2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6章不等式、推理與證明6.6直接證明與間接證明模擬演練文

PAGEPAGE42022版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6章不等式、推理與證明6.6直接證明與間接證明模擬演練文[A級根底達(dá)標(biāo)](時間：40分鐘)1．[2022·綿陽周測]設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，那么以下關(guān)于t和s的大小關(guān)系中正確的選項(xiàng)是()A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s答案D解析s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t，選D項(xiàng)．2．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，假設(shè)x1＋x2>0，那么f(x1)＋f(x2)的值()A．恒為負(fù)值 B．恒等于零C．恒為正值 D．無法確定正負(fù)答案A解析由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，那么f(x1)＋f(x2)<0.3．[2022·東城模擬]在△ABC中，sinAsinC＜cosAcosC，那么△ABC一定是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定答案C解析由sinAsinC＜cosAcosC，得cosAcosC－sinAsinC＞0，即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是銳角，從而B＞eq\f(π,2)，故△ABC必是鈍角三角形．4．[2022·鄭州模擬]設(shè)x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，那么()A．P>Q B．P<QC．P≤Q D．P≥Q答案A解析因?yàn)?x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號成立)，而x>0，所以P>2；又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.應(yīng)選A.5．設(shè)x，y，z＞0，那么三個數(shù)eq\f(y,x)＋eq\f(y,z)，eq\f(z,x)＋eq\f(z,y)，eq\f(x,z)＋eq\f(x,y)()A．都大于2B．至少有一個大于2C．至少有一個不小于2D．至少有一個不大于2答案C解析因?yàn)閤＞0，y＞0，z＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(y,z)))＋eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1())eq\f(z,x)＋eq\f(z,y)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1())＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(x,y)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(x,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,z)＋\f(z,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(z,x)))≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時等號成立，那么三個數(shù)中至少有一個不小于2，應(yīng)選C.6．以下條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的條件的序號是________．答案①③④解析要使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，只需eq\f(b,a)>0且eq\f(a,b)>0成立，即a，b不為0且同號即可，故①③④都能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立．7．[2022·蘭州調(diào)研]a，b是不相等的正數(shù)，x＝eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq\r(a＋b)，那么x，y的大小關(guān)系是________．答案x＜y解析∵eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)(a≠b)?a＋b>2eq\r(ab)?2(a＋b)>a＋b＋2eq\r(ab)?a＋b>eq\f(\r(a)＋\r(b)2,2)?eq\r(a＋b)>eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，即x<y.8．點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，那么cn與cn＋1的大小關(guān)系為________．答案cn＋1＜cn解析由條件得cn＝an－bn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，∴cn隨n的增大而減小，∴cn＋1＜cn.9．[2022·唐山模擬]a＞0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＞1，求證：eq\r(1＋a)＞eq\f(1,\r(1－b)).證明由eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1及a>0可知0<b<1，要證eq\r(1＋a)>eq\f(1,\r(1－b))，只需證eq\r(1＋a)·eq\r(1－b)>1，只需證1＋a－b－ab>1，只需證a－b－ab>0，即eq\f(a－b,ab)>1，即eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1，這是條件，所以原不等式得證．10．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．解(1)由得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))那么d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，那么beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，所以(q2－pr)＋eq\r(2)(2q－p－r)＝0.因?yàn)閜，q，r∈N*，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，))所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))2＝pr，(p－r)2＝0.所以p＝r，這與p≠r矛盾，所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．[B級知能提升](時間：20分鐘)11．假設(shè)eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，那么以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是()A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<b2C．a(chǎn)＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|答案D解析∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴0>a>b.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|＋|b|＝|a＋b|.12．m>1，a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)，b大小不定答案B解析∵a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)＝eq\f(1,\r(m＋1)＋\r(m))，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)＝eq\f(1,\r(m)＋\r(m－1)).而eq\r(m＋1)＋eq\r(m)>eq\r(m)＋eq\r(m－1)>0(m>1)，∴eq\f(1,\r(m＋1)＋\r(m))<eq\f(1,\r(m)＋\r(m－1))，即a<b.13．[2022·邯鄲模擬]設(shè)a，b是兩個實(shí)數(shù)，給出以下條件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1〞的條件是________．(填序號)答案③解析假設(shè)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，那么a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；假設(shè)a＝b＝1，那么a＋b＝2，故②推不出；假設(shè)a＝－2，b＝－3，那么a2＋b2＞2，故④推不出；假設(shè)a＝－2，b＝－3，那么ab＞1，故⑤推不出；對于③，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，那么a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個大于1.14．a(chǎn)，b，m為非零實(shí)數(shù)，且a2＋b2＋2－m＝0，eq\f(1,a2)＋eq\f(4,b2)＋1－2m＝0.(1)求證：eq\f(1,a2)＋eq\f(4,b2)≥eq\f(9,a2＋b2)；(2)求證：m≥eq\f(7,2).證明(1)要證eq\f(1,a2)＋eq\f(4,b2)≥eq\f(9,a2＋b2)成立，只需證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(4,b2)))(a2＋b2)≥9，即證1＋4＋eq\f(b2,a2)＋eq\f(4a2,b2)≥9，只需證eq\f(b2,a2)＋eq\f(4a2,b2)≥4，根據(jù)根本不等式，有eq\f(b2,a2)＋eq\f(4a2,b2)≥2eq\r(\f(b2