第17講 認(rèn)識多邊形

000000000000第17講000000000000

認(rèn)識多邊形教目．了解多邊形的有關(guān)概念，探索并了解多邊形內(nèi)角和和外角和公式．．過探索平面圖形的鑲嵌，知道意一個三角形、四邊形、或正六邊形可以鑲嵌平面，并能進鑲嵌設(shè)計．典精【例１】如圖所示是一個六邊形．(1)從頂點A出發(fā)畫這個多邊形所有對角線的對角線有幾條？它們將六邊形分成幾個三角形？(2)畫出此六邊形的所有對角線，數(shù)一數(shù)共有幾條？【解法指導(dǎo)】本題主要考查多邊形對角線的定義，對于邊，n邊的一個頂點出發(fā)，可引－3)條對角線，它們將這邊形分成(－2)三角形形一共有

n3)2

條對角線，解：(1)從頂點A發(fā)，共可畫三條對角線，如圖所示，它們分別是、、AE將六邊形分成四個三角形eq\o\ac(△,)ABC、ACDeq\o\ac(△,)ADEeq\o\ac(△,)AEF；(2)六形共有條對角線．變練．列圖形中，凸多邊形()A1個B2個C．個D．形的一個頂點有7條對角線形沒有對角線k邊對角線條數(shù)等于邊數(shù)，則＝______，＝______，k＝．03．知多邊形的邊數(shù)恰好是從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線條數(shù)的2倍則此多邊形的邊數(shù)是．【例２】(1)八邊形的內(nèi)角和是多少度？(2)幾邊形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的2倍【解法指導(dǎo)】(1)多邊形的內(nèi)角和式的推導(dǎo)：從邊一個頂點作對角線，可以(－3)對角線，并且將n邊形分成(n個三角形，這(－2)三角形內(nèi)角和恰好是多邊形內(nèi)角和，等(－；(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多形內(nèi)角和，求其邊數(shù)．解：(1)八邊形的內(nèi)角和為－＝；(2)設(shè)形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的2倍則有(－＝×2，解得＝．故四邊形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的倍變練．知邊形的內(nèi)角和為2160，形的邊數(shù)．．果一個正多邊的一個內(nèi)角是108

，則這個多邊形是（）A正方形B正五邊形．正邊形D正七邊形．知一個多邊形的內(nèi)角和為，這個多邊形的邊數(shù)是（）A8B．．6D．．圖，、∠2∠3、∠4是邊形ABCDE外角，且∠＝∠＝∠3∠4＝，∠的數(shù)為（）A

B

C．105

D．100

0．當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1，它的內(nèi)角和與外角和（）

00000000000000000000000000A都不變B．內(nèi)和增加180，外角和不變00000000000000000000000000C．角和增加180，角和減少．都增加【例３】一只螞蟻從點A出，每爬行5cm便轉(zhuǎn)，這只螞蟻需要爬行多少路程才能回到點A？解：螞蟻爬行的路程構(gòu)成一個正多邊形，其路程就是這個正多邊形的周長，根據(jù)已知可得這個多邊形的每個外角均為

，則這個多邊形的邊數(shù)為

0600

＝．所以這只螞蟻需要行＝才回到點A．【解法指導(dǎo)】多邊形的外角和為360．(1)多邊形的外角和恒等于，與邊數(shù)的多少無關(guān)．(2)多邊形的外角和的推導(dǎo)方法于多邊形的每個內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補角以n邊內(nèi)角和加外角和等于

，角和等于n·180

－(n2)·180

＝360

．(3)多邊的外角和為什么等于

，還可以這樣理解：從多邊形的一個頂點A出，沿多邊形的各邊走過各頂點，再回到點A，然轉(zhuǎn)向出發(fā)點時的方向，在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和就是多邊形的外角和，由于走了一周，所轉(zhuǎn)的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360．多邊形的外角和為360的用：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)，求各相等外角的度數(shù)．變練．邊形的內(nèi)角和_．度．．圖所示，已eq\o\ac(△,知)ABC中∠A＝，去A后四邊形，則＋∠2．n(n為整數(shù)，且n邊的內(nèi)角和比n＋1邊形的內(nèi)角和___．．圖所示，小明在操場上從點A出，沿直線前進10米向左轉(zhuǎn)40，再沿直線前進10米，向左轉(zhuǎn)40，…，照這樣下去，他第一次回到出發(fā)地A時，一共走_(dá)___．【例４】已知兩個多邊形的內(nèi)角和為，且兩多邊形的邊數(shù)之比為：，求這兩個多邊形的邊數(shù)．【解法指導(dǎo)】因為兩個多邊形的邊數(shù)之比為2，可設(shè)兩個多邊形的邊數(shù)為和5x，利用多邊形的內(nèi)角可列出方程．解：設(shè)這兩個多邊形的邊數(shù)分別是2x和5x，則由多邊形內(nèi)角和定理可得：－＋－2)·180＝1800，解得x＝，∴2x＝4，5x＝，故這兩個多邊形的邊數(shù)分別為4和．變練．個多邊形除去一個角后，其余各內(nèi)角的和為2210，這個多邊形．一個多邊形的外角和是其內(nèi)角和的

