2023高考總復(fù)習單元檢測：第9章解析幾何

第頁第九章單元測試一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，共50分．每題中只有一項符合題目要求)1．(2023·浙江)設(shè)a∈R，那么“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行〞的 ()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析由a＝1可得l1∥l2，反之，由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，應(yīng)選A.2．(2023·湖北)過點P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2＋y2≤4|}分為兩局部，使得這兩局部的面積之差最大，那么該直線的方程為 ()A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0答案A解析兩局部面積之差最大，即弦長最短，此時直線垂直于過該點的直徑．因為過點P(1,1)的直徑所在直線的斜率為1，所以所求直線的斜率為－1，方程為x＋y－2＝0.3．經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點且平行于直線3x－2y＝0的直線l的方程是A．3x－2y－3＝0 B．6x－4y－3＝0C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0答案A解析∵拋物線y2＝4x的焦點是(1,0)，直線3x－2y＝0的斜率是eq\f(3,2)，∴直線l的方程是y＝eq\f(3,2)(x－1)，即3x－2y－3＝0，應(yīng)選A.4．圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，那么圓C的方程為 ()A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0答案D解析設(shè)圓心C(a,0)(a>0)，由eq\f(3a＋4,5)＝2得，a＝2，故圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.5．(2023·江西)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.假設(shè)|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，那么此橢圓的離心率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(1,2) D.eq\r(5)－2答案B解析由等比中項的性質(zhì)得到a，c的一個方程，再進一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，解之即得所求．依題意得|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5).6．(2023·浙江)如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點．假設(shè)M，O，N將橢圓長軸四等分，那么雙曲線與橢圓的離心率的比值是 ()A．3 B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)答案B解析設(shè)焦點為F(±c,0)，雙曲線的實半軸長為a，那么雙曲線的離心率e1＝eq\f(c,a)，橢圓的離心率e2＝eq\f(c,2a)，所以eq\f(e1,e2)＝2.選B.7．設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點．假設(shè)點P在雙曲線上，且eq\o(PF1,\s\up10(→))·eq\o(PF2,\s\up10(→))＝0，那么|eq\o(PF1,\s\up10(→))＋eq\o(PF2,\s\up10(→))|等于 ()A.eq\r(10) B．2eq\r(10)C.eq\r(5) D．2eq\r(5)答案B解析F1(－eq\r(10)，0)，F(xiàn)2(eq\r(10)，0)，2c＝2eq\r(10)，2a＝2.∵eq\o(PF1,\s\up10(→))·eq\o(PF2,\s\up10(→))＝0，∴|eq\o(PF1,\s\up10(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up10(→))|2＝|F1F2|2＝4c2＝40.∴(eq\o(PF1,\s\up10(→))＋eq\o(PF2,\s\up10(→)))2＝|eq\o(PF1,\s\up10(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up10(→))|2＋2eq\o(PF1,\s\up10(→))·eq\o(PF2,\s\up10(→))＝40.∴|eq\o(PF1,\s\up10(→))＋eq\o(PF2,\s\up10(→))|＝2eq\r(10).8．過拋物線y＝eq\f(1,4)x2準線上任一點作拋物線的兩條切線，假設(shè)切點分別為M，N，那么直線MN過定點 ()A．(0,1) B．(1,0)C．(0，－1) D．(－1,0)答案A解析特殊值法，取準線上一點(0，－1)．設(shè)M(x1，eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1))，N(x2，eq\f(1,4)xeq\o\al(2,2))，那么過M、N的切線方程分別為y－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)x1(x－x1)，y－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,2)x2(x－x2)．將(0，－1)代入得xeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＝4，∴MN的方程為y＝1，恒過(0,1)點．9．如圖，過拋物線x2＝4py(p>0)焦點的直線依次交拋物線與圓x2＋(y－p)2＝p2于點A、B、C、D，那么eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(CD,\s\up10(→))的值是 ()A．8p2 B．4p2C．2p2 D．p2答案D解析|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|AF|－p＝y(tǒng)A，|eq\o(CD,\s\up10(→))|＝|DF|－p＝y(tǒng)B，|eq\o(AB,\s\up10(→))|·|eq\o(CD,\s\up10(→))|＝y(tǒng)AyB＝p2.因為eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))的方向相同，所以eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(CD,\s\up10(→))＝|eq\o(AB,\s\up10(→))|·|eq\o(CD,\s\up10(→))|＝y(tǒng)AyB＝p2.10．拋物線y＝x2上有一定點A(－1,1)和兩動點P、Q，當PA⊥PQ時，點Q的橫坐標取值范圍是 ()A．(－∞，－3] B．[1，＋∞)C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案D解析設(shè)P(x1，xeq\o\al(2,1))，Q(x2，xeq\o\al(2,2))，∴kAP＝eq\f(x\o\al(2,1)－1,x1＋1)＝x1－1，kPQ＝eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),x2－x1)＝x2＋x1.