高等數(shù)學(xué)電子教案同濟復(fù)變函數(shù)2第4章

§4羅朗(Laurent)級數(shù)1.預(yù)備知識

2.雙邊冪級數(shù)

3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)

4.展開式的唯一性由§2知,f(z)在z-z0<R內(nèi)解析，則在該圓域內(nèi),f(z)可展開成z-z0的冪級數(shù)。若f(z)在z0點不解析，但在圓環(huán)域R1<z-z0<R2

內(nèi)解析，那么，f(z)能否用級數(shù)表示呢？先看一個例子(P127):例如，內(nèi)容簡介由此推想，若f(z)在R

1<z-z0<R2

內(nèi)解析,f(z)可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負(fù)冪次項,即本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。1.預(yù)備知識Cauchy積分公式的推廣到復(fù)連通域---見第三章第18題Dz0R1R2rRk1k2D1z2.雙邊冪級數(shù)---含有正負(fù)冪項的級數(shù)定義形如---雙邊冪級數(shù)正冪項(包括常數(shù)項)部分：負(fù)冪項部分：級數(shù)(2)是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2即，級數(shù)在z-z0=R2內(nèi)收斂，且和為s(z)+;在z-z0=R2外發(fā)散。

z0R1R2z0R2R1

(2)在圓環(huán)域z-z0<R1,

z-z0<R2的邊界上,3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)定理證明由復(fù)連通域上的Cauchy

積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2式(*1),(*2)中系數(shù)cn的積分分別是在k2，k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞z0的簡單閉曲線c，由復(fù)合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：證畢！級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。

(2)在許多實際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點

z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級數(shù)，那么就利用洛朗（Laurent）級數(shù)來展開。4.展開式的唯一性結(jié)論一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù)。事實上，Dz0R1R2cDz0R1R2c

由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)，可用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式，只有在個別情況下，才直接采用公式(5')求Laurent系數(shù)的方法。例1解例2解例3解例4xyo12xyo12xyo12