25

，則此多邊形的邊數(shù)_____2．一個內(nèi)角都相等的多邊形，它的一個外角等于一個內(nèi)角的，這個多邊形是（）3A三角形四邊形．邊形D．邊形．角和與其外角和相等的多邊形【例５】某人到瓷磚商店去購買一種多邊形瓷磚，用來鋪設(shè)無縫地面，他購買的瓷磚不可以是）A正三角形B．長方形．八邊形D．六邊形【解法指導(dǎo)根據(jù)平面鑲嵌的定可知一個頂點處各多邊形的內(nèi)角和為由正三角形長形、正六邊形的內(nèi)角都是360的數(shù)因它們可用來完成平面鑲嵌正八邊形的每個內(nèi)角為不的數(shù)，所以正八邊形不能把平面鑲嵌．解：選．變練．一種如下形狀的地磚，不能把地面鋪成既無縫隙，又不重疊的是）A正三角形B．正方形．方形D．正五邊形

0000000000000000000000002．明家裝修房屋，用同樣的正多邊形瓷磚鋪地，頂點連著頂點，要滿地面而不重疊，瓷磚的形狀0000000000000000000000002A正三角形、正方形、正六邊形B．正三角形、正方形、正五邊形C．方形、正五邊形D正三角形、正方形、正五邊形、正邊形．用下列正多邊形能平面鑲嵌的是（）A正五邊形B．正六邊形C．正邊形D．十邊形．圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4小正方形，稱為第一次操作；然后將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得7個小正方形，稱為第二次操作；再將中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到個小正方形，稱為第次操作…，根據(jù)以上操作，若要得到個小正方，則需要操作的次數(shù)是（）AB．671D【例６有一個十一邊形由干個邊長為的等邊三角形和邊長為1的方形無重疊無間隙地拼成，求此十一邊形各內(nèi)角的大小，并畫出圖形．【解法指導(dǎo)】正三角形的每個內(nèi)角為，方的每個內(nèi)角為90，們無重疊、間隙可拼成、、120四種角度，根據(jù)十一邊形內(nèi)角和即可判斷每種角的數(shù)．解：因為正三角形和正方形的內(nèi)角分別為，此可拼60、、120、四種角度，十一邊形內(nèi)角和(－2)×180＝－2)×180＝．因為120＜1620

＜150×11所這個十一邊形的內(nèi)角有120

和150

兩種設(shè)120的角有，

的角有n個，則有120

m150

＝1620

，即＋5n＝此方程有唯一正整數(shù)解

n

，所以這個十一邊形內(nèi)角中有1個角為，個為，十一邊形如圖所示．變練．圖是某廣場地面的一部分，地面的中央是一塊正六邊形的地磚，圍用正三角形和正方形的大理石磚鑲嵌，從里向外共鋪了層不包括中央的正六邊形地磚層的外邊界都圍成一個正多邊形，若中央正六邊形的地磚邊長為．5m則第12層外邊界所圍成的多邊形的周長___________．．明的書房地面為的方形，若僅從方便平面鑲嵌的角度出發(fā)最適宜選用的地磚規(guī)格為（）A的方形，B．的方形，C．的方形，．的正方形，．邊形、正n邊及正p邊形各取一個內(nèi)角，其和為，求

11m

的值．鞏提．一個頂點處，若正n邊形的幾個內(nèi)角的和，則此正n邊可鋪滿地面，沒有空隙．．如圖，用同樣規(guī)格黑白兩種正方形瓷磚鋪設(shè)正方形地面，觀察圖形并猜想填空：當(dāng)黑色瓷磚為塊時，白色瓷磚塊，當(dāng)白色瓷磚為n（n為整數(shù)）塊時，黑色瓷為塊．．黑白兩種顏色的正六邊形地板磚按圖所示的規(guī)律拼成如下若干地圖案：則n個圖案中白色的地板磚有_____塊．

