知識(shí)點(diǎn)13一元二次方程的代數(shù)應(yīng)用2022

第一批一、選擇題10．（2022·衡陽）國(guó)家實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路，某地區(qū)2022年底有貧困人口9萬人，通過社會(huì)各界的努力，2022年底貧困人口減少至1萬人.設(shè)2022年底至2022年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意列方程得（）A.9（1－2x）＝1B.9（1－x）2＝1C.9（1＋2x）＝1D.9（1＋x）2＝1【答案】B．【解析】此問題的基本關(guān)系式是：基數(shù)×（1±提高率或下降率）＝目標(biāo)數(shù)．8．（2022·安徽）據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，2022年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為萬億，比2022年增長(zhǎng)%.假設(shè)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長(zhǎng)率保持不變，則國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬的年份為（）A.2022年B.2022年C.2022年D.2022年【答案】B【解析】由題意可知2022年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為×(1＋%)＝(萬億)，2022年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為×(1＋%)2≈(萬億)＞100(萬億)，故國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值在2022年首次突破100萬億.故選B.1.（2022·達(dá)州）某公司今年4月的營(yíng)業(yè)額為2500萬元，按計(jì)劃第2季度的總營(yíng)業(yè)額要達(dá)到9100萬元，設(shè)該公司5，6兩月的營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（）A.B.C.D.2500+【答案】D【解析】第二季度的總營(yíng)業(yè)額應(yīng)該是三個(gè)月營(yíng)業(yè)額之和，應(yīng)該是，故選D.三、解答題1.（2022·重慶A卷）某文明小區(qū)50平方米和80平方米兩種戶型的住宅，50平方米住宅套數(shù)是80平方米住宅套數(shù)的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取當(dāng)月物管費(fèi)，該小區(qū)全部住宅都人住且每戶均按時(shí)全額繳納物管費(fèi)．（1）該小區(qū)每月可收取物管費(fèi)90000元，問該小區(qū)共有多少套80平方米的住宅？（2）為建設(shè)“資源節(jié)約型社會(huì)”，該小區(qū)物管公司5月初推出活動(dòng)一：“垃圾分類送禮物”，50平方米和80平方米的住戶分別有40%和20%參加了此次括動(dòng)．為提高大家的積扱性，6月份準(zhǔn)備把活動(dòng)一升級(jí)為活動(dòng)二：“拉圾分類抵扣物管費(fèi)”，同時(shí)終止活動(dòng)一．經(jīng)調(diào)査與測(cè)算，參加活動(dòng)一的住戶會(huì)全部參加活動(dòng)二，參加活動(dòng)二的住戶會(huì)大幅增加，這樣，6月份參加活動(dòng)的50平方米的總戶數(shù)在5月份參加活動(dòng)的同戶型戶數(shù)的基礎(chǔ)上將增加，每戶物管費(fèi)將會(huì)減少；6月份參加活動(dòng)的80平方米的總戶數(shù)在5月份參加活動(dòng)的同戶型戶數(shù)的基礎(chǔ)上將增加，每戶物管費(fèi)將會(huì)減少．這樣，參加活動(dòng)的這部分住戶6月份總共繳納的物管費(fèi)比他們按原方式共繳納的物管費(fèi)將減少，求的值．【解析】（1）根據(jù)“50平方米的物管費(fèi)＋80平方米的物管費(fèi)＝90000元”，列一元一次方程即可解答；（2）根據(jù)5、6兩月參加兩種活動(dòng)的戶數(shù)及減少的每平米的物管費(fèi)，可列表如下：6月份參加活動(dòng)二的戶數(shù)及繳物管費(fèi)統(tǒng)計(jì)表戶數(shù)每戶實(shí)繳物管50m2500×40%×(1＋2a%)100(1－a%)80m2250×20%×(1＋6a%)160(1－a%)再根據(jù)“參加活動(dòng)的這部分住戶6月份總共繳納的物管費(fèi)比他們按原方式共繳納的物管費(fèi)將減少”列一元二次方程即可解答．解：（1）設(shè)80平方米的住宅有x套，則50平方米的住宅有2x套，根據(jù)題意，得2x?100＋160x＝90000，解得x＝250．答：80平方米的住宅有250套．（2）根據(jù)題意，得200(1＋2a%)?100(1－a%)＋50(1＋6a%)?160(1－a%)＝[200(1＋2a%)?100＋50(1＋6a%)?160]?(1－a%)令m＝a%，原方程可化為20000(1＋2m)(1－＋8000(1＋6m)(1－m)＝[20000(1＋2m)＋8000(1＋6m)]((1－m)，整理，得m2－m＝0，解得m1＝，m2＝0（不合題意，舍去）．∴a%＝50%，故a的值為50．2.（2022重慶市B卷，24，10）某菜市場(chǎng)有平方米和4平方米兩種攤位，平方米的攤位數(shù)是4平方米攤位數(shù)的2倍.管理單位每月底按每平方米20元收取當(dāng)月管理費(fèi).該菜市場(chǎng)全部攤位都有商戶經(jīng)營(yíng)且各攤位均按時(shí)全額繳管理費(fèi).(1〕菜市場(chǎng)毎月可收取管理費(fèi)4500元，求該菜市場(chǎng)共有多少個(gè)4平方米的攤位?(2)為推進(jìn)環(huán)保袋的使用，管理單位在5月份推出活動(dòng)一:“使用環(huán)保袋送禮物”，平方米和4平方米兩種攤位的商戶分別有40％和20％參加了此項(xiàng)活動(dòng).