第二節(jié)二重積分的計算

第二節(jié)重積分的計算(一分布圖

★關(guān)于積分限的確 ★例★例 ★例 ★例★例 ★例 ★例★例 ★例 ★例★例 ★例 ★例★利用對稱性和奇偶性化簡積分計 ★例★例 ★例 ★例★內(nèi)容小 ★課堂練10-內(nèi)容要一、在直角坐標(biāo)系下二重積分的X型區(qū)域：{(xy|ax

1(x)y2(x， 2(

f(x,

對Y型區(qū)域：{(xy|cyd,1yx2y，f(x,y)dxdyddy2(y)f(x,

D二、交換二次積分次序的步

1(對于給定的二重積分bdx2x)f(x,

1(

ax

1(x)y2Dcyd

1(y)x2(

bdx2(x)f(x,y)dyddy2(y)f(x, 1( 1(三、利用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計D的對稱性，常會大大化簡二重積分的計算..f(xy的對稱性兩方面例題選在直角坐標(biāo)系下二重積分的計1（E01）xydDy1x2yx所圍成的閉區(qū)域D解一X型2

2 y2

2 x

x2 xyd11xydydx1x2dx1

2dx84

18

解二將積分區(qū)域視為Y型2

2 x2

2 y3

y4 xydxydxdyy dy

2y dyy2

1 1

2

1 2

8 2D

1x2y2d,Dyx、x1y1所圍成的閉區(qū)域解如圖DX型,又是Y型.X型,

111x21x2

3

x2

23/2)x)11(|x|31)dx21(x31)dx13

3 若視為Yy1x2y2d

1y1x21x2D

x的積分計算比較麻煩，故合理選擇積分次序?qū)χ胤e分的計算非常重要3（E02）xydDy2xyx2D的閉區(qū)域如圖DX型，也是Y型.但易見選擇前者計算較麻煩，需將積分區(qū)域劃分2

2

1xydD

xydxdy

1

y

dy

2

yy5584（E03）計算ey2D

Dyxy1y軸所圍解D的圖形.DX型區(qū)域,D0x1xy 1D

因ey2dy的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示.所以我們要變換積分次序.D表成Y型區(qū)域,D0y1,0xy,e

dxdy

dyy

dx

1dy1

dy

11ey

d(y2)

111 11D

2 例 計算|yx2|dxdy,其中D為1xD

0y解|yx2|dxdy(x2D1x21x2 2

1y)dy1y)dy(y 11x4x

11x21x41

例6exyD形

Dx0x1y0

y1解D是矩形區(qū)域,且exyexeyexydxdy1exdx1eydy(ex1)(ey1)(e

7（E04）R的直交圓柱面所圍成的立體的體積 成的立體的體積

x2y2R2x2z2R2利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱性只要算出它在第一卦限部分的體積V1然后再乘以8即可.如圖.D{(x,y)0y

R2x2,0xzR2x2于是V1

RR2x2d

R2

R2R2R2R2

RR2x2

0

R(R2x2)dx2R3 故所求體積為V8V116R3交換二次積分次序的步 80

f(x,y)dy的積分次序解題設(shè)二次積分的積分限0x10y1x,可改寫為0y10x1 所以0dx0f(xy)dy0

f(x, 9（E05）0dxx2f(xy)dy的積分次序解題設(shè)二次積分的積分限:0x1,x2yx,可改寫為:0y1,yx yy y所以0dxx2f(xy)dy0

f(x,例10（E06）證 yb(

b(a、b均為常數(shù),且a0

f(x)dx0(a

f證等式左端二次積分的積分限0ya,0xy可改寫為0xaxy yb(

ab(

ab(

b(0dy0

f(x)dx0dxx

f(x)dy0 f(x)xdydx0(a

f22xx

2的積分次序

f(x,y)dy1

f(x,解題設(shè)二次積分的積分限

0y2x0y2x

0y1,1

x211所 原式0

f(x,2axx2122axx2

f(x,

(a0的積分次序解題設(shè)二次積分的積分限:0x 2y y22axa22axa2a原式a

a2a2

f(x,y)dx

a2a2

f(x,y)dx

dyy2f(x,a a 13

1/II1/

yey/xdx1/

1/

yey/xdx.y解exdx不能用初等函數(shù)表示,先改變積分次序.題設(shè)二次積分的積分限y1y1 1xy242411 y

2yyxy1x1x2yx2 x I1dx2exdy1x(eex)dx e 利用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計14（E07）y[1xf(x2y2dxdyDyx2yD所圍成解g(xy)xyf(x2y2Dy軸對稱,g(xy)g(x xyf(x2y2)dxdy

I ydxdy

1dx1ydy11(1x4)dx4

2 15I(xyD

D4x2y2解法一y積分,D

1x1111 1 I 2(xy1)dy dx

1x22(1x2)3/3

142

21

解法二xD22

14y14y

2y124y124y2

4y2I

dy2

解法三利用對稱性Ixydxdy Dxf(xyxyx是奇函數(shù),xydxdyDdxdy2D

I216（E08）計算x2D

其中區(qū)域D|x||y|解Dxyf(xyx2y2xyI4x2y2dxdy41dx1xx2y2dy41x2(1x)3dx1 3 注:D上求二重積分，則要繁瑣很多17

1(cosy2sinx2)dxdyD

2,其中D0x1,0y證Dxycosx2dxdycosy2dxdy， (cosy2sinx2)dxdy