應(yīng)力應(yīng)變曲線

1/1應(yīng)力應(yīng)變曲線應(yīng)力-應(yīng)變曲線

MA02139，劍橋

麻省理工學院

材料科學與工程系

DavidRoylance

2001年8月23日

引言

應(yīng)力-應(yīng)變曲線是描述材料力學性能的極其重要的圖形。所有學習材料力學的學生將經(jīng)

常接觸這些曲線。這些曲線也有某些細微的差別，特別對試驗時會產(chǎn)生顯著的幾何變形的塑

性材料。在本模塊中，將對表明應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征的幾個點作簡略討論，使讀者對材料力

學性能的某些方面有初步的總體了解。本模塊中不準備縱述“現(xiàn)代工程材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲

線”這一廣闊的領(lǐng)域，相關(guān)內(nèi)容可參閱

當以應(yīng)變eε為自變量、應(yīng)力eσ為函數(shù)繪制圖形時，就得到如圖2所示的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲

線。

圖2退火的多晶體銅在小應(yīng)變區(qū)的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線

（在許多塑性金屬中，這一曲線具有典型性）

在應(yīng)力-應(yīng)變曲線的初始部分（小應(yīng)變階段），作為合理的近似，許多材料都服從胡克定

律。于是應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)即彈性模量或楊氏模量，記作E:

隨著應(yīng)變的增大，許多材料的應(yīng)力與應(yīng)變最終都偏離了線性的比例關(guān)系，該偏離點稱為

比例極限。這種非線性通常與試樣中由應(yīng)力引起的“塑性”流動有關(guān)。在此階段，材料內(nèi)部

的分子或微觀結(jié)構(gòu)重新排列或調(diào)整，原子移動到新的平衡位置。材料呈現(xiàn)塑性的機理是分子

的活動性，對晶體材料，分子的活動性可由位錯運動引起（在隨后的模塊中將深入討論）。

若材料內(nèi)部的分子缺少這種活動性，例如其內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)會阻礙位錯運動，則這種材料通常

是脆性而不是塑性的。脆性材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，在其整個變形范圍內(nèi)都近似為直線，最

后試驗因斷裂而終止，沒有明顯的塑性流動現(xiàn)象。

在圖2中可見，塑性材料的應(yīng)變超過比例極限后，要使應(yīng)變再增加，所需的應(yīng)力必須在

超出比例極限后繼續(xù)增加，這一現(xiàn)象稱為應(yīng)變硬化。

這些與塑性流動相關(guān)的微觀結(jié)構(gòu)重新調(diào)整通常在卸載后并不能逆轉(zhuǎn)，因此比例極限往往

就是材料的彈性極限，或者至少兩者很接近。彈性是指在卸除載荷后、材料完全并立即從強

制的變形狀態(tài)恢復(fù)原形的性能，彈性極限是指這樣的應(yīng)力值：當材料達到此應(yīng)力值后，卸載

后仍將保留永久的殘余變形。要確定由給定應(yīng)力引起的殘余變形，可從該應(yīng)力在應(yīng)力-應(yīng)變

曲線上達到的最高點，向應(yīng)變軸畫一條卸載直線，此直線的斜率與初始彈性加載直線的斜率

相同，直線與應(yīng)變軸的交點對應(yīng)的應(yīng)變值即殘余應(yīng)變值。產(chǎn)生殘余變形的原因是：材料卸載

后彈性變形雖然消失，但已沒有外力強迫分子結(jié)構(gòu)恢復(fù)其初始位置。

與應(yīng)力-應(yīng)變曲線密切相關(guān)的術(shù)語是屈服應(yīng)力，在這些模塊中記作Yσ。屈服應(yīng)力是試樣

產(chǎn)生塑性變形所需的應(yīng)力。因為往往很難精確確定開始產(chǎn)生塑性變形時的應(yīng)力值，故通常取

產(chǎn)生特定量的永久應(yīng)變時（通常為0.2%）的應(yīng)力為屈服應(yīng)力。求“條件屈服應(yīng)力”的作圖

過程如圖2所示：從應(yīng)變軸=eε0.2%處作斜率為E的直線，這就是會引起特定的永久變形的

卸載線。此直線與應(yīng)力-應(yīng)變曲線交點處的應(yīng)力即條件屈服應(yīng)力。

圖3所示為銅的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線，已按比例放大，該圖顯示了變形從零開始直至試樣

