2向量（定稿）-高中數(shù)學(xué)資料

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，秒殺數(shù)學(xué)。第二章向量②根據(jù)極化恒等式，可得推廣到空間，得到的結(jié)論就是：底面是矩形的四棱錐相對(duì)側(cè)棱長的平方和以及向量乘積均相等．【例1】（2015?四川預(yù)賽）在矩形中，，，為矩形所在平面上一點(diǎn)，滿足，，則.【解析】此題由于，.【例2】（2013?重慶卷）在平面內(nèi)，，，若，則的取值范圍是（）A． B. C. D.【解析】如圖在三角形OPA中M為AP中點(diǎn)，，又因?yàn)?，，即，即，即，選D.例2圖例3圖【例3】（2008?浙江卷）已知、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（）A．1 B．2 C． D．【解析】，由于，而與反向時(shí)，取得最大值，此時(shí).法二：輔助圓法，如圖，構(gòu)造，，，取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，，顯然在以為斜邊的圓上，故，根據(jù)幾何意義可知，四點(diǎn)共圓，故當(dāng)位于圖中時(shí)，.【例4】（2012?江西卷）在中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則等于（）A．2 B．4 C．5 D．10【解析】如圖，將補(bǔ)全成矩形，，故，選D.例4圖例5圖例6圖【例5】已知向量、、滿足，，，且，則的取值范圍是_.【解析】如圖所示，令，，，易知,則作矩形，根據(jù)矩形大法可知，即，根據(jù)，，即，.【例6】（2014?廣東卷）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)，為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】（1）依題意知，求得，，橢圓的方程為．（2）（常規(guī)解法）①當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時(shí)，即、兩點(diǎn)分別位于橢圓長軸與短軸的端點(diǎn)，的坐標(biāo)為，符合題意，②當(dāng)兩條切線斜率均存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)，的切線為，，，，整理得，，整理得，，．把點(diǎn)代入亦成立，點(diǎn)的軌跡方程為：．【秒殺解法】如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，分別交于，連接，，，根據(jù)中位線原理，，，四邊形為矩形，故點(diǎn)的軌跡方程為：．這道高考題的背景就是蒙日?qǐng)A.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)2·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22頁對(duì)畫法幾何的創(chuàng)始人蒙日(G.Monge，1745-1818)作了介紹.以上高考題第(2)問的一般情形是：曲線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡是圓.此結(jié)論中的圓就是蒙日?qǐng)A.同步達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1.（2018?漳州模擬）已知，，，則的取值范圍是（）A．， B． C． D．2.（2018?龍巖期中）已知向量滿足：，若，的最大值和最小值分別為，，則等于（）A． B． C． D．3.（2018?唐山二模）在中，，，點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．4.（2018?運(yùn)城市四模）已知，為單位向量，且，向量滿足，則的范圍為（）A．， B．， C． D．，5.（2018?三門峽期末）已知向量，滿足，，若，則的最小值是（）A． B． C． D．6.（2018?浙江三模）已知，向量滿足，則的最大值為．7.（2018?贛州期中）已知，且，若成立，則的取值范圍是．8.（2018?黔東南州二模）在平面上，，，．若，則的取值范圍是．9.（2018?寶山區(qū)二模）如圖，已知為矩形內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，，，則的值為．10.（2018?黔東南州二模）在平面上，，且，，．若，則的取值范圍是．11.（2018?天津南開區(qū)一模）在四邊形中，，，則的最小值為．12.（2016?重慶月考）已知向量，滿足，，．（1）求的值；（2）求的最大值．13.（2016?武漢模擬）已知橢圓的短軸長為2，離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），為橢圓上不同兩點(diǎn)，過，作橢圓切線交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的軌跡的方程；（3）若交于，交與，求△面積的最大值．14.（2017?濟(jì)南一模）設(shè)橢圓，定義橢圓的“伴隨圓”方程為；若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)短軸重合，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程和“伴隨圓”的方程；（2）過“伴隨圓”上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，延長與“伴隨圓”交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．①證明：；②若直線，的斜率存在，設(shè)其分別為，，試判斷是否為定值，若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說明理由．專題8對(duì)角線向量定理秒殺秘籍：對(duì)角線向量定理：在中，由余弦定理的向量式有；在中，同理有.所以在四邊形ABCD中，,即這就是對(duì)角線向量定理（斯坦納定理），它表明四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積可用四條邊的長度表示。推論1：當(dāng)時(shí)，有.式子②表明，當(dāng)對(duì)角線相互垂直時(shí)，四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等。推論2：cos需要說明的是，式子①②③既適用于平面向量也適用于空間向量一用對(duì)角線向量定理秒解平面向量題【例1】如圖，已知平面四邊形，，，CD=3，AC與BD交于點(diǎn)O，若記，，，則（）A． B． C． D．【解析】由對(duì)角線向量定理得，所以，而，所以選擇C.