由題意得kPA·kPQ＝(x1－1)(x2＋x1)＝－1，∴x2＝eq\f(1,1－x1)－x1＝eq\f(1,1－x1)＋(1－x1)－1.利用函數(shù)性質(zhì)知x2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，應(yīng)選D.二、填空題(本大題共6小題，每題5分，共30分，把答案填在題中橫線上)11．設(shè)l1的傾斜角為α，α∈(0，eq\f(π,2))，l1繞其上一點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角得直線l2，l2的縱截距為－2，l2繞點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)eq\f(π,2)－α角得直線l3：x＋2y－1＝0，那么l1的方程為________．答案2x－y＋8＝0解析∵l1⊥l3，∴k1＝tanα＝2，k2＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3).∵l2的縱截距為－2，∴l(xiāng)2的方程為y＝－eq\f(4,3)x－2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(4,3)x－2，,x＋2y－1＝0，))∴P(－3,2)，l1過P點．∴l(xiāng)1的方程為2x－y＋8＝0.12．過直線2x＋y＋4＝0和圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交點且面積最小的圓的方程是________．答案(x＋eq\f(13,5))2＋(y－eq\f(6,5))2＝eq\f(4,5)解析因為通過兩個定點的動圓中，面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓，于是解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，))得交點A(－eq\f(11,5)，eq\f(2,5))，B(－3,2)．因為AB為直徑，其中點為圓心，即為(－eq\f(13,5)，eq\f(6,5))，r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(2,5)eq\r(5)，所以圓的方程為(x＋eq\f(13,5))2＋(y－eq\f(6,5))2＝eq\f(4,5).13．(2023·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，假設(shè)直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，那么k的最大值是________．答案eq\f(4,3)解析設(shè)圓心C(4,0)到直線y＝kx－2的距離為d，那么d＝eq\f(|4k－2|,\r(k2＋1))，由題意知問題轉(zhuǎn)化為d≤2，即d＝eq\f(|4k－2|,\r(k2＋1))≤2，得0≤k≤eq\f(4,3)，所以kmax＝eq\f(4,3).14．假設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1過拋物線y2＝8x的焦點，且與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點，那么該橢圓的方程是________．答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1解析拋物線y2＝8x的焦點坐標為(2,0)，那么依題意知橢圓的右頂點的坐標為(2,0)，又橢圓與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點，∴a＝2，c＝eq\r(2).∵b2＝a2－c2，∴b2＝2，∴橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.15．兩點M(－3,0)，N(3,0)，點P為坐標平面內(nèi)一動點，且|eq\o(MN,\s\up10(→))|·|eq\o(MP,\s\up10(→))|＋eq\o(MN,\s\up10(→))·eq\o(NP,\s\up10(→))＝0，那么動點P(x，y)到點A(－3,0)的距離的最小值為________．答案3解析因為M(－3,0)，N(3,0)，所以eq\o(MN,\s\up10(→))＝(6,0)，|eq\o(MN,\s\up10(→))|＝6，eq\o(MP,\s\up10(→))＝(x＋3，y)，eq\o(NP,\s\up10(→))＝(x－3，y)．由|eq\o(MN,\s\up10(→))|·|eq\o(MP,\s\up10(→))|＋eq\o(MN,\s\up10(→))·eq\o(NP,\s\up10(→))＝0，得6eq\r(x＋32＋y2)＋6(x－3)＝0，化簡整理得y2＝－12x.所以點A是拋物線y2＝－12x的焦點，所以點P到A的距離的最小值就是原點到A(－3,0)的距離，所以d＝3.16．以y＝±eq\r(3)x為漸近線的雙曲線D：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，假設(shè)P為雙曲線D右支上任意一點，那么eq\f(|PF1|－|PF2|,|PF1|＋|PF2|)的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析依題意，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＋|PF2|≥2c，所以0<eq\f(|PF1|－|PF2|,|PF1|＋|PF2|)≤eq\f(a,c)＝eq\f(1,e).又雙曲線的漸近線方程y＝±eq\r(3)x，那么eq\f(b,a)＝eq\r(3).因此e＝eq\f(c,a)＝2，故0<eq\f(|PF1|－|PF2|,|PF1|＋|PF2|)≤eq\f(1,2).三、解答題(本大題共6小題，共70分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(此題總分值10分)O為平面直角坐標系的原點，過點M(－2,0)的直線l與圓x2＋y2＝1交于P，Q兩點．(1)假設(shè)eq\o(OP,\s\up10(→))·eq\o(OQ,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)，求直線l的方程；(2)假設(shè)△OMP與△OPQ的面積相等，求直線l的斜率．解析(1)依題意知直線l的斜率存在，因為直線l過點M(－2,0)，故可設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)．因為P，Q兩點在圓x2＋y2＝1上，所以|eq\o(OP,\s\up10(→))|＝|eq\o(OQ,\s\up10(→))|＝1.因為eq\o(OP,\s\up10(→))·eq\o(OQ,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)，即|eq\o(OP,\s\up10(→))|·|eq\o(OQ,\s\up10(→))|·cos∠POQ＝－eq\f(1,2).所以∠POQ＝120°，所以點O到直線l的距離等于eq\f(1,2).所以eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝eq\f(1,2)，解得k＝±eq\f(\r(15),15).所以直線l的方程為x－eq\r(15)y＋2＝0或x＋eq\r(15)y＋2＝0.(2)因為△OMP與△OPQ的面積相等，所以MP＝PQ，即P為MQ的中點，所以eq\o(MQ,\s\up10(→))＝2eq\o(MP,\s\up10(→)).