斷裂的全過程。由圖可見，在到達標為UTS（即拉伸強度極限，在這些模塊中記為fσ）的

點之前，應(yīng)變硬化率2

逐漸減少。過了此點后，材料出現(xiàn)應(yīng)變軟化，對新加的應(yīng)變的每一增

量只需較小的應(yīng)力。

圖3退火的多晶體銅完整的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線

然而，材料從應(yīng)變硬化到應(yīng)變軟化這一明顯的改變，如同在應(yīng)力-應(yīng)變曲線的UTS點看

到的應(yīng)力極值一樣，畢竟是人為的作圖過程的產(chǎn)物。材料在屈服點以后，分子的流動使試樣

的橫截面面積顯著減小,因此材料實際承受的應(yīng)力AAPt/=σ要大于按原始的橫截面面積

計算的工程應(yīng)力(0/APe=σ)。所加載荷應(yīng)等于真實應(yīng)力與實際面積的乘積（APtσ=），

只要應(yīng)變硬化引起的tσ的增大足以彌補橫截面面積的減小，則載荷及相應(yīng)的工程應(yīng)力將

繼續(xù)隨著應(yīng)變的增大而上升。但最終，由流動造成的橫截面面積的減小要超過由應(yīng)變硬化導(dǎo)

致的真實應(yīng)力的增大，于是載荷開始下跌。這是一種幾何效應(yīng)，如果試驗時畫出的是真實應(yīng)

力、而不是工程應(yīng)力的話，應(yīng)力-應(yīng)變曲線中將不出現(xiàn)最大值。

A在拉伸強度極限處，載荷P的微分為零，由此可給出在頸縮時真實應(yīng)力與橫截面面積

之間的解析關(guān)系式：

最后的式子表明：當橫截面面積的縮減率等于真實應(yīng)力的增加率時，載荷及相應(yīng)的工

程應(yīng)力作為應(yīng)變的函數(shù)，都將達到最大值。

在拉伸試驗的實驗報告中，記錄得最多的材料性能可能就是拉伸強度極限。盡管如此，

由于上述幾何尺寸的影響，拉伸強度極限并非對材料的直接測量值,應(yīng)當慎用。當設(shè)計涉及

塑性金屬時，通常寧愿用屈服應(yīng)力Yσ，而不用拉伸強度極限。不過，拉伸強度極限對脆性

材料而言還是有效的設(shè)計依據(jù)，因為脆性材料不會出現(xiàn)因流動而使橫截面面積縮減的現(xiàn)象。2應(yīng)變硬化率是應(yīng)力-應(yīng)變曲線的斜率，也稱為切線模量。

真實應(yīng)力值在整個試樣上并不是完全相同的，試樣上總有一些區(qū)域（如表面上的劃痕

或某些其他缺陷）的局部應(yīng)力最大。一旦應(yīng)力達到工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的最大值時，在該

部位材料的局部流動無法由進一步的應(yīng)變硬化來彌補，于是該處的橫截面面積進一步縮小。

這使局部應(yīng)力變得更大，從而進一步加速了材料的流動。這種局部的不斷增加的材料流動很

快導(dǎo)致在試樣標距內(nèi)的“頸縮”，如圖4所示。

圖4拉伸試樣的頸縮

直到頸縮形成，整個試樣的變形基本上是均勻的，但在頸縮后，所有隨后的變形都在

頸縮處發(fā)生。頸縮處變得越來越小，局部真實應(yīng)力不斷地增大，直到試樣被拉斷。這就是大

部分塑性金屬的失效模式。當頸部收縮時，頸部變化的幾何形狀使該處的單軸應(yīng)力狀態(tài)變成

復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)——除正應(yīng)力外，還有切應(yīng)力分量。試樣最終常以錐杯狀的斷口斷裂，如

圖5所示。由圖可見，材料的外層是剪切破壞，而內(nèi)部是拉伸破壞。當試樣斷裂時，斷裂點

的工程應(yīng)變（記作fε）將把頸縮區(qū)和非頸縮區(qū)的變形包括在一起。由于材料在頸縮區(qū)的真

實應(yīng)變大于非頸縮區(qū)，fε值將取決于頸縮區(qū)的長度與試樣標距的比值。所以，fε不僅是材

料性能的函數(shù)，而且是試樣幾何形狀的函數(shù)，因而它只是對材料塑性的粗略測量值。

圖5塑性金屬的錐杯狀斷裂

圖6所示為半晶質(zhì)的熱塑性塑料的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線，這種材料的響應(yīng)與圖3所示銅