【例2】如圖，在圓O中，若弦，弦，則的值是（）－8 B．－1 C．1 D．8【解析】如圖所示，由對(duì)角向量定理得，，所以答案選D.【例3】如圖，在四邊形ABCD中，，若，，，則等于（）A． B． C． D．【解析】如圖所示，由對(duì)角線向量定理得=所以答案選A.二用對(duì)角線向量定理秒解線線角【例4】如圖所示，，是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，現(xiàn)將沿DE折起，使二面角為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則，的連線與AE所成的角的大小為（）例4圖例5圖例6圖【解析】連接EM、EN、AN，由題意有AM=EM，AN=EN，由對(duì)角線向量定理得，即，所以答案是90°.【例5】如圖，三棱錐A?BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是．【解析】容易求得AN=CM=，MN=，由推論2有.三用對(duì)角線向量定理妙解立幾翻折問題【例6】如圖在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF，在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D做DK⊥AB，K為垂足，設(shè)AK=t，則t的取值范圍是．【解析】根據(jù)推論1有：當(dāng)DK⊥AF時(shí)，，設(shè)，則，所以.【例7】已知矩形ABCD，AB=1，BC=，將沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中（）A．存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直B．存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直C．存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直D．對(duì)任意位置，三對(duì)直線AC與BD，AB與CD，AD與BC均不垂直【解析】在翻折過程中，只有的長度是變化的，且，由對(duì)角線向量定理有：，顯然與直線不垂直，而.當(dāng)AC=1時(shí)，直線AB與直線CD垂直，所以選擇B.【例8】如圖已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=,，沿直線AC將翻折成，直線AC與所成角的余弦值的最大值是．【解析】翻折后仍有.設(shè)直線AC與所成角為，由對(duì)角線向量定理的，當(dāng)且僅當(dāng)最小時(shí)，AC與所成角的余弦值最大.有,所以，在翻折過程中，的最小值為=2，即的最大值為.秒殺數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)交流群（758352643）王亮老師和老唐的爭論題【題目】已知AB為半圓的直徑，且，C、D在半圓上，則的最大值是（）A． B． C． D．【解析】,當(dāng)僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；關(guān)于此題的爭論，王亮老師認(rèn)為取等條件過去牽強(qiáng)，并且三個(gè)數(shù)乘積并非定值，所以此解答方法不嚴(yán)謹(jǐn).老唐給到的回復(fù)是：此題只有一個(gè)等式，就是,令三段弧分別對(duì)的圓心角為、、，當(dāng)圓心角相等，則弦相等，根據(jù)柯西不等式，此時(shí)取等條件是三段弧長相等，則對(duì)應(yīng)的弦長相等?；蛘呃们偕坏仁?，由于在區(qū)間上是凸函數(shù)，故有，故，再利用柯西不等式求出最小值，兩次的取等條件一致，故得出答案；老唐自認(rèn)為解釋也不是很嚴(yán)謹(jǐn)，但對(duì)于此選擇題，這樣也就可以了，能和王亮這樣大神級(jí)別的老師切磋是人生一大幸事！同步達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1．在中，AB=2，AC=3.若點(diǎn)P滿足，則．2．已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則．3．如圖P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，向量，且點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，向量，若，，則的值為（）A． B． C． D．4．如圖平面角為60°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，求的長．5．如圖，在菱形中，線段，的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．現(xiàn)將沿對(duì)角線翻折，則異面直線與所成角的取值范圍是（）A． B．C． D．6．如圖，在正四棱臺(tái)中，，，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．7．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．第6題第9題第10題第14題8．已知與均為正三角形，且．若平面ABC與平面垂直，且異面直線和所成角為，則（）A． B． C． D．9．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是（）A． B．1 C． D．210．如圖，已知在梯形中，，，，且梯形的面積等于8，則可取得的最大值為（）A．10 B．11 C．12 D．1511．在梯形中，，，，，則=（）A． B． C．2 D．512．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)是底面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A． B．1 C． D．13．在棱長為2的正四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，則=（）A．0 B． C．2 D．14．如圖，在長方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．15．如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于．已知，，，則的長為（）A． B．7 C． D．916．若等腰梯形中，，，，，則的值為．17．如圖，在平面四邊形中，，是等邊三角形，若=1，則的長為．18．如圖，在四邊形中，，，，是等邊三角形，則的值為．19．將邊長為1的正方形及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，，，其中與在平面的同側(cè)，則異面直線與所成角的大小是．第15題第17題第18題