熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理河南教育學(xué)院物理系第1頁(yè)第1頁(yè)本章主要內(nèi)容常見約束條件下系統(tǒng)平衡叛據(jù)均勻開系熱力學(xué)基本方程單元系復(fù)相平衡條件和平衡性質(zhì)臨界點(diǎn)和氣液兩相轉(zhuǎn)變相變分類第三章單元系相變

在生產(chǎn)、生活和科學(xué)試驗(yàn)中，經(jīng)常碰到物質(zhì)發(fā)生形態(tài)改變情況，經(jīng)常需要控制物質(zhì)形態(tài)轉(zhuǎn)變方向，研究平衡性質(zhì)。假如掌握了各種詳細(xì)情況平衡條件實(shí)現(xiàn)上述控制就有了指導(dǎo)。本章主要學(xué)習(xí)應(yīng)用熱力學(xué)平衡判據(jù)導(dǎo)出相平衡條件。

第2頁(yè)第2頁(yè)§3.1

熱動(dòng)平衡判據(jù)

為了導(dǎo)出系統(tǒng)相變平衡條件，作為基礎(chǔ)本節(jié)先分析各種過(guò)程達(dá)到平衡態(tài)判椐。

一、常見約束條件下系統(tǒng)平衡判據(jù)

1．孤立系熵判據(jù)

在孤立系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生任何過(guò)程，系統(tǒng)熵永不減少，假如孤立系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到了熵為極大狀態(tài)，就不也許再發(fā)生任何宏觀改變，系統(tǒng)就達(dá)到了平衡態(tài)。利用熵函數(shù)這一性質(zhì)鑒定孤立系統(tǒng)平衡態(tài)。稱為熵判據(jù)。

那么，用什么詳細(xì)辦法判斷一個(gè)孤立系熵是否最大呢？

孤立系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)必要和充足條件為

對(duì)任意虛變動(dòng)

ΔS0其中利用S=0能夠得到平衡條件，利用2S0能夠得到平衡穩(wěn)定性條件。

第3頁(yè)第3頁(yè)§3.1熱動(dòng)平衡判據(jù)

熵判據(jù)是基本平衡判據(jù)。但是在實(shí)際應(yīng)用上，經(jīng)常碰到物理約束條件引入其它判據(jù)更為以便。

2．等溫等容系統(tǒng)自由能判據(jù)

在等溫等容條件下，系統(tǒng)發(fā)生任何過(guò)程自由能永不增長(zhǎng).假如等溫等容系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到自由能為極小狀態(tài)，系統(tǒng)就達(dá)到了平衡態(tài)。依據(jù)自由能這一性質(zhì)判斷等溫等容系統(tǒng)平衡態(tài)性質(zhì)，稱為自由能判據(jù)。

等溫等容系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)必要和充足條件為，對(duì)任意虛變動(dòng)有?F>0。其中利用δF=0能夠得到平衡條件，利用δ2F>0能夠得到平衡穩(wěn)定性條件。第4頁(yè)第4頁(yè)§3.1熱動(dòng)平衡判據(jù)

3．等溫等壓系統(tǒng)吉布斯函數(shù)判據(jù)

在等溫等壓條件下，系統(tǒng)發(fā)生任何過(guò)程吉布斯函數(shù)永不增長(zhǎng)。假如等溫等壓系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到吉布斯函數(shù)為極小狀態(tài)，系統(tǒng)就達(dá)到了平衡態(tài)。依據(jù)吉布斯這一性質(zhì)判斷等溫等壓系統(tǒng)平衡態(tài)性質(zhì)，稱為吉布斯函數(shù)判據(jù)。

等溫等壓系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)必要和充足條件為對(duì)任意虛變動(dòng)?G>0。

其中利用δG=0能夠得到平衡條件，利用δ2G>0能夠得到平衡穩(wěn)定性條件。第5頁(yè)第5頁(yè)§3.1熱動(dòng)平衡判據(jù)

二、孤立系平衡詳細(xì)條件作為熱動(dòng)平衡判據(jù)應(yīng)用，下面討論孤立均勻系統(tǒng)熱動(dòng)平衡條件和平衡穩(wěn)定性條件。1．系統(tǒng)平衡條件熱動(dòng)平衡：T=T0

