2021屆數(shù)學大總復習課時作業(yè)57雙曲線含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2021屆高考數(shù)學人教B版大一輪總復習課時作業(yè)57雙曲線含解析課時作業(yè)57雙曲線一、選擇題1．已知雙曲線eq\f（x2,9)－eq\f（y2,4)＝1，則其焦距為（D)A。eq\r（5） B．2eq\r（5）C。eq\r（13) D．2eq\r(13)解析：由雙曲線方程知c2＝9＋4＝13，∴c＝eq\r(13)，∴焦距為2eq\r（13),故選D。2．(2019·北京卷)已知雙曲線eq\f(x2，a2）－y2＝1（a>0）的離心率是eq\r（5)，則a＝（D)A.eq\r（6) B．4C．2 D.eq\f(1，2)解析：解法1:由雙曲線方程可知b2＝1，所以c＝eq\r(a2＋b2）＝eq\r（a2＋1）,所以e＝eq\f（c，a）＝eq\f（\r(a2＋1），a）＝eq\r（5)，解得a＝eq\f(1，2),故選D.解法2：由e＝eq\r（5）,e2＝1＋eq\f（b2，a2）,b2＝1,得5＝1＋eq\f(1,a2)，得a＝eq\f（1，2)，故選D。3．已知雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m＋6）＝1（m〉0）的虛軸長是實軸長的2倍，則雙曲線的標準方程為（D）A。eq\f(x2,2）－eq\f（y2，4）＝1 B。eq\f(x2,4）－eq\f（y2,8)＝1C．x2－eq\f（y2，8）＝1 D。eq\f(x2，2）－eq\f（y2,8)＝1解析：由題意，得2eq\r(m）＝eq\r(m＋6)，解得m＝2，∴雙曲線的標準方程為eq\f（x2，2)－eq\f(y2,8）＝1，故選D.4．(2020·合肥市質量檢測)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2）＝1（a>0，b>0）的一條漸近線方程為y＝2x,且經(jīng)過點P(eq\r(6），4），則雙曲線的方程是(C)A。eq\f(x2，4)－eq\f（y2，32）＝1 B。eq\f（x2，3)－eq\f（y2，4）＝1C。eq\f（x2，2)－eq\f（y2，8）＝1 D．x2－eq\f（y2，4)＝1解析：因為雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，所以eq\f(b,a)＝2①.又雙曲線過點P（eq\r(6），4），所以eq\f（6，a2）－eq\f（16,b2)＝1②.①②聯(lián)立，解得a＝eq\r（2），b＝2eq\r(2)，所以雙曲線的方程為eq\f（x2,2）－eq\f（y2，8)＝1，故選C.5．已知定點F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0），N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點,點F1關于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，則點A．直線 B．圓C．橢圓 D．雙曲線解析：因為N為線段F1M的中點,O為線段F1F2的中點，所以|F2M｜＝2|ON｜＝2.因為P在線段F1M的中垂線上,所以|PF1|＝｜PM｜，所以｜｜PF1｜－｜PF2｜|＝｜F2M|＝2｜ON|＝2<|F6．(2019·全國卷Ⅲ)雙曲線C：eq\f（x2,4)－eq\f(y2，2）＝1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點．若|PO｜＝｜PF｜，則△PFO的面積為（A）A.eq\f（3\r（2),4) B。eq\f(3\r(2)，2）C．2eq\r（2) D．3eq\r（2）解析：不妨設點P在第一象限，根據(jù)題意可知c2＝6，所以|OF|＝eq\r(6).又tan∠POF＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r（2)，2），所以等腰三角形POF的高h＝eq\f（\r(6),2）×eq\f(\r（2)，2)＝eq\f（\r(3），2),所以S△PFO＝eq\f（1，2）×eq\r（6）×eq\f（\r(3),2)＝eq\f（3\r(2）,4).7．（2020·洛陽市第二次聯(lián)考)經(jīng)過點（2，1），且漸近線與圓x2＋（y－2)2＝1相切的雙曲線的標準方程為（A)A。eq\f（x2,\f（11，3))－eq\f(y2，11）＝1 B.eq\f（x2，2）－y2＝1C.eq\f（y2,\f(11，3））－eq\f（x2,11）＝1 D.eq\f（y2,11）－eq\f（x2，\f(11,3))＝1解析：設雙曲線的漸近線方程為y＝kx,即kx－y＝0，由漸近線與圓x2＋（y－2）2＝1相切可得圓心（0,2）到漸近線的距離等于半徑1，由點到直線的距離公式可得eq\f(|k×0－2｜，\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\r（3）.