為提高大家使用環(huán)保袋的積極性，6月份準(zhǔn)備把活動(dòng)一升級(jí)為活動(dòng)二:“使用環(huán)保袋抵扣管理費(fèi)”，同時(shí)終止活動(dòng)一，經(jīng)調(diào)查與測(cè)算，參加活動(dòng)一的商戶會(huì)全部參加活動(dòng)二，參加活動(dòng)二的商戶會(huì)顯著增加，這樣，6月份參加活動(dòng)二的平方米攤位的總個(gè)數(shù)將在5月份參加活動(dòng)一的同面積個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上增加2a％，每個(gè)位的管理費(fèi)將會(huì)減少；6月份參加活動(dòng)二的4平方米攤位的總個(gè)數(shù)將在5月份參加活動(dòng)一的同面積個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上增加6a％，每個(gè)推位的管理費(fèi)將會(huì)減少，這樣，參加活動(dòng)二的這部分商戶6月份總共繳納的管理費(fèi)比他們按原方式共繳納的管理費(fèi)將減少，求a的值.【思路分析】（1）利用題目中所給出來的已知條件，先設(shè)4平方米的攤位有x個(gè)，則用含x的代數(shù)式來表達(dá)出平方米的攤位個(gè)數(shù)，然后利用平方米的攤位個(gè)數(shù)×每個(gè)攤位的管理費(fèi)+4平方米的攤位個(gè)數(shù)×每個(gè)攤位的管理費(fèi)=可收取的總共的管理費(fèi)這個(gè)等量關(guān)系，就可以列出方程進(jìn)行求解。（2）根據(jù)題目中的已知條件，就可以計(jì)算出來5月份參加活動(dòng)兩種攤位個(gè)數(shù)，然后再根據(jù)已知條件中6月份的攤位個(gè)數(shù)的增加百分比和管理費(fèi)用減少的百分比，就可以列出6月份兩種攤位的總管理費(fèi)，而這個(gè)管理費(fèi)還可以用第二種表示方法，就是按原方式共繳納的管理費(fèi)×減少后的百分比，就可以找到等量關(guān)系，列出方程，進(jìn)而求得a的值.【解題過程】解：（1）設(shè)該菜市場(chǎng)共有x個(gè)4平方米的攤位,則有2x個(gè)平方米的攤位.根據(jù)題意的：20（4x+2x·）=4500解得：x=25.答：設(shè)該菜市場(chǎng)共有25個(gè)4平方米的攤位（2）設(shè)4平方米的數(shù)量為y，則平方米的數(shù)量為2y，由題意可得:（2y×40%）（1+2a%）（×20）（1-a%）+（y×20%）（1+6a%）（4×20）（1-a%）=[（2y×40%）（1+2a%）（×20）+（y×20%）（1+6a%）（4×20）]（1-a%）解得：:a1=50.a2=0（舍去）.答：a的值為50.23．（2022·長(zhǎng)沙）（9分）近日，長(zhǎng)沙市教育局出臺(tái)《長(zhǎng)沙市中小學(xué)教師志愿輔導(dǎo)工作實(shí)施意見》鼓勵(lì)教師與志愿輔導(dǎo)，某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線上線下免費(fèi)輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生2萬人次，第三批公益課受益學(xué)生萬人次．（1）如果第二批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率；（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到多少萬人次？【解題過程】（1）設(shè)增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，得:2（1+x）2=，解得x1=（舍去），x2==10%．答：增長(zhǎng)率為10%；（2）（1+）=（萬人）．答：第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到萬人次．3.（2022四川攀枝花，21，8分）攀枝花得天獨(dú)厚，氣候宜人，農(nóng)產(chǎn)品資源極為豐富，其中晚熟芒果遠(yuǎn)銷北上廣等大城市．某水果店購(gòu)進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)晚熟芒果，進(jìn)價(jià)為10元/千克，售價(jià)不低于15元/千克，且不超過40元/每千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該芒果在一天內(nèi)的銷售量y（千克）與該天的售價(jià)x（元/千克）之間的數(shù)量滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系．銷售量y（千克）…3538…售價(jià)x（元/千克）…2522…（1）某天這種芒果售價(jià)為28元/千克。求當(dāng)天該芒果的銷售量（2）設(shè)某天銷售這種芒果獲利m元，寫出m與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式．如果水果店該天獲利400元，那么這天芒果的售價(jià)為多少元？【思路分析】（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，運(yùn)用待定系數(shù)法先求得y與x的一次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)總利潤(rùn)＝銷售量×每千克的利潤(rùn)得出芒果獲利m與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式，由水果店該天獲利400元，得關(guān)于x的方程，解之，合理取值即可.【解題過程】解：（1）設(shè)該一次函數(shù)解析式為y＝kx＋b則解得∴y＝－x＋60（15≤x≤40）．∴當(dāng)x＝28時(shí)，y＝32．∴芒果售價(jià)為28元/千克時(shí)，當(dāng)天該芒果的銷售量為32千克．（2）由題易知m＝y(tǒng)(x－10)＝(－x＋60)(x－10)＝－x2＋70x－600當(dāng)m＝400時(shí)，則－x2＋70x－600＝400．整理,得x2－70x＋1000＝0．解得x1＝20，x2＝50．∵15≤x≤40,∴x＝20．所以這天芒果的售價(jià)為20元．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用；一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用第二批一、選擇題11.