力學(xué)平衡：p=p0

意味著，達(dá)到平衡時(shí)整個(gè)系統(tǒng)溫度和壓強(qiáng)是均勻。2．平衡穩(wěn)定條件第6頁(yè)第6頁(yè)§3.1熱動(dòng)平衡判據(jù)

平衡穩(wěn)定條件含義

假設(shè)子系統(tǒng)溫度由于漲落或某種外界影響而略高于媒質(zhì)，熱量將從子系統(tǒng)傳遞到媒質(zhì)。依據(jù)熱平衡穩(wěn)定條件CV>0，熱量傳遞將使子系統(tǒng)溫度減少，從而使系統(tǒng)恢復(fù)平衡。假設(shè)子系統(tǒng)體積由于某種原因發(fā)生收縮，依據(jù)平衡穩(wěn)定條件，子系統(tǒng)壓強(qiáng)將略高于媒質(zhì)壓強(qiáng)，于是子系統(tǒng)膨脹而恢復(fù)平衡。這就是說(shuō)，假如平衡穩(wěn)定性條件得到滿足，當(dāng)系統(tǒng)對(duì)平衡發(fā)生某種偏離時(shí)，系統(tǒng)將自發(fā)產(chǎn)生相應(yīng)過(guò)程，以恢復(fù)系統(tǒng)平衡。第7頁(yè)第7頁(yè)§3.1熱動(dòng)平衡判據(jù)分析：仿照熵判據(jù)得出，為了判斷在給定約束條件下系統(tǒng)平衡狀態(tài)特點(diǎn)，設(shè)想系統(tǒng)在約束條件下發(fā)生各種也許變動(dòng)。由于不存在自發(fā)可逆變動(dòng)，能夠依據(jù)熱力學(xué)第二定律，結(jié)合約束條件分析過(guò)程特點(diǎn)，判斷約束條件下穩(wěn)定平衡態(tài)特點(diǎn)。例題：書本140頁(yè)3.1證實(shí)下列平衡叛據(jù)（假設(shè)S>0）（1）在S、V不變情形下，平衡態(tài)U最??；解：

（1）設(shè)想系統(tǒng)在S、V不變條件下發(fā)生各種也許變動(dòng)，由熱力學(xué)第二定律

δU<TδS+?W對(duì)S、V不變，有：δS=0，?W=0因此，δU<0。即在S，V不變情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)U最小

第8頁(yè)第8頁(yè)§3.1熱動(dòng)平衡判據(jù)解：設(shè)想在F、V不變條件下發(fā)生各種也許變動(dòng)，由熱力學(xué)第二定律

δU<TδS+?W，結(jié)合F=U–TS有F–ST+?W對(duì)F、V不變情形下，F(xiàn)=0，?W=0因此，T0，即在F，V不變情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)T最小

（4）在F、V不變情形下，平衡態(tài)T最?。唬?）在F、T不變情形下，平衡態(tài)V最小。解：設(shè)想在F、T不變條件下發(fā)生各種也許變動(dòng)，由熱力學(xué)第二定律

δU<TδS+?W，結(jié)合F=U–TS有F–ST+?W對(duì)F、T不變情形下，F(xiàn)=0，T=0因此，?W>0，即在F，T不變情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)V最小

第9頁(yè)第9頁(yè)§3.2

開系熱力學(xué)基本方程一、幾種概念

組元（簡(jiǎn)稱元）：

熱力學(xué)系統(tǒng)中一個(gè)化學(xué)組分。

單元系：

系統(tǒng)僅由一個(gè)化學(xué)組分構(gòu)成。

多元系：

系統(tǒng)由若干種化學(xué)組分構(gòu)成。

相：

系統(tǒng)中每一個(gè)物理性質(zhì)均勻部分。

單相系：

只有一個(gè)相系統(tǒng)。即均勻系.

