shù)學(xué)（試卷五(1)(2)(3)ab0000ab0000a00000abb000aab0000ab0000a00000abb000an[91-5]設(shè)A，B為隨機(jī)，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，則P(AB)(1)n2

設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為：xn

n

xn (C)有界變 設(shè)A與B為n階方陣且AB則必 (A)A0或B (B)AB (C)A0或B AB設(shè)A是mn矩陣，Ax＝0是非齊次線性方程組Ax＝b所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組， 若Ax＝0僅有零解，則Ax＝b若Ax＝b有無(wú)窮多個(gè)解則Ax＝0(4)11三、(本題滿分5分)求極限limx xx解：原式limx1x21limexp{1ln(x1x2exp{x

ln(x1x2)}

?2

ln(x 1x2

1 lim lim 1

xx1 1

1x2xe0 ?5I1(2xx1)2dxI0(x1)2dx1(3x1)2

?2 3

(3x0

?53x2xI1x2I

1

arctanxdx

arctanxdarctan ?2 dx1(arctan ?41 xarctanx1ln(1x21(arctanx)2C ?5 已知xyxf(z)yg(z),xf(z)yg(z)0，其中zz(x,yxy的函數(shù). 證：[xg(z)] yf(z) 證：xyxf(zyg(zxyf(zxf(zzyg(zz ?2z yf ， ?3 xf(z)同樣可得z x ?4 xf(z)因此[xg(z)]z[xg(z)][yf(z)][y