的響應(yīng)很相似。在圖3中，響應(yīng)顯示了比例極限，隨后在曲線的應(yīng)力最大值處發(fā)生頸縮現(xiàn)象。

對塑料，通常稱此應(yīng)力的最大值為屈服應(yīng)力，雖然塑性流動實際上在達到此應(yīng)變前就已開始

了。

但聚合物和銅的響應(yīng)也有顯著區(qū)別：聚合物的頸部不會持續(xù)收縮到試樣被拉斷，而是頸

縮區(qū)的材料被拉長，直至達到“固有伸長比3”（固有伸長比是溫度和試樣加工工藝的函數(shù)）。

超過固有伸長比后，頸縮處的材料停止伸長，靠近頸縮處的新材料開始頸縮。于是頸縮區(qū)域

不斷擴展變長，直至蔓延到試樣的整個標距，這一過程稱為冷拉。當拉伸由“六原子小基團”

組成的聚乙烯時,不用試驗機就可看到這一過程，如圖7所示。

3固有伸長比是冷拉區(qū)的長度與同一材料原始長度之比?！g者注

并非所有聚合物都能持續(xù)這一冷拉過程。頸縮過程使材料的微觀結(jié)構(gòu)強化，當其破壞載

荷大于使頸縮區(qū)外圍未變形材料發(fā)生頸縮所需的載荷時，才會出現(xiàn)冷拉現(xiàn)象。下文將對此作

進一步的討論。

圖6聚酰胺（尼龍）熱塑性塑料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖7聚乙烯材料的頸縮和冷拉

“真實”的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

正如上節(jié)所述，超過彈性極限后，由于試樣的尺寸與其原始值相比已有明顯的改變，對

這部分的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線必須謹慎地加以詮釋。使用真實應(yīng)力APt/=σ、而不是工程

應(yīng)力0/APe=σ，可以更直接地度量材料在塑性流動范圍內(nèi)的響應(yīng)。與真實應(yīng)力相對應(yīng)的

常用的應(yīng)變度量方法，則是取應(yīng)變的增量為位移的增量除以當前的長度：

dLL

通常稱此為“真實”應(yīng)變或“對數(shù)”應(yīng)變。

在屈服及隨后的塑性流動期間，材料流動引起的體積改變可忽略不計，因為長度增加的

影響被橫截面面積的減小抵消了。在頸縮前，應(yīng)變沿整個試樣長度仍舊是相同的，體積不變

的約束條件可寫成：

比值稱為伸長比，記作0/LLλ。應(yīng)用這些關(guān)系式，容易導(dǎo)出拉應(yīng)力和拉應(yīng)變的真實值與工

程測量值之間的關(guān)系（見習題2）：

在應(yīng)變達到開始頸縮的值之前，應(yīng)用這些方程，可從工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線導(dǎo)出真實的應(yīng)力-

應(yīng)變曲線。圖8重畫了圖3，并增添了按上述方程算得的真實的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，以供對照。

圖8銅的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線與真實的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的比較。箭頭

指出了工程曲線上的UTS（拉伸強度極限）在“真實”曲線上的位置。

發(fā)生頸縮后，應(yīng)變在試樣的標距內(nèi)是不均勻的，這時再對更大的工程應(yīng)變值計算真實的

應(yīng)力-應(yīng)變曲線就沒有多大意義了。但若在整個拉伸試驗過程中，都對頸縮處的橫截面面積進行監(jiān)控，則可畫出完整的真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線。因為由對數(shù)應(yīng)變可得

圖9用冪律表示銅的塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

對塑性材料，其真實的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系?？捎煤唵蔚膬缏申P(guān)系來描述，如下式所示：

根據(jù)圖8所示的關(guān)系，用雙對數(shù)坐標畫出銅的真實應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)4，如圖9所示。圖中，參數(shù)

=0.474稱為應(yīng)變硬化參數(shù),通常作為材料抗頸縮能力的度量。塑性材料在室溫下的n值大

致為0.02到0.5。

n“康西特萊（Considere）作圖法”利用真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線的形狀來量化不同材料在頸

縮和冷拉過程中的差別。該法以真實應(yīng)力tσ為縱坐標、伸長比0/LL=λ為橫坐標，重新畫

出拉伸時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。在此λσ?t曲線上找到真實應(yīng)力為任意值tσ的點，過此點和坐

標原點（原點處0=λ，不是1=λ）作割線，由式（6）可知，與tσ相對應(yīng)的工程應(yīng)力e

σ即此割線的斜率。

圖10康西特萊作圖法：（a）真實的應(yīng)力-應(yīng)變曲線沒有過原點的切線——無頸縮或冷拉過程；（b）有一條過原點的切線——有頸縮而

無冷拉過程；（c）有兩條過原點的切線——有頸縮和冷拉過程。

在真實的應(yīng)力-應(yīng)變曲線假設(shè)的許多可能形狀中，考慮圖10所示的向上凹、向下凹和S

形這三種情況。其區(qū)別在于過原點的割線與曲線的切點數(shù)，由此產(chǎn)生下述的屈服特性：

（a）無切點：曲線始終向上凹，如圖10（a）所示，因此割線的斜率不斷地增大，工程應(yīng)力

也隨之上升，不出現(xiàn)屈服引起的下降階段。最終材料斷裂，因此真實的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