因為雙曲線經(jīng)過點（2,1)，所以雙曲線的焦點在x軸上，可設雙曲線的方程為eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1（a〉0,b〉0）,將點(2,1）代入可得eq\f（4，a2)－eq\f(1,b2）＝1，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（4，a2）－\f（1,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3）,))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＝\f（11,3）,，b2＝11,))故所求雙曲線的方程為eq\f（x2，\f（11,3））－eq\f(y2,11）＝1.故選A。8．已知雙曲線eq\f(x2，4）－eq\f（y2，2）＝1的右焦點為F,P為雙曲線左支上一點,點A（0,eq\r（2）），則△APF周長l的最小值為（B）A．4＋eq\r(2) B．4(1＋eq\r（2)）C．2(eq\r(2)＋eq\r(6）) D.eq\r（6）＋3eq\r(2）解析：設雙曲線的左焦點為F′.雙曲線的右焦點為F(eq\r（6）,0)，△APF的周長l＝|AF｜＋｜AP｜＋|PF｜＝｜AF｜＋|AP｜＋2a＋｜PF′|，要使△APF周長最小，只需|AP|＋|PF′｜最小，如圖，當A，P,F′三點共線時|AP|＋｜PF′|取得最小值，此時l＝2｜AF|＋2a＝4(1＋eq\r(2）)，故選B.9．（2019·天津卷)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l。若l與雙曲線eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2）＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于A和點B，且｜AB｜＝4|OF|(O為原點）,則雙曲線的離心率為（D）A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D。eq\r（5）解析:由題意，可得F（1,0）,直線l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b，a)x。將x＝－1代入y＝±eq\f(b，a)x，得y＝±eq\f（b,a)，所以點A，B的縱坐標的絕對值均為eq\f（b，a）.由|AB｜＝4｜OF|可得eq\f（2b,a）＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故雙曲線的離心率e＝eq\f（c,a）＝eq\r(\f(a2＋b2，a2)）＝eq\r（5).10．（2020·廣東省七校聯(lián)合體聯(lián)考)若雙曲線C：eq\f(x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1(a>0，b〉0)的中心為O，過C的右頂點A1和右焦點F分別作垂直于x軸的直線,交C的漸近線于A，B兩點和M，N兩點，若△OAB與△OMN的面積比為14，則C的漸近線方程為(B）A．y＝±x B．y＝±eq\r（3)xC．y＝±2x D．y＝±3x解析：如圖,因為AB∥MN,所以△OAB∽△OMN,又△OAB與△OMN的面積比為14,所以eq\f(｜OA1｜,｜OF｜)＝eq\f（a，c)＝eq\f（1,2),則a＝eq\f(1，2)c，所以b2＝c2－a2＝eq\f（3，4）c2，則b＝eq\f(\r（3)，2)c,所以雙曲線eq\f(x2,a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a〉0，b〉0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b，a）x＝±eq\f（\f(\r(3)，2）c，\f（1,2)c）＝±eq\r(3）x，故選B。11．已知雙曲線eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a〉0，b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，點A為雙曲線右支上一點，線段AF1交左支于點B，若AF2⊥BF2，且｜BF1|＝eq\f(1,3）｜AF2|，則該雙曲線的離心率為（B）A.eq\r(2) B。eq\f(\r（65），5)C。eq\f(3\r（5),5） D．3解析：設|AF2｜＝x，∵點A在雙曲線的右支上，∴｜AF1|＝2a＋x.∵｜BF1｜＝eq\f(|AF2｜，3），∴|BF1｜＝eq\f（x,3），∴｜AB|＝2a＋eq\f(2x，3).∵點B在雙曲線的左支上，∴|BF2｜＝2a＋eq\f(x，3）.∵AF2⊥BF2，∴(2a＋eq\f(2x,3)）2－(2a＋eq\f(x,3））2＝x2,化簡得x＝2a，∴|AF1｜＝4a,｜AB|＝eq\f(10，3）a，∴cos∠BAF2＝eq\f（3，5).在△AF1F2中，由余弦定理得｜AF1｜2＋｜AF2|2－2|AF1｜｜AF2｜cos∠BAF2＝|F1F2|2,即16a2＋4a2－2×4a×2a×eq\f（3，5）＝4c2，即13a2＝5c2,∴eq\f（c,a)＝eq\f(\r（65），5),∴雙曲線的離心率為eq\f（\r（65），5），故選B.12．（2020·貴陽市監(jiān)測考試)已知點F是雙曲線C：eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，b2）＝1(a〉0，b>0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（B)A．（1,2） B．（2，＋∞)C．（1，3］ D．