設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以eq\o(MQ,\s\up10(→))＝(x2＋2，y2)，eq\o(MP,\s\up10(→))＝(x1＋2，y1)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2＝2x1＋2，,y2＝2y1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2x1＋1，,y2＝2y1.))①因為P，Q兩點在圓x2＋y2＝1上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝1，,x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＝1.))②由①及②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝1，,4x1＋12＋4y\o\al(2,1)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(7,8)，,y1＝±\f(\r(15),8).))故直線l的斜率k＝kMP＝±eq\f(\r(15),9).18．(此題總分值12分)(2023·北京文)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為eq\f(\r(2),2).直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當△AMN的面積為eq\f(\r(10),3)時，求k的值．解析(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2，))解得b＝eq\r(2).所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.設(shè)點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，那么y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－4,1＋2k2).所以|MN|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(2\r(1＋k24＋6k2),1＋2k2).又因為點A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝eq\f(|k|,\r(1＋k2))，所以△AMN的面積為S＝eq\f(1,2)|MN|·d＝eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2).由eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)＝eq\f(\r(10),3)，化簡得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.19．(此題總分值12分)(2023·天津理)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A、B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點．(1)假設(shè)直線AP與BP的斜率之積為－eq\f(1,2)，求橢圓的離心率；(2)假設(shè)|AP|＝|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|>eq\r(3).解析(1)設(shè)點P的坐標為(x0，y0)．由題意，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝eq\f(y0,x0＋a)，kBP＝eq\f(y0,x0－a).由kAP·kBP＝－eq\f(1,2)，可得xeq\o\al(2,0)＝a2－2yeq\o\al(2,0)，代入①并整理得(a2－2b2)yeq\o\al(2,0)＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以橢圓的離心率e＝eq\f(\r(2),2).(2)方法一依題意，直線OP的方程為y＝kx，設(shè)點P的坐標為(x0，y0)．由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0，,\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.))消去y0并整理得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2b2,k2a2＋b2).②由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2xeq\o\al(2,0)＝a2.整理得(1＋k2)xeq\o\al(2,0)＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝eq\f(－2a,1＋k2)，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2(eq\f(a,b))2＋4.由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4.因此k2>3，所以|k|>eq\r(3).方法二依題意，直線OP的方程為y＝kx，可設(shè)點P的坐標為(x0，kx0)．由點P在橢圓上，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(k2x\o\al(2,0),b2)＝1.因為a>b>0，kx0≠0，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(k2x\o\al(2,0),a2)<1，即(1＋k2)xeq\o\al(2,0)<a2.③由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2xeq\o\al(2,0)＝a2，整理得(1＋k2)xeq\o\al(2,0)＋2ax0＝0，于是x0＝eq\f(－2a,1＋k2).代入③，得(1＋k2)·eq\f(4a2,1＋k22)<a2，解得k2>3，所以|k|>eq\r(3).20.(此題總分值12分)如圖，點A，B分別是橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1長軸的左，右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.(1)求點P的坐標；(2)設(shè)M是橢圓長軸AB的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．解析(1)由可得點A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)點P的坐標是(x，y)，那么eq\o(AP,\s\up10(→))＝(x＋6，y)，eq\o(FP,\s\up10(→))＝(x－4，y)．由得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋6x－4＋y2＝0，))那么2x2＋9x－18＝0，x＝eq\f(3,2)或x＝－6.∵點P位于x軸上方，∴x＝－6舍去，只能取x＝eq\f(3,2).由于y>0，于是y＝eq\f(5,2)eq\r(3).∴點P的坐標是(eq\f(3,2)，eq\f(5,2)eq\r(3))．(2)直線AP的方程是x－eq\r(3)y＋6＝0.設(shè)點M的坐標是(m,0)(－6≤m≤6)，那么M到直線AP的距離是eq\f(m＋6,2).于是eq\f(m＋6,2)＝6－m，解得m＝2.橢圓上的點(x，y)到點M的距離d有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－eq\f(5,9)x2＝eq\f(4,9)(x－eq\f(9,2))2＋15.由于－6≤x≤6，∴當x＝eq\f(9,2)時，d取得最小值eq\r(15).21．