復(fù)相系：

幾種物理性質(zhì)均勻部分共存系統(tǒng)。

例：冰、水、水蒸氣共存構(gòu)成單元三相系。

第10頁(yè)第10頁(yè)§3.2

開系熱力學(xué)基本方程1．復(fù)相系各相物質(zhì)量都有也許改變，每個(gè)相是一個(gè)均勻開系。描述每個(gè)相狀態(tài)參量是這個(gè)相T、V、p中任意兩個(gè)和摩爾數(shù)；2．整個(gè)復(fù)相系要處于平衡，邊界相鄰各相必須滿足一定平衡條件，各相狀態(tài)參量不都獨(dú)立。結(jié)論：復(fù)相系每個(gè)相都用相應(yīng)狀態(tài)參量描述，但要考慮相平衡條件影響。

二、復(fù)相系和單相系在狀態(tài)描述上區(qū)別

第11頁(yè)第11頁(yè)上式第三項(xiàng)代表由于物質(zhì)量改變引起吉布斯函數(shù)改變。

§3.2

開系熱力學(xué)基本方程三、單元均勻開系熱力學(xué)基本等式

先考慮吉布斯函數(shù)

1．化學(xué)勢(shì)

系統(tǒng)物質(zhì)量不變(閉系)時(shí)，吉布斯函數(shù)全微分式為

吉布斯函數(shù)是廣延量，當(dāng)系統(tǒng)物質(zhì)量改變時(shí)，系統(tǒng)是一個(gè)開系，物質(zhì)摩爾數(shù)n也為狀態(tài)參量，n改變將影響G取值，對(duì)于開系將上式推廣為

在溫度和壓強(qiáng)保持不變條件下，增長(zhǎng)1mol物質(zhì)時(shí)吉布斯函數(shù)增量。

第12頁(yè)第12頁(yè)§3.2

開系熱力學(xué)基本方程吉布斯函數(shù)是廣延量，有

化學(xué)勢(shì)等于摩爾吉布斯函數(shù)。這個(gè)結(jié)論適合用于單元系。對(duì)于含有多元系統(tǒng)，其化學(xué)勢(shì)將在第四章討論。

化學(xué)勢(shì)微分式闡明，G是以T、p、n為獨(dú)立變量特性函數(shù)，假如已知G(T，p，n)，熵、體積、化學(xué)勢(shì)能夠通過(guò)下列偏導(dǎo)數(shù)分別求得

第13頁(yè)第13頁(yè)§3.2

開系熱力學(xué)基本方程2．單元均勻開系熱力學(xué)基本方程

上面已建立了吉布斯函數(shù)全微分

dG=–SdT+Vdp+dn依據(jù)G=U–TS+pV，容易得到，內(nèi)能全微分

這是單元均勻開系熱力學(xué)基本方程。對(duì)單元均勻開系，U是以S、V、n為自然變量特性函數(shù)。

類似，還能夠得到

H是以S、p、n為獨(dú)立變量特性函數(shù)；F是以T、V、n為獨(dú)立變量特性函數(shù).

第14頁(yè)第14頁(yè)§3.2

開系熱力學(xué)基本方程3．巨熱力學(xué)勢(shì)J

定義J=F–μn

稱為巨熱力勢(shì)

其全微分為

J是以T、V、為獨(dú)立變量特性函數(shù)

由J定義，巨熱力勢(shì)J也可表為

第15頁(yè)第15頁(yè)§3.2

開系熱力學(xué)基本方程例題：書本141頁(yè)3.4（1）對(duì)單元均勻開系，證實(shí)：分析，單元均勻開系以T、V、n為變量特性函數(shù)是F，待要證實(shí)等式中偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系能夠從這里得到。證實(shí)：均勻開系熱力學(xué)基本等式為

dU=TdS–pdV+dn而，F(xiàn)=U–TS+pV因此，dF=–SdT–pdV+dn從數(shù)學(xué)知識(shí)看

因此

依據(jù)混合二階偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)，有

第16頁(yè)第16頁(yè)學(xué)會(huì)推導(dǎo)呀§3.3

單元系復(fù)相平衡條件

本節(jié)以單元兩相系為例，討論單元復(fù)相系達(dá)到平衡所要滿足條件

一、單元系復(fù)相平衡條件

考慮一個(gè)單元兩相系構(gòu)成復(fù)合孤立系，兩相用、表示。孤立系統(tǒng)總內(nèi)能、總體積、物質(zhì)總量是守恒設(shè)想系統(tǒng)發(fā)生一個(gè)虛變動(dòng)，孤立條件要求