02200220．圖所示的圖案是由正六邊形密鋪而成，黑色正六邊形周圍的第一有六個白色正六邊形，則第有_____白色正六邊形．．果只用一種正多邊形作平面鑲嵌，而且在每一個正多邊形的每一頂點周圍都有個正多邊形，則該正多邊形的邊數(shù)為（）A3B．4．D6．列不能鑲嵌的正多邊組合是（）A正三角形與正六邊形B正方形與正六邊形C．三角形與正方形D．五邊形正十邊形．兩種以上的正多邊形鑲嵌必須具備的條件是（）A邊長相同B．每一點的交接處各多邊形的內(nèi)角和為180

0C．長之間互為整數(shù)倍D．在一點的交接處各多邊形的內(nèi)角和為，且邊長相等．三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起且相交于一點的各邊完全吻，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8則第三塊木板的邊數(shù)是（）A4B．．6D．．珊的父母打算購買形狀和大小都相同的正多邊形瓷磚來鋪衛(wèi)生間地面，張珊特意提醒父母，為了保證鋪地面時既沒縫隙、又不重疊，所購瓷磚形狀不能是（）A正三角形B．正方形．六邊形D．八邊形．們常常見到如圖所示那樣圖案的地板，它們分別是由正方形、等三角形的材料鋪成的，(1)為什么用這樣形狀的材料能鋪成平整、無空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四邊形或不等邊三角形鑲嵌成地板請畫出圖形．11某單位的地板由三種各角相等、各邊也相等的多邊形鋪成，假設(shè)它們的邊數(shù)為、y，你能找出x、y、z之有何種數(shù)量關(guān)系嗎？請說明理由．．色正三角形與白色正六邊形的邊長相等，用它們鑲嵌圖案，方法下：白色正六邊形分上下兩行，上面一行的正六邊形個數(shù)比下面一行少一個，正六邊形之間的空隙用黑色的正三角形嵌滿，按12，個圖案[圖(1)、、(3)]律依次下去，則第個案中黑正三角形和白色正六邊形的個數(shù)分別是（）An＋＋，2n＋B．2n，＋1C．，－＋3D．4n，2n培升檢．一個多邊形中，除了兩個內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為2002，則這個多邊形的邊數(shù)為（）AB．12或．D．14或15．一個邊長為4m的六邊形客廳，用邊長為的三形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚（）A塊B288塊C．384塊D．512塊

00000000．圖，A＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度等于（）00000000AB．540D

0．凸邊的一個頂點引出的所有對角線把這個凸n邊分成了個三角形，若等這個凸n邊形對角線條數(shù)的

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，那么此形的內(nèi)角和為___________．．圖，已知DC，BAE＝BCDAE⊥DE∠D130，求B的數(shù)．圖，小亮從點A出，沿直線前進米后向左轉(zhuǎn)，再沿直線前進米，又向左轉(zhuǎn)30照這樣下去，他第一次回到出發(fā)點A時一共走了米．．圖，兩直線AB、平行，則＋∠2＋＋∠＋∠5∠6（）0AB．800D

0

，，．一個寬度相等且足夠長的紙條打開個結(jié)(1)，然后輕拉緊平就可以得到如(2)示的正五邊形，ABCDE其中∠BAC＝_________．．形ABCD的邊長為，為，沿著對角線BD剪，得到兩個三角形，將這兩個三角形拼出各種凸四邊形，設(shè)這些四邊形中周長最大為m周長最小為n則mn的值為（）AB．136D．正方形ABCD劃如圖①，其中E、分是、中點M、、G分是OB、、的中點，沿分劃線可以剪出一副由七塊部件組成七板(1)如果設(shè)正方形的邊長為1，這七塊部件的各塊長中，從小大的四個不同值分別為、xx、1x那x＝各角中最小內(nèi)角是度最內(nèi)角是_____用它們拼成一個五邊形如圖②，3其面積是．(2)請用這塊七巧板，既不留下一絲空白，又不相互重疊，拼出兩種邊不同的凸多邊形，畫在下面格點圖中，并使凸多邊形的頂點落在格點圖的小