(此題總分值12分)橢圓eq\f(x2,m＋1)＋y2＝1的兩個焦點是F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)．(1)設(shè)E是直線y＝x＋2與橢圓的一個公共點，求|EF1|＋|EF2|取得最小值時橢圓的方程；(2)點N(0，－1)，斜率為k(k≠0)的直線l與條件(1)下的橢圓交于不同的兩點A，B，點Q滿足eq\o(AQ,\s\up10(→))＝eq\o(QB,\s\up10(→))，且eq\o(NQ,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＝0，求直線l在y軸上的截距的取值范圍．解析(1)由題意，知m＋1>1，即m>0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m＋1)＋y2＝1，))得(m＋2)x2＋4(m＋1)x＋3(m＋1)＝0.又由Δ＝16(m＋1)2－12(m＋2)(m＋1)＝4(m＋1)(m－2)≥0，解得m≥2或m≤－1(舍去)，∴m≥2.此時|EF1|＋|EF2|＝2eq\r(m＋1)≥2eq\r(3).當且僅當m＝2時，|EF1|＋|EF2|取得最小值2eq\r(3)，此時橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋t.由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3y2＝3，,y＝kx＋t，))消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－3＝0.∵直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，∴Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)(3t2－3)>0，即t2<1＋3k2.①設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，那么x1＋x2＝－eq\f(6kt,1＋3k2).由eq\o(AQ,\s\up10(→))＝eq\o(QB,\s\up10(→))，得Q為線段的AB的中點，那么xQ＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3kt,1＋3k2)，yQ＝kxQ＋t＝eq\f(t,1＋3k2).∵eq\o(NQ,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＝0，∴直線AB的斜率kAB與直線QN的斜率kQN乘積為－1，即kQN·kAB＝－1，∴eq\f(\f(t,1＋3k2)＋1,－\f(3kt,1＋3k2))·k＝－1.化簡得1＋3k2＝2t，代入①式得t2<2t，解得0<t<2.又k≠0，即3k2>0，故2t＝1＋3k2>1，得t>eq\f(1,2).綜上，直線l在y軸上的截距t的取值范圍是(eq\f(1,2)，2)．22．(此題總分值12分)(2023·浙江文)如圖，在直角坐標系xOy中，點P(1，eq\f(1,2))到拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線的距離為eq\f(5,4).點M(t,1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB被直線OM平分．(1)求p，t的值；(2)求△ABP面積的最大值．解析(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2pt＝1，,1＋\f(p,2)＝\f(5,4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,t＝1.))(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為Q(m，m)．由題意知，設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝x1，,y\o\al(2,2)＝x2，))得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.故k·2m＝1.所以直線AB的方程為y－m＝eq\f(1,2m)(x－m)．即x－2my＋2m2－m＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2my＋2m2－m＝0，,y2＝x，))消去x，整理得y2－2my＋2m2－所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.從而|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋4m2)·eq\r(4m－4m2).設(shè)點P到直線AB的距離為d，那么d＝eq\f(|1－2m＋2m2|,\r(1＋4m2)).設(shè)△ABP的面積為S，那么S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·eq\r(m－m2).由Δ＝4m－4m2>0，得0<m<1.令u＝eq\r(m－m2)，0<u≤eq\f(1,2)，那么S＝u(1－2u2)．設(shè)S(u)＝u(1－2u2)，0<u≤eq\f(1,2)，那么S′(u)＝1－6u2.由S′(u)＝0，得u＝eq\f(\r(6),6)∈(0，eq\f(1,2)]．所以[S(u)]max＝S(eq\f(\r(6),6))＝eq\f(\r(6),9).故△ABP面積的最大值為eq\f(\r(6),9).1．(2023·遼寧文)將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是 ()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0答案C解析要使直線平分圓，只要直線經(jīng)過圓的圓心即可，由題知圓心坐標為(1,2)．A，B，C，D四個選項中，只有C選項中的直線經(jīng)過圓心，應(yīng)選C.2．(2023·孝感統(tǒng)考)假設(shè)直線過點P(－3，－eq\f(3,2))且被圓x2＋y2＝25截得的弦長是8，那么該直線的方程為 ()A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或y＝－eq\f(3,2)C．x＝－3 D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0答案D解析假設(shè)直線的斜率不存在，那么該直線的方程為x＝－3，代入圓的方程解得y＝±4，故該直線被圓截得的弦長為8，滿足條件；假設(shè)直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為y＋eq\f(3,2)＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－eq\f(3,2)＝0，因為該直線被圓截得的弦長為8，故半弦長為4，又圓的半徑為5，那么圓心(0,0)到直線的距離為eq\r(52－42)＝eq\f(|3k－\f(3,2)|,\r(k2＋1))，解得k＝－eq\f(3,4)，此時該直線的方程為3x＋4y＋15＝0.綜上可知答案為D.3．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A、B兩點，假設(shè)|AB|＝4，那么弦AB的中點到直線x＋eq\f(1,2)＝0的距離等于 ()A.eq\f(7,4) B．2C.eq\f(9,4) D．4答案C解析直線4kx－4y－k＝0，即y＝k(x－eq\f(1,4))，可知直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點(eq\f(1,4)，0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|＝x1＋x2＋eq\f(1,2)＝4，故x1＋x2＝eq\f(7,2)，那么弦AB的中點的橫坐標是eq\f(7,4)，弦AB的中點到直線x＋eq\f(1,2)＝0的距離是eq\f(7,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,4).4．