利用孤立系平衡熵判據(jù)：孤立系平衡時(shí)δS=0單元系復(fù)相平衡條件為

熱平衡：T=T，力學(xué)平衡：p=p

相變平衡：=

第17頁(yè)第17頁(yè)§3.3

單元系復(fù)相平衡條件二、復(fù)相平衡條件意義

如平衡條件未滿足，復(fù)相系將發(fā)生改變，改變朝熵增長(zhǎng)方向進(jìn)行。如熱平衡條件未滿足，改變將朝著方向進(jìn)行，比如T>T，復(fù)相系將朝U<0方向進(jìn)行。即能量將從高溫相傳遞到低溫相去。

在熱平衡條件滿足條件下，假如力學(xué)條件未能滿足，改變將朝著方向進(jìn)行，比如當(dāng)p>p時(shí)，改變將朝著V>0方向進(jìn)行，即壓強(qiáng)大相膨脹，壓強(qiáng)小相將被壓縮。假如相平衡條件未能滿足，改變將朝著方向進(jìn)行，比如當(dāng)>時(shí)，改變將朝著n<0方向進(jìn)行，即物質(zhì)將由化學(xué)勢(shì)高相轉(zhuǎn)移到化學(xué)勢(shì)低相去。這是將稱為化學(xué)勢(shì)原因。第18頁(yè)第18頁(yè)§3.4單元復(fù)相系平衡性質(zhì)

一、相圖

用溫度和壓強(qiáng)作為直角坐標(biāo)能夠畫出單元系各相單獨(dú)存在溫度和壓強(qiáng)改變范圍及相與相共存時(shí)溫度和壓強(qiáng)改變所在曲線。稱為相圖。

液固氣升華曲線汽化曲線溶解曲線臨界點(diǎn)CPT單相區(qū)域：三條曲線將相平面分為三個(gè)區(qū)域，分別是固相、液相和氣相所在溫度和壓強(qiáng)范圍，在各自區(qū)域內(nèi)，溫度和壓強(qiáng)能夠單獨(dú)改變。

汽化線、溶解線、升華線、三相點(diǎn)第19頁(yè)第19頁(yè)§3.4單元復(fù)相系平衡性質(zhì)

二、氣—液兩相轉(zhuǎn)變過(guò)程

pTC5?4?p0T021系統(tǒng)從狀態(tài)1出發(fā)，假如維持溫度不變，緩慢地增長(zhǎng)外界壓強(qiáng)，系統(tǒng)沿1—2改變。在系統(tǒng)到達(dá)狀態(tài)2時(shí)，假如繼續(xù)有增長(zhǎng)壓強(qiáng)趨勢(shì)，系統(tǒng)只是由氣體轉(zhuǎn)化為液體（凝結(jié)），放出熱量，系統(tǒng)壓強(qiáng)并不增長(zhǎng)，在狀態(tài)2，氣、液兩相平衡共存。假如系統(tǒng)放出熱量及時(shí)被外界吸取，物質(zhì)將不斷地由氣相轉(zhuǎn)變?yōu)橐合?，直到所有液化。物質(zhì)所有液化后，假如仍等溫加壓，系統(tǒng)壓強(qiáng)將相應(yīng)增大，狀態(tài)沿2—3改變。3第20頁(yè)第20頁(yè)§3.4單元復(fù)相系平衡性質(zhì)

三、熱力學(xué)理論對(duì)單元系相圖解釋

1．單相區(qū)域

各相化學(xué)勢(shì)是其溫度和壓強(qiáng)確實(shí)定函數(shù)。決定相單相存在T、p范圍公式為2．兩相平衡曲線

兩相平衡條件為

在平衡曲線上，溫度和壓強(qiáng)兩個(gè)參量中只有一個(gè)能夠獨(dú)立改變。

i為其它相

在一定溫度和壓強(qiáng)下，系統(tǒng)平衡狀態(tài)是其吉布斯函數(shù)最小狀態(tài)。第21頁(yè)第21頁(yè)§3.4單元復(fù)相系平衡性質(zhì)在平衡曲線上兩相化學(xué)勢(shì)相等，兩相以任意百分比共存，整個(gè)系統(tǒng)吉布斯函數(shù)都是相等，這是中性平衡例子。當(dāng)系統(tǒng)緩慢地從外界吸取或向外界放出熱量時(shí)，物質(zhì)將由一相轉(zhuǎn)變到另一相而始終保持在平衡態(tài)，稱為平衡相變。

單元系三相共存時(shí)滿足條件

3．三相點(diǎn)