（2022·遵義）新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛，各種品牌相繼投放市場(chǎng)，我國(guó)新能源汽車近幾年銷售量全球第一，2022年銷售量為萬輛，銷量逐年增加，到2022年銷量為萬輛，設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,可列方程為（）(A)（1+x)2=(B)(1-x)2=(C)(1+2x)=(D)(1+x2)=【答案】A【解析】由題意知在2022年萬的基礎(chǔ)上，每年增長(zhǎng)x，則到2022年為（1+x)2，所以選A【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用二、填空題14.（2022·天水）中國(guó)“一帶一路”給沿線國(guó)家和地區(qū)帶來很大的經(jīng)濟(jì)效益，沿線某地區(qū)居民2022年人均年收入20000元，到2022年人均年收入達(dá)到39200元．則該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率為．（用百分?jǐn)?shù)表示）【答案】40%【解析】設(shè)該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率為x，20000（1+x）2＝39200，解得，x1＝，x2＝﹣（舍去），∴該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率為40%，故答案為：40%．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用三、解答題21.（2022·廣州)隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進(jìn)，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前廣東5G基站的數(shù)量約萬座，計(jì)劃到2022年底，全省5G基站數(shù)是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數(shù)量將達(dá)到萬座．（1）計(jì)劃到2022年底，全省5G基站的數(shù)量是多少萬座？（2）按照計(jì)劃，求2022年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率．【思路分析】（1）2022年全省5G基站的數(shù)量＝目前廣東5G基站的數(shù)量×4，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)2022年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2022年底及2022年底全省5G基站數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解題過程】解：（1）×4＝6（萬座）．答：計(jì)劃到2022年底，全省5G基站的數(shù)量是6萬座．（2）設(shè)2022年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意，得：6（1+x）2＝，解得：x1＝＝70%，x2＝﹣（舍去）．答：2022年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為70%．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用13.（2022·宜賓）某產(chǎn)品每件的生產(chǎn)成本為50元，原定銷售價(jià)65元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，從現(xiàn)在開始的第一季度銷售價(jià)格將下降，第二季度又將回升．若要使半年以后的銷售利潤(rùn)不變，設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為，根據(jù)題意可列方程是．【答案】【解析】設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為，依題意，得：．故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程及應(yīng)用20.（2022·南充）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，方程的根為，，求代數(shù)式的值．【思路分析】（1）根據(jù)△，解不等式即可；（2）將代入原方程可得：，計(jì)算兩根和與兩根積，化簡(jiǎn)所求式子，可得結(jié)論．【解題過程】解：（1）由題意△，，．（2）當(dāng)時(shí)，方程為，，，，，．【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式22.（2022·宜昌）HW公司2022年使用自主研發(fā)生產(chǎn)的“QL”系列甲、乙、丙三類芯片共2800萬塊，生產(chǎn)了2800萬部手機(jī)，其中乙類芯片的產(chǎn)量是甲類芯片的2倍，丙類芯片的產(chǎn)量比甲、乙兩類芯片產(chǎn)量的和還多400萬塊．這些“QL”芯片解決了該公司2022年生產(chǎn)的全部手機(jī)所需芯片的10%．（1）求2022年甲類芯片的產(chǎn)量；（2）HW公司計(jì)劃2022年生產(chǎn)的手機(jī)全部使用自主研發(fā)的“QL”系列芯片．從2022年起逐年擴(kuò)大“QL”芯片的產(chǎn)量，2022年、2022年這兩年，甲類芯片每年的產(chǎn)量都比前一年增長(zhǎng)一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)m%，乙類芯片的產(chǎn)量平均每年增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)比m%小1，丙類芯片的產(chǎn)量每年按相同的數(shù)量遞增.2022年到2022年，丙類芯片三年的總產(chǎn)量達(dá)到億塊．這樣，2022年的HW公司的手機(jī)產(chǎn)量比2022年全年的手機(jī)產(chǎn)量多10%，求丙類芯片2022年的產(chǎn)量及m的值．