l1和l2是平面內(nèi)互相垂直的兩條直線，它們的交點為A，動點B、C分別在l1和l2上，且BC＝3eq\r(2)，那么過A、B、C三點的動圓所形成的區(qū)域的面積為 ()A．6π B．8πC．16π D．18π答案D解析當A與B或C重合時，此時圓的面積最大，且圓的半徑r＝BC＝3eq\r(2)，所以圓的面積S＝πr2＝π(3eq\r(2))2＝18π，那么過A、B、C三點的動圓所形成的區(qū)域的面積為18π.5．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦點(－c,0)和(c,0)．假設(shè)c是a與m的等比中項，n2是m2與c2的等差中項，那么橢圓的離心率等于 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)答案B解析∵c2＝am,2n2＝c2＋m2，又n2＝c2－m2，∴m2＝eq\f(1,3)c2，即m＝eq\f(\r(3),3)c.∴c2＝eq\f(\r(3),3)ac，那么e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).6．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1離心率為e，點(1，e)是圓x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一條弦的中點，那么此弦所在直線的方程是 ()A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0答案B解析依題意得e＝eq\f(1,2)，圓心坐標為(2,2)，圓心(2,2)與點(1，eq\f(1,2))的連線的斜率為eq\f(2－\f(1,2),2－1)＝eq\f(3,2)，所求直線的斜率等于－eq\f(2,3)，所以所求直線方程是y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,3)(x－1)，即4x＋6y－7＝0，選B.7．圓x2＋y2＝1與x軸的兩個交點為A、B，假設(shè)圓內(nèi)的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，那么eq\o(PA,\s\up10(→))·eq\o(PB,\s\up10(→))的取值范圍為 ()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C．(－eq\f(1,2)，0) D．[－1,0)答案C解析設(shè)P(x，y)，∴|PO|2＝|PA||PB|，即x2＋y2＝eq\r(x－12＋y2)·eq\r(x＋12＋y2)，整理得2x2－2y2＝1.∴eq\o(PA,\s\up10(→))·eq\o(PB,\s\up10(→))＝(1－x，－y)·(－1－x，－y)＝x2＋y2－1＝2x2－eq\f(3,2).∴P為圓內(nèi)動點且滿足x2－y2＝eq\f(1,2).∴eq\f(\r(2),2)<|x|<eq\f(\r(3),2)，∴1<2x2<eq\f(3,2).∴－eq\f(1,2)<2x2－eq\f(3,2)<0，選C.8．(2023·新課標全國)等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準線交于A，B兩點，|AB|＝4eq\r(3)，那么C的實軸長為 ()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D．8答案C解析拋物線y2＝16x的準線方程是x＝－4，所以點A(－4,2eq\r(3))在等軸雙曲線C：x2－y2＝a2(a>0)上，將點A的坐標代入得a＝2，所以C的實軸長為4.9．正方形ABCD，那么以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為________．答案eq\r(2)－1解析令A(yù)B＝2，那么AC＝2eq\r(2).∴橢圓中c＝1,2a＝2＋2eq\r(2)?a＝1＋eq\r(2).可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.10．(2023·北京理)在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點F，且與該拋物線相交于A，B兩點，其中點A在x軸上方．假設(shè)直線l的傾斜角為60°，那么△OAF的面積為________．答案eq\r(3)解析直線l的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，即x＝eq\f(\r(3),3)y＋1，代入拋物線方程得y2－eq\f(4\r(3),3)y－4＝0，解得yA＝eq\f(\f(4\r(3),3)＋\r(\f(16,3)＋16),2)＝2eq\r(3)(yB<0，舍去)，故△OAF的面積為eq\f(1,2)×1×2eq\r(3)＝eq\r(3).11．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1(a>0)的左、右焦點分別為F1、F2，A是橢圓C上的一點，且eq\o(AF2,\s\up10(→))·eq\o(F1F2,\s\up10(→))＝0，坐標原點O到直線AF1的距離為eq\f(1,3)|OF1|.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)Q是橢圓C上的一點，過點Q的直線l交x軸于點P(－1,0)，交y軸于點M，假設(shè)eq\o(MQ,\s\up10(→))＝2eq\o(QP,\s\up10(→))，求直線l的方程．解析(1)由題設(shè)知F1(－eq\r(a2－2)，0)，F(xiàn)2(eq\r(a2－2)，0)．由于eq\o(AF2,\s\up10(→))·eq\o(F1F2,\s\up10(→))＝0，那么有eq\o(AF2,\s\up10(→))⊥eq\o(F1F2,\s\up10(→))，所以點A的坐標為(eq\r(a2－2)，±eq\f(2,a))，故eq\o(AF1,\s\up10(→))所在直線方程為y＝±(eq\f(x,a\r(a2－2))＋eq\f(1,a))．所以坐標原點O到直線AF1的距離為eq\f(\r(a2－2),a2－1)(a>eq\r(2))．又|OF1|＝eq\r(a2－2)，所以eq\f(\r(a2－2),a2－1)＝eq\f(1,3)eq\r(a2－2)，解得a＝2(a>eq\r(2))．所求橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l斜率為k，直線l的方程為y＝k(x＋1)，那么有M(0，k)．設(shè)Q(x1，y1)，∵eq\o(MQ,\s\up10(→))＝2eq\o(QP,\s\up10(→))，∴(x1，y1－k)＝2(－1－x1，－y1)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(2,3)，,y1＝\f(k,3).))又Q在橢圓C上，得eq\f(－\f(2,3)2,4)＋eq\f(\f(k,3)2,2)＝1，解得k＝±4.故直線l的方程為y＝4(x＋1)或y＝－4(x＋1)，即4x－y＋4＝0或4x＋y＋4＝0.12．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，過F1的直線l與橢圓交于A、B兩點．(1)如果點A在圓x2＋y2＝c2(c為橢圓的半焦距)上，且|F1A|＝c，求橢圓的離心率；(2)假設(shè)函數(shù)y＝eq\r(2)＋logmx(m>0且m≠1)的圖像，無論m為何值時恒過定點(b，a)，求eq\o(F2B,\s\up10(→))·eq\o(F2A,\s\up10(→))的取值范圍．