具有這種形狀時，表明材料在屈服前就已斷裂。

（b）只有一個切點：曲線向下凹，如圖10（b）所示。割線在Yλλ=處與曲線相切，因此

割線的斜率（即工程應(yīng)力）在切點處開始下降。切點對應(yīng)的工程應(yīng)力就是屈服應(yīng)力Yσ，

它在常規(guī)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線中被看作應(yīng)力的最大值；Yλ就是屈服時的伸長比。屈服過程

在試樣標距內(nèi)的某個隨機位置處開始，并在該位置處持續(xù)，不會在其他位置處又出現(xiàn)屈

服現(xiàn)象，因為在第一個位置處，割線的斜率已經(jīng)下降了。試樣現(xiàn)在就在這唯一的位置處

流動，抵抗變形的能力不斷減弱，最終導(dǎo)致破壞。諸如鋁之類的塑性材料就是以此方式

失效的，且可看到在屈服位置的橫截面面積明顯縮小和最終的斷裂。

（c）有兩個切點：對于圖10（c）所示的S形應(yīng)力-應(yīng)變曲線，工程應(yīng)力在伸長比為Yλ時開

4此處tε用的百分數(shù)應(yīng)變（如應(yīng)變?yōu)?.05，則百分數(shù)為5——譯者注），與用實際應(yīng)變值的情況相比，n值相

同，但A值不同。

始下降，但隨后在dλ時又重新上升。與上述一個切點的情況類似，當Yλλ=時，某一

處的材料開始屈服并產(chǎn)生頸縮，頸縮反過來使試樣標距內(nèi)的應(yīng)變分布不均勻。當頸縮處

的材料延伸至dλ時，要繼續(xù)延伸，必須增大該處的工程應(yīng)力。但此應(yīng)力要大于把頸縮

區(qū)邊緣的材料從Yλ拉伸至dλ時所需的應(yīng)力，因此已在頸縮區(qū)的材料停止延伸，頸縮從

初始的屈服處向外擴展。擴展時，僅鄰近頸縮區(qū)的材料延伸，頸縮區(qū)內(nèi)部的材料保持不

變的dλ值（即材料的固有伸長比），頸縮區(qū)外部的材料保持不變的Yλ值。當所有材料

都被拉伸為頸縮區(qū)后，試樣內(nèi)的應(yīng)力開始均勻地增大，直至最終發(fā)生斷裂。

在半結(jié)晶聚合物內(nèi)，冷拉過程之所以能持續(xù)進行，是因為材料微觀結(jié)構(gòu)的顯著變化使應(yīng)

變硬化率不斷增加。最初，這些材料的球晶中，平的薄晶片（厚度多半為10納米（nm）左

右）在球形范圍內(nèi)呈向外放射狀排列。當產(chǎn)生的應(yīng)變增加時，球晶首先沿應(yīng)變方向變形。當

應(yīng)變進一步增大時，球晶破裂，薄晶片的斷片重新排列，分子優(yōu)先沿拉伸軸的方向取向，形

成纖維狀的微觀結(jié)構(gòu)。強勁的共價鍵優(yōu)先沿承受載荷的方向排成直線，材料的強度和剛度明

顯高于（可能會提高一個量級）原來的材料。對于這種微觀結(jié)構(gòu)，增加應(yīng)變需要高得多的應(yīng)

變硬化率，這使真實的應(yīng)力-應(yīng)變曲線出現(xiàn)上升趨勢并形成第二個切點。

應(yīng)變能

單位體積的材料變形到某應(yīng)變值時，所消耗的總機械能就是工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線下從零

到該應(yīng)變值范圍內(nèi)的面積。容易證明其值如下式所示：

在分子未發(fā)生滑移和其它能量耗散時，此機械能作為應(yīng)變能可逆地儲存在材料內(nèi)。當應(yīng)

