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應(yīng)用探索例
(2019江蘇鹽城三模,20)某人承包了一塊矩形土地ABCD用來種植草
莓,其中AB=99m,AD=49.5m.現(xiàn)規(guī)劃建造如圖所示的半圓柱型塑料薄膜
大棚n(n∈N*)個,每個半圓柱型大棚的兩半圓形底面與側(cè)面都需蒙上塑料
薄膜(接頭處忽略不計),塑料薄膜的價格為每平方米10元;另外,還需在每
兩個大棚之間留下1m寬的空地用于建造排水溝與行走小路(如圖中EF=
1m),這部分的建設(shè)造價為每平方米31.4元.(1)當(dāng)n=20時,求蒙一個大棚所需塑料薄膜的面積;(結(jié)果保留π)(2)試確定大棚的個數(shù),使得上述兩項費用的和最低.(π取3.14)
解題導(dǎo)引(1)主要是求半個圓柱的側(cè)面積及兩個半圓的面積之和,先求
出每個半圓柱型大棚的底面半徑,再求每個半圓柱型大棚的表面積(不含
與地面接觸的面).(2)設(shè)每個半圓柱型大棚的底面半徑為rm,由已知條件知,n個半圓柱型大
棚間有(n-1)個1米寬的空地,分析出n,r之間的關(guān)系,即2nr+(n-1)×1=99,再把
r用n表示出來,將總建設(shè)造價均用n表示,求出費用關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系,再求
其取最小值時n的值.解析設(shè)每個半圓柱型大棚的底面半徑為rm.(1)當(dāng)n=20時,共有19個空地,所以r=
=2,所以每個大棚的表面積(不含與地面接觸的面)為πr2+πr·AD=π×22+2π×49.5=103π(m2).(2)設(shè)兩項費用的和為f(n)元.因為r=
=
,所以每個半圓柱型大棚的表面積(不含與地面接觸的面)S=πr2+πr·AD=π×
+π×49.5×
,則f(n)=10nS+31.4×1×49.5(n-1)=10n
+31.4×1×49.5(n-1)=31.4×
=
×
=
×
=
×
.因為
+n≥2
=20,所以,當(dāng)且僅當(dāng)
=n,即n=10時,
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