解析(1)∵點A在圓x2＋y2＝c2上，∴△AF1F2為一直角三角形．∵|F1A|＝c，|F1F2|＝2c，∴|F2A|＝eq\r(|F1F2|2－|AF1|2)＝eq\r(3)c.由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＋eq\r(3)c＝2a.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,1＋\r(3))＝eq\r(3)－1.(2)∵函數(shù)y＝eq\r(2)＋logmx的圖像恒過點(1，eq\r(2))，由條件知還恒過點(b，a)，∴a＝eq\r(2)，b＝1，c＝1.點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，①假設(shè)AB⊥x軸，那么A(－1，eq\f(\r(2),2))，B(－1，－eq\f(\r(2),2))．∴eq\o(F2A,\s\up10(→))＝(－2，eq\f(\r(2),2))，eq\o(F2B,\s\up10(→))＝(－2，－eq\f(\r(2),2))．∴eq\o(F2A,\s\up10(→))·eq\o(F2B,\s\up10(→))＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).②假設(shè)AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的斜率為k，那么AB的方程為y＝k(x＋1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋2y2－2＝0，))消去y，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2(k2－1)＝0.(*)∵Δ＝8k2＋8>0，∴方程(*)有兩個不同的實根．設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1，x2是方程(*)的兩個根．x1＋x2＝－eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－1,1＋2k2).∴eq\o(F2A,\s\up10(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(F2B,\s\up10(→))＝(x2－1，y2)．∴eq\o(F2A,\s\up10(→))·eq\o(F2B,\s\up10(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2＝(1＋k2)eq\f(2k2－1,1＋2k2)＋(k2－1)(－eq\f(4k2,1＋2k2))＋1＋k2＝eq\f(7k2－1,1＋2k2)＝eq\f(7,2)－eq\f(9,21＋2k2).∵1＋2k2≥1，∴0<eq\f(1,1＋2k2)≤1,0<eq\f(9,21＋2k2)≤eq\f(9,2).∴－1≤eq\o(F2A,\s\up10(→))·eq\o(F2B,\s\up10(→))＝eq\f(7,2)－eq\f(9,21＋2k2)<eq\f(7,2).綜上，由①②，知－1≤eq\o(F2A,\s\up10(→))·eq\o(F2B,\s\up10(→))≤eq\f(7,2).13．(2023·衡水調(diào)研)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個焦點是F(1,0)，且離心率為eq\f(1,2).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點F的直線交橢圓C于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交y軸于點P(0，y0)，求y0的取值范圍．解析(1)設(shè)橢圓C的半焦距是c.依題意，得c＝1.因為橢圓C的離心率為eq\f(1,2)，所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)當MN⊥x軸時，顯然y0＝0.當MN與x軸不垂直時，可設(shè)直線MN的方程為y＝k(x－1)(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，線段MN的中點為Q(x3，y3)，那么x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2).所以x3＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(4k2,3＋4k2)，y3＝k(x3－1)＝eq\f(－3k,3＋4k2).線段MN的垂直平分線的方程為y＋eq\f(3k,3＋4k2)＝－eq\f(1,k)(x－eq\f(4k2,3＋4k2))．在上述方程中，令x＝0，得y0＝eq\f(k,3＋4k2)＝eq\f(1,\f(3,k)＋4k).當k<0時，eq\f(3,k)＋4k≤－4eq\r(3)；當k>0時，eq\f(3,k)＋4k≥4eq\r(3).所以－eq\f(\r(3),12)≤y0<0或0<y0≤eq\f(\r(3),12).綜上，y0的取值范圍是[－eq\f(\r(3),12)，eq\f(\r(3),12)]．14．(2023·北京海淀區(qū)期末)焦點在x軸上的橢圓C過點(0,1)，且離心率為eq\f(\r(3),2)，Q為橢圓C的左頂點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點(－eq\f(6,5)，0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點．①假設(shè)直線l垂直于x軸，求∠AQB的大小；②假設(shè)直線l與x軸不垂直，是否存在直線l使得△QAB為等腰三角形？假設(shè)存在，求直線l的方程；假設(shè)不存在，請說明理由．解析(1)設(shè)橢圓C的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且a2＝b2＋c2.由題意可知：b＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).解得a2＝4，所以橢圓C的標準方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由(1)得Q(－2,0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．①當直線l垂直于x軸時，直線l的方程為x＝－eq\f(6,5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,y＝\f(4,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,y＝－\f(4,5).))即A(－eq\f(6,5)，eq\f(4,5))，B(－eq\f(6,5)，－eq\f(4,5))(不妨設(shè)點A在x軸上方)，那么kAQ＝eq\f(\f(4,5)－0,－\f(6,5)－－2)＝1，kBQ＝eq\f(－\f(4,5)－0,－\f(6,5)－－2)＝－1.因為kAQ·kBQ＝－1，所以AQ⊥BQ.所以∠AQB＝eq\f(π,2)，即∠AQB的大小為eq\f(π,2).②當直線l與x軸不垂直時，由題意可設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋eq\f(6,5))(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(6,5)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y得(25＋100k2)x2＋240k2x＋144k2－100＝0.因為點(－eq\f(6,5)，0)在橢圓C的內(nèi)部，顯然Δ>0.