三相點(diǎn)溫度和壓強(qiáng)由上式擬定。

第22頁(yè)第22頁(yè)§3.4單元復(fù)相系平衡性質(zhì)四、相平衡曲線斜率所滿足方程—克拉珀龍方程依據(jù)熱力學(xué)理論能夠求出兩相平衡曲線斜率。

PTT，pT+dT，P+dp(T,p)=(T,p)(T+dT,p+dp)=(T+dT,p+dp)則d=d而

d=–SmdT+Vmdp因此第23頁(yè)第23頁(yè)§3.4單元復(fù)相系平衡性質(zhì)以L表示1mol物質(zhì)由α相轉(zhuǎn)變到β相時(shí)所吸取熱量。稱為相變潛熱。

由于相變時(shí)系統(tǒng)溫度不變

克拉珀龍方程給出兩相平衡曲線斜率，克拉珀龍方程與試驗(yàn)符合較好，為熱力學(xué)正確性提供了一個(gè)直接試驗(yàn)證據(jù)。

當(dāng)物質(zhì)發(fā)生溶解、蒸發(fā)和升華時(shí)，通常比體積增大，且相變潛熱是正，平衡曲線斜率dp/dT通常是正，一些情況下，溶解曲線含有負(fù)斜率。

第24頁(yè)第24頁(yè)§3.4單元復(fù)相系平衡性質(zhì)下面用克拉珀龍方程推導(dǎo)蒸氣壓方程

與凝聚相達(dá)到平衡蒸氣稱為飽和蒸氣描述飽和蒸氣壓與溫度關(guān)系方程稱為飽和蒸氣壓方程用表示凝聚相，表示氣相，在克拉珀龍方程中忽略凝聚相體積，并把氣相看作抱負(fù)氣體假如更進(jìn)一步地近似認(rèn)為相變潛熱與溫度無(wú)關(guān)（這個(gè)近似是十分粗糙），積分得

第25頁(yè)第25頁(yè)§3.5

臨界點(diǎn)和氣液兩相轉(zhuǎn)變

一

、p—v圖上等溫曲線特點(diǎn)

1869年安住斯用試驗(yàn)得到二氧化碳在高溫下等溫線，顯示有下列特點(diǎn)

（1）在臨界溫度31.1°C以上，等溫線形狀與玻意耳定律給出雙曲線近似，是氣相等溫線；

（2）在臨界溫度下列，等溫線包括三段；左邊一段表示液相，右邊一段表示氣相，中間一段是壓強(qiáng)和溫度都一定狀態(tài)，表示液氣平衡共存狀態(tài)。直線中體積為v一點(diǎn)液相百分比為x

。v=xv1+(1–x)vgpv13.121.531.1第26頁(yè)第26頁(yè)§3.5

臨界點(diǎn)和氣液兩相轉(zhuǎn)變（4）在溫度為Tc等溫線上，p<pC時(shí)，物質(zhì)處于氣相，p>pC時(shí)，物質(zhì)處于液氣不分狀態(tài)。在溫度高于Tc時(shí)，無(wú)論處于多大壓強(qiáng)下，物質(zhì)都處于氣態(tài)，液態(tài)不也許存在。

(5)臨界等溫線在臨界點(diǎn)切線是水平

（3）等溫線中水平段隨溫度升高而縮短。闡明液、氣兩相比容，隨溫度升高而靠近。當(dāng)溫度達(dá)到某一極限溫度時(shí)，水平段左右端重疊，這時(shí)兩相比體積相等，兩相其它差別也不再存在，物質(zhì)處于液、氣不分狀態(tài)。這一極限溫度就是臨界溫度Tc，相應(yīng)壓強(qiáng)是臨界壓強(qiáng)pc。

第27頁(yè)第27頁(yè)§3.5

臨界點(diǎn)和氣液兩相轉(zhuǎn)變二、用范氏方程討論液、氣相變

1mol物質(zhì)范氏方程為

范氏方程等溫線如圖，與實(shí)際觀測(cè)等溫線很像

pVmC（1）在T>TC時(shí)，范氏等溫線與實(shí)際氣體等溫線一致；

（2）在T<TC時(shí)，范氏等溫線與實(shí)際氣體等溫線在氣液轉(zhuǎn)換部分有顯著不同；范氏等溫線在p1<p<p2范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)于一個(gè)p值有三個(gè)可能Vm值。在JDN段，因?yàn)?，這些狀態(tài)不能實(shí)現(xiàn)。pVmp1p2pARMNABJDKOVm1Vm2第28頁(yè)第28頁(yè)§3.5