力足夠低、材料的變形仍在彈性范圍內(nèi)時，單位體積的應(yīng)變能（以下簡稱應(yīng)變能密度）就是

圖11所示的三角形面積：

圖11應(yīng)變能密度等于應(yīng)力-應(yīng)變曲線下的面積

注意：應(yīng)變能密度的增加與應(yīng)力或應(yīng)變成二次方的關(guān)系，即隨著應(yīng)變的增加，由給定的

應(yīng)變增量儲存的應(yīng)變能密度的增量是應(yīng)變的二次方倍。由此可得出很重要的結(jié)論，比如一把

好弓不應(yīng)只是一塊彎木而已。真正的弓最初應(yīng)是直的，裝上弦后才變彎，這就在弓內(nèi)儲存了

大量應(yīng)變能。當向后拉箭時，弓進一步彎曲，這與僅把弓加工成彎曲形狀、無需真正彎弓射

箭的情況相比，射箭時的能量要大得多。

圖12的示意圖表明，若在兩個不同的原有應(yīng)變值上，再加上兩個相同的應(yīng)變增量ε?，則將產(chǎn)生不同的應(yīng)變能密度的增量。

應(yīng)力-應(yīng)變曲線下從零到屈服點的面積稱為回彈模量；從零到斷裂點的總面積稱為韌性

2

3

模量，如圖13所示。用術(shù)語“模量”是因為單位體積應(yīng)變能的單位為N-m/m或N/m，與應(yīng)力或彈性模量的單位相同。術(shù)語“回彈”隱含下列概念：直到屈服點以前，應(yīng)力對材料的影響可以消除，卸載后材料將恢復(fù)原形。但是一旦應(yīng)變超過屈服點的應(yīng)變值，則材料的變形是不可逆的，即使卸載后仍會保留一些殘余變形。因而回彈模量反映了材料在不損傷的條件下吸收能量的多少。與此類似，韌性模量是使材料完全斷裂所需要的能量。抗沖擊能力強

的材料通常韌性模量值大。

圖12與應(yīng)變增量對應(yīng)的應(yīng)變能密度的增量

不同材料吸收能量的性能

表1

圖13回彈模量和韌性模量

表15列出了一些常見材料的能量吸收值。由表可見，對天然材料和聚合物材料，單位重量所吸收的能量值可以非常高。

5J.E.Gordon,結(jié)構(gòu)，為何建筑物不再倒塌（Structures,orWhyThingsDon’tFallDown）,Plenum,NewYork,1978.

在加載時，應(yīng)力-應(yīng)變曲線下的面積是材料單位體積吸收的應(yīng)變能。反過來，卸載曲線

下的面積則是材料單位體積釋放的應(yīng)變能。在彈性范圍內(nèi)，這兩塊面積相等，材料不吸收任

何能量。但是，如果材料加載后進入如圖14所示的塑性區(qū)域，則材料吸收的能量將超過釋

放的能量，兩者之差將以熱能的形式耗散。

圖14能量損失等于應(yīng)力-應(yīng)變回線包圍的面積

壓縮

盡管前面的討論主要只涉及簡單拉伸，即只涉及使原子間間距增大的單軸方向加載。但

只要載荷足夠?。☉?yīng)力小于比例極限），對許多材料而言，當試樣受壓而非受拉時，上述的各個關(guān)系式同樣能很好地適用。例如，變形和給定載荷間的關(guān)系式AEPL=δ完全可像拉

伸時一樣地應(yīng)用，不過δ和P要取負值、以表示受壓。而且，拉伸和壓縮時的彈性模量E可

以足夠精確地取同一個值，應(yīng)力-應(yīng)變曲線也只需簡單地將直線延伸到第三象限即可，如圖

15所示。

圖15拉伸和壓縮時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

壓縮時的應(yīng)力-應(yīng)變試驗有一些實際困難。如果在拉伸試驗中，誤加了一個極大的載荷

（可能是對試驗機的設(shè)置錯誤），就算試樣被拉斷了，也必定可用新試樣重做實驗。但在壓

縮時，失誤很易損壞載荷傳感器和其他敏感的零部件，因為即使試樣破壞后，載荷也未必卸

除。

若試樣所受的載荷周期性地在拉、壓之間變化，而且載荷大到足以產(chǎn)生塑性流動的程

度（應(yīng)力大于屈服應(yīng)力），則應(yīng)力-應(yīng)變曲線中將出現(xiàn)滯后環(huán)。圖16中環(huán)包圍的面積就是在

每個加載周期中，單位體積的材料以熱能形式釋放出來的應(yīng)變能。眾所周知，將一根鐵絲前

后彎曲，鐵絲的塑性彎曲區(qū)就會變得相當熱。試樣升高的溫度與產(chǎn)生內(nèi)熱的多少、材料內(nèi)部

的熱傳導(dǎo)率和試樣表面的熱對流速率有關(guān)。

圖16滯后環(huán)