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(240k2,25＋100k2)，,x1x2＝\f(144k2－100,25＋100k2).))因為eq\o(QA,\s\up10(→))＝(x1＋2，y1)，eq\o(QB,\s\up10(→))＝(x2＋2，y2)，y1＝k(x1＋eq\f(6,5))，y2＝k(x2＋eq\f(6,5))，所以eq\o(QA,\s\up10(→))·eq\o(QB,\s\up10(→))＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＋k(x1＋eq\f(6,5))·k(x2＋eq\f(6,5))＝(1＋k2)x1x2＋(2＋eq\f(6,5)k2)(x1＋x2)＋4＋eq\f(36,25)k2＝(1＋k2)eq\f(144k2－100,25＋100k2)＋(2＋eq\f(6,5)k2)(－eq\f(240k2,25＋100k2))＋4＋eq\f(36,25)k2＝0.所以eq\o(QA,\s\up10(→))⊥eq\o(QB,\s\up10(→)).所以△QAB為直角三角形．假設(shè)存在直線l使得△QAB為等腰三角形，那么|QA|＝|QB|.如圖，取AB的中點M，連接QM，那么QM⊥AB.記點(－eq\f(6,5)，0)為N.因為xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(120k2,25＋100k2)＝－eq\f(24k2,5＋20k2)，所以yM＝k(xM＋eq\f(6,5))＝eq\f(6k,5＋20k2)，即M(eq\f(－24k2,5＋20k2)，eq\f(6k,5＋20k2))．所以eq\o(QM,\s\up10(→))＝(eq\f(10＋16k2,5＋20k2)，eq\f(6k,5＋20k2))，eq\o(NM,\s\up10(→))＝(eq\f(6,5＋20k2)，eq\f(6k,5＋20k2))．所以eq\o(QM,\s\up10(→))·eq\o(NM,\s\up10(→))＝eq\f(10＋16k2,5＋20k2)×eq\f(6,5＋20k2)＋eq\f(6k,5＋20k2)×eq\f(6k,5＋20k2)＝eq\f(60＋132k2,5＋20k22)≠0.所以eq\o(QM,\s\up10(→))與eq\o(NM,\s\up10(→))不垂直，即eq\o(QM,\s\up10(→))與eq\o(AB,\s\up10(→))不垂直，矛盾．所以假設(shè)不成立，故當直線l與x軸不垂直時，不存在直線l使得△QAB為等腰三角形．15．設(shè)橢圓M：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2－y2＝1的離心率互為倒數(shù)，且內(nèi)切于圓x2＋y2＝4.(1)求橢圓M的方程；(2)假設(shè)直線y＝eq\r(2)x＋m交橢圓于A、B兩點，橢圓上一點P(1，eq\r(2))，求△PAB面積的最大值．解析(1)雙曲線的離心率為eq\r(2)，那么橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，圓x2＋y2＝4的直徑為4，那么2a＝4，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝4，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,b2＝a2－c2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝\r(2)，,b＝\r(2).))所求橢圓M的方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1.(2)直線AB的直線方程為y＝eq\r(2)x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2)x＋m，,\f(x2,2)＋\f(y2,4)＝1，))得4x2＋2eq\r(2)mx＋m2－4＝0.由Δ＝(2eq\r(2)m)2－16(m2－4)>0，得－2eq\r(2)<m<2eq\r(2).∵x1＋x2＝－eq\f(\r(2),2)m，x1x2＝eq\f(m2－4,4).∴|AB|＝eq\r(1＋2)|x1－x2|＝eq\r(3)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(3)·eq\r(\f(1,2)m2－m2＋4)＝eq\r(3)eq\r(4－\f(m2,2)).又P到AB的距離為d＝eq\f(|m|,\r(3)).那么S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|d＝eq\f(1,2)eq\r(3)eq\r(4－\f(m2,2))eq\f(|m|,\r(3))＝eq\f(1,2)eq\r(m24－\f(m2,2))＝eq\f(1,2\r(2))eq\r(m28－m2)≤eq\f(1,2\r(2))·eq\f(m2＋8－m2,2)＝eq\r(2)，當且僅當m＝±2∈(－2eq\r(2)，2eq\r(2))取等號．∴(S△ABC)max＝eq\r(2).16．設(shè)橢圓C：x2＋2y2＝2b2(常數(shù)b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M，N是直線l：x＝2b上的兩個動點，eq\o(F1M,\s\up10(→))·eq\o(F2N,\s\up10(→))＝0.(1)假設(shè)|eq\o(F1M,\s\up10(→))|＝|eq\o(F2N,\s\up10(→))|＝2eq\r(5)，求b的值；(2)求|MN|的最小值．解析設(shè)M(2b，y1)，N(b，y2)，那么eq\o(F1M,\s\up10(→))＝(3b，y1)，eq\o(F2N,\s\up10(→))＝(b，y2)．由eq\o(F1M,\s\up10(→))·eq\o(F2N,\s\up10(→))＝0，得y1y2＝－3b2.①(1)由|eq\o(F1M,\s\up10(→))|＝|eq\o(F2N,\s\up10(→))|＝2eq\r(5)，得eq\r(3b2＋y\o\al(2,1))＝2eq\r(5).②eq\r(b2＋y\o\al(2,2))＝2eq\r(5).③由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得b＝eq\r(2).(2)易求橢圓C的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.方法一|MN|2＝(y1－y2)2＝y(tǒng)eq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)－2y1y2≥－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝12b2，所以，當且僅當y1＝－y2＝eq\r(3)b或y2＝－y1＝eq\r(3)b，|MN|取最小值2eq\r(3)b.方法二|MN|2＝(y1－y2)2＝y(tǒng)eq\o\al(2,1)＋eq\f(9b4,y\o\al(2,1))＋6b2≥12b2，所以，當且僅當y1＝－y2＝eq\r(3)b或y2＝－y1＝eq\r(3)b時，|MN|取最小值2eq\r(3)b.17．(2023·武漢)如圖，DP⊥x軸，點M在DP的延長線上，且|DM|＝2|DP|.當點P在圓x2＋y2＝1上運動時．(1)求點M的軌跡C的方程；(2)過點T(0，t)作圓x2＋y2＝1的切線l交曲線C于A，B兩點，求△AOB面積S的最大值和相應(yīng)的點T的坐標．解析(1)設(shè)點M的坐標為(x，y)，點P的坐標為(x0，y0)，那么x＝x0，y＝2y0，所以x0＝x，y0＝eq\f(y,2).①因為P(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1.②將①代入②，得點M的軌跡C的方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由題意知，|t|≥1.