臨界點(diǎn)和氣液兩相轉(zhuǎn)變下面依據(jù)一定溫度和一定壓強(qiáng)下吉布斯函數(shù)最小要求，討論在p1<p<p2范圍內(nèi)，在給定T、p下什么狀態(tài)是穩(wěn)定平衡態(tài)。

OKABMNJRpAp1p2pμ化學(xué)勢(shì)全微分d=–SmdT+Vmdp等溫線上壓強(qiáng)為p、p0兩狀態(tài)化學(xué)勢(shì)之差為

μ隨p改變?nèi)鐖D

A=B決定了A、B在等溫線上位置。在p1<p<p2范圍內(nèi)，相應(yīng)于一個(gè)p值有三個(gè)也許μ值，這與上圖情況相應(yīng)。

pVmp1p2pARMNABJDKOVm1Vm2第29頁(yè)第29頁(yè)§3.5

臨界點(diǎn)和氣液兩相轉(zhuǎn)變?cè)趐1<p<p2范圍內(nèi)，KB段上各點(diǎn)代表狀態(tài)化學(xué)勢(shì)比DJ和JA段小，AM各點(diǎn)代表狀態(tài)化學(xué)勢(shì)比ND和BN段小，依據(jù)吉布斯函數(shù)判據(jù)，OKB和AMR段上各點(diǎn)代表系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)。

在B點(diǎn)物質(zhì)所有處于氣態(tài)，在A點(diǎn)物質(zhì)所有處于液態(tài)，A=B，正是在這一溫度和這兩點(diǎn)相應(yīng)壓強(qiáng)下氣液兩相相變平衡條件，這相稱于積分即：面積（BND）=面積(DJA)OKABMNJRpAp1p2pμ第30頁(yè)第30頁(yè)§3.5

臨界點(diǎn)和氣液兩相轉(zhuǎn)變即：A、B兩點(diǎn)在等溫線上位置可用上式擬定，稱為麥克斯韋等面積法。依據(jù)這一辦法將范氏氣體等溫線中BNDJA段換為直線BA就與實(shí)測(cè)等溫線相符了。

前面指出：JDN上狀態(tài)不滿足平衡穩(wěn)定性要求，從上述分析看，在這段上吉布斯函數(shù)最大，這些狀態(tài)不能實(shí)現(xiàn)。線段BN和AJ上狀態(tài)，滿足平衡穩(wěn)定性要求，其吉布斯函數(shù)也較小，其中靠近B點(diǎn)和A點(diǎn)一段，在試驗(yàn)上是能夠觀測(cè)到，它們分別相應(yīng)于過(guò)飽和蒸氣和過(guò)熱液體.

過(guò)飽和蒸氣和過(guò)熱液體屬于亞穩(wěn)平衡態(tài)

pVmp1p2pARMNABJDKOVm1Vm2pv第31頁(yè)第31頁(yè)§3.5

臨界點(diǎn)和氣液兩相轉(zhuǎn)變（3）臨界點(diǎn)擬定在等溫線壓強(qiáng)極大點(diǎn)N有

在等溫線壓強(qiáng)極小點(diǎn)J有

在臨界點(diǎn)，NJ重疊形成拐點(diǎn)C，有

將范氏方程代入，得到

考慮范氏方程，得到臨界點(diǎn)溫度、壓強(qiáng)和摩爾體積為

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臨界點(diǎn)和氣液兩相轉(zhuǎn)變例題：將范氏氣體不同溫度下等溫線極大點(diǎn)N與極小點(diǎn)J聯(lián)起來(lái)，能夠得到一條曲線NCJ，如圖所表示（此處v為氣體摩爾體積），試證實(shí)這條曲線方程為pv3=a(v–2b)并說(shuō)明這條曲線劃分出來(lái)三個(gè)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ含義。證實(shí)：

由范氏方程

該方程極大點(diǎn)和極小點(diǎn)都滿足

將范氏方程代入上式

pvCⅠⅡⅢ因此Ⅰ為過(guò)熱液體區(qū)；Ⅱ?yàn)椴荒軐?shí)現(xiàn)狀態(tài)區(qū)；Ⅲ為過(guò)飽和蒸氣區(qū)

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