【思路分析】（1）設(shè)2022年甲類芯片的產(chǎn)量為x萬塊，由題意列出方程，解方程即可；（2）2022年萬塊丙類芯片的產(chǎn)量為3x+400＝1600萬塊，設(shè)丙類芯片的產(chǎn)量每年增加的熟練為y萬塊，則1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙類芯片2022年的產(chǎn)量為1600+2×3200＝8000萬塊，2022年HW公司手機(jī)產(chǎn)量為2800÷10%＝28000萬部，由題意得出400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），設(shè)m%＝t，化簡(jiǎn)得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t=-【解題過程】解：（1）設(shè)2022年甲類芯片的產(chǎn)量為x萬塊，由題意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400；答：2022年甲類芯片的產(chǎn)量為400萬塊；（2）2022年萬塊丙類芯片的產(chǎn)量為3x+400＝1600萬塊，設(shè)丙類芯片的產(chǎn)量每年增加的數(shù)量為y萬塊，則1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，∴丙類芯片2022年的產(chǎn)量為1600+2×3200＝8000萬塊，2022年HW公司手機(jī)產(chǎn)量為2800÷10%＝28000萬部，400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），設(shè)m%＝t，化簡(jiǎn)得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t=-∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；答：丙類芯片2022年的產(chǎn)量為8000萬塊，m＝400．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用第三批一、選擇題15．（2022·龍東地區(qū)）某校“研學(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支為x個(gè)，則有1+x+x2=43，解得x1=6，x2=-7（舍去），∴每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支為6個(gè)，故選C.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用9（2022·赤峰）某品牌手機(jī)三月份銷售400萬部，四月份、五月份銷售量連續(xù)增長(zhǎng)，五月份銷售量達(dá)到900萬部，求月平均增長(zhǎng)率．設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程為（）A．400（1+x2）＝900 B．400（1+2x）＝900 C．900（1﹣x）2＝400 D．400（1+x）2＝900【答案】D【解析】設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：400（1+x）2＝900．故選：D．【知識(shí)點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程7．（2022·新疆）在某籃球邀請(qǐng)賽中，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共比賽36場(chǎng)．設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為（） A． B． C．x(x－1)=36 D．x(x＋1)=36 答案：A解析：本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，則每個(gè)隊(duì)都要跟其余的(x－1)個(gè)隊(duì)進(jìn)行比賽，但兩個(gè)隊(duì)之間只比賽一場(chǎng)，故可列方程為：，因此本題選A．二、填空題三、解答題23.（2022·賀州）2022年，某貧困戶的家庭年人均純收入為2500元，通過政府產(chǎn)業(yè)扶持，發(fā)展了養(yǎng)殖業(yè)后，到2022年，家庭年人均純收入達(dá)到了3600元．（1）求該貧困戶2022年到2022年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率；（2）若年平均增長(zhǎng)率保持不變，2022·年該貧困戶的家庭年人均純收入是否能達(dá)到4200元？【解題過程】解：（1）設(shè)該貧困戶2022年到2022年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為，依題意，得：，解得：，（舍去）．答：該貧困戶2022年到2022年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為．（2）（元，．答：2022·年該貧困戶的家庭年人均純收入能達(dá)到4200元．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用23.(2022·東營(yíng))為加快新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某公司決定對(duì)近期研發(fā)出的一種電子產(chǎn)品進(jìn)行降價(jià)促銷，使生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能夠及時(shí)售出，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：這種電子產(chǎn)品銷售單價(jià)定為200元時(shí)，每天可售出300個(gè)；若銷售單價(jià)每降低1元，每天可多售出5個(gè)．已知每個(gè)電子產(chǎn)品的固定成本為100元，問這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，公司每天可獲利32000元？解析：本題考查了一元二次方程應(yīng)用中的營(yíng)銷問題.根據(jù)等量關(guān)系“利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷售量”列出每天的銷售利潤(rùn)與銷售單價(jià)的方程求解，求解結(jié)果符合題意即可．答案：解：設(shè)降價(jià)后的銷售單價(jià)為x元，根據(jù)題意得：x100005200x2000．整理得