當t＝1時，切線l的方程為y＝1，點A、B的坐標分別為(－eq\f(\r(3),2)，1)、(eq\f(\r(3),2)，1)，此時|AB|＝eq\r(3)，當t＝－1時，同理可得|AB|＝eq\r(3)；當|t|>1時，設(shè)切線l的方程為y＝kx＋t，k∈R.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t，,x2＋\f(y2,4)＝1，))得(4＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.③設(shè)A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，那么由③得x1＋x2＝－eq\f(2kt,4＋k2)，x1x2＝eq\f(t2－4,4＋k2).又由l與圓x2＋y2＝1相切，得eq\f(|t|,\r(k2＋1))＝1，即t2＝k2＋1.所以|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2[\f(4k2t2,4＋k22)－\f(4t2－4,4＋k2)])＝eq\f(4\r(3)|t|,t2＋3).因為|AB|＝eq\f(4\r(3)|t|,t2＋3)＝eq\f(4\r(3),|t|＋\f(3,|t|))≤2，且當t＝±eq\r(3)時，|AB|＝2，所以|AB|的最大值為2.依題意，圓心O到直線AB的距離為圓x2＋y2＝1的半徑，所以△AOB面積S＝eq\f(1,2)|AB|×1≤1，當且僅當t＝±eq\r(3)時，△AOB面積S的最大值為1，相應(yīng)的T的坐標為(0，－eq\r(3))或(0，eq\r(3))．18．焦點在y軸上的橢圓C1：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1經(jīng)過A(1,0)點，且離心率為eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C1的方程；(2)過拋物線C2：y＝x2＋h(h∈R)上P點的切線與橢圓C1交于兩點M、N，記線段MN與PA的中點分別為G、H，當GH與y軸平行時，求h的最小值．解析(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2.))解得a＝2，b＝1，所以橢圓C1的方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)P(t，t2＋h)，由y′＝2x，拋物線C2在點P處的切線的斜率為k＝y(tǒng)′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝t))＝2t，所以MN的方程為y＝2tx－t2＋h.代入橢圓方程得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，化簡得4(1＋t2)x2－4t(t2－h(huán))x＋(t2－h(huán))2－4＝0.又MN與橢圓C1有兩個交點，故Δ＝16[－t4－2(h＋2)t2－h(huán)2＋4]>0.①設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中點橫坐標為x0，那么x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(tt2－h(huán),21＋t2).設(shè)線段PA的中點橫坐標為x3＝eq\f(1＋t,2).由得x0＝x3，即eq\f(tt2－h(huán),21＋t2)＝eq\f(1＋t,2).②顯然t≠0，h＝－(t＋eq\f(1,t)＋1)．③當t>0時，t＋eq\f(1,t)≥2，當且僅當t＝1時取得等號，此時h≤－3不符合①式，故舍去；當t<0時，(－t)＋(－eq\f(1,t))≥2，當且僅當t＝－1時取得等號，此時h≥1，滿足①式．綜上，h的最小值為1.19．△ABC中，點A、B的坐標分別為(－eq\r(2)，0)，B(eq\r(2)，0)，點C在x軸上方．(1)假設(shè)點C坐標為(eq\r(2)，1)，求以A、B為焦點且經(jīng)過點C的橢圓的方程；(2)過點P(m,0)作傾斜角為eq\f(3,4)π的直線l交(1)中曲線于M、N兩點，假設(shè)點Q(1,0)恰在以線段MN為直徑的圓上，求實數(shù)m的值．解析(1)設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，c＝eq\r(2)，2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝eq\r(2)，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)直線l的方程為y＝－(x－m)，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程解得3x2－4mx＋2m2－4＝0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(4m,3)，,x1x2＝\f(2m2－4,3)))假設(shè)Q恰在以MN為直徑的圓上，那么eq\f(y1,x1－1)·eq\f(y2,x2－1)＝－1，即m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0,3m2－4m－5＝0，解得m＝eq\f(2±\r(19),3).20．橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，其中左焦點F(－2,0)．(1)求橢圓C的方程；(2)假設(shè)直線y＝x＋m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M關(guān)于直線y＝x＋1的對稱點在圓x2＋y2＝1上，求m的值．解析(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,c＝2))?eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，V(x4，y4)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，,y＝x＋m))?3x2＋4mx＋2m2－8＝0.∴Δ＝96－8m2>0?－2eq\r(3)<m<2eq\r(3).∴x3＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(2m,3)，y3＝x3＋m＝eq\f(m,3).又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y3＋y4,2)＝\f(x3＋x4,2)＋1，,\f(y4－y3,x4－x3)＝－1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x4＝\f(m,3)－1，,y4＝1－\f(2m,3)，))在x2＋y2＝1上．∴(eq\f(m,3)－1)2＋(1－eq\f(2m,3))2＝1?eq\f(m2,9)－eq\f(2m,3)＋eq\f(4m2,1)－eq\f(4m,3)＋1＝0.∴5m2－18m＋9＝0?(5m－3)(m－3)＝0.∴m＝eq\f(3,5)或m＝3經(jīng)檢驗成立．∴m＝eq\f(3,5)或m＝3.21．(2023·浙江寧波市期末)拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，拋物線上一點A的橫坐標為x1(x1>0)，過點A作拋物線C的切線l1交x軸于點D，交y軸于點Q，交直線l：y＝eq\f(p,2)于點M，當|FD|＝2時，∠AFD＝60°.(1)求證：△AFQ為等腰三角形，并求拋物線C的方程；(2)假設(shè)B位于y軸左側(cè)的拋物線C上，過點B作拋物線C的切線l2交直線l1于點P，交直線l于點N，求△PMN面積的最小值，并求取到最小值時的