［3,＋∞)解析：根據(jù)雙曲線的對稱性,可知∠AEF>eq\f(π，4）可使△ABE為鈍角三角形，即eq\f(b2,a）〉a＋c?b2>a2＋ac?c2〉2a2＋ac?e2－e－2>0(e〉1），所以e>2，選B。二、填空題13．(2019·江蘇卷）在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線x2－eq\f（y2，b2）＝1(b>0)經(jīng)過點(3，4),則該雙曲線的漸近線方程是y＝±eq\r（2）x..解析:因為雙曲線x2－eq\f（y2，b2)＝1（b〉0）經(jīng)過點(3，4)，所以9－eq\f(16,b2）＝1,得b＝eq\r（2)，所以該雙曲線的漸近線方程是y＝±bx＝±eq\r（2）x。14．（2020·石家莊檢測)已知雙曲線C：x2－4y2＝1，過點P(2,0）的直線l與C有唯一公共點,則直線l的方程為y＝±eq\f(1，2）（x－2)．解析：∵雙曲線C的方程為x2－4y2＝1，∴a＝1，b＝eq\f（1，2），∴漸近線方程為y＝±eq\f（1,2)x.∵P(2,0）在雙曲線內(nèi)部且直線l與雙曲線有唯一公共點,∴直線l與雙曲線的漸近線平行，∴直線l的斜率為±eq\f（1，2），∴直線l的方程為y＝±eq\f（1，2）(x－2）．15．(2020·昆明市診斷測試）已知點P(1，eq\r(3）)在雙曲線C：eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2)＝1（a〉0，b〉0）的漸近線上，F(xiàn)為C的右焦點,O為原點，若∠FPO＝90°，則C的方程為eq\f（x2,4）－eq\f(y2,12）＝1。解析：設雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a）x,由漸近線過點P(1,eq\r(3))，得eq\f（b，a）＝eq\r(3)，且|OP|＝2.焦點到漸近線的距離是b,即|PF|＝b,在Rt△OPF中,|OF｜2＝｜OP|2＋｜PF|2，即c2＝22＋b2.又c2＝a2＋b2，所以a＝2，b＝2eq\r(3)，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2，4)－eq\f(y2，12）＝1。16．(2020·濟南市質量評估)古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的著作《圓錐曲線論》中記截了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方法．如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的軸重合），已知兩個圓錐的底面半徑均為1，母線長均為2，記過圓錐軸的平面ABCD為平面α（α與兩個圓錐側面的交線為AC,BD),用平行于α的平面截圓錐，該平面與兩個圓錐側面的交線即雙曲線Γ的一部分,且雙曲線Γ的兩條漸近線分別平行于AC，BD，則雙曲線Γ的離心率為（A）A。eq\f（2\r(3）,3) B。eq\r(2）C.eq\r（3) D．2解析：設與平面α平行的平面為β，以AC，BD的交點在平面β內(nèi)的射影為坐標原點，兩圓錐的軸在平面β內(nèi)的射影為x軸，在平面β內(nèi)與x軸垂直的直線為y軸,建立平面直角坐標系．根據(jù)題意可設雙曲線Γ:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b〉0）．由題意可得雙曲線Γ的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3)，3)x，即eq\f(b，a）＝eq\f(\r（3)，3),所以離心率e＝eq\f(c，a）＝eq\r（1＋\f（b,a)2）＝eq\f（2\r（3），3）.17．(2020·濟南市模擬)已知一族雙曲線En：x2－y2＝eq\f（n,2019）(n∈N*，且n≤2019），設直線x＝2與En在第一象限內(nèi)的交點為An,點An在En的兩條漸近線上的射影分別為Bn,Cn。記△AnBnCn的面積為an，則a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝eq\f（505,2).解析：因為雙曲線的方程為x2－y2＝eq\f(n，2019)(n∈N*,且n≤2019)，所以其漸近線方程為y＝±x，設點An(2，yn)，則4－yeq\o\al(2，n)＝eq\f(n，2019)（n∈N＊,且n≤2019）．記An(2，yn）到兩條漸近線的距離分別為d1，d2，則S△AnBnCn＝eq\f(1,2）d1d2＝eq\f(1，2)×eq\f(｜2＋yn｜,\r(2)）×eq\f（|2－yn|，\r（2）)＝eq\f(|4－y\o\al（2,n)｜,4)＝eq\f（\f（n,2019),4)＝eq\f（n,4×2019)，故an＝eq\f(n，4×2019)，因此{an}為等差數(shù)列，故a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝eq\f(1,4×2019)×2019＋eq\f（1,4×2019）×eq\f（2019×2018，2)＝eq\f（505,2).18．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1(a〉0，b〉0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，漸近線方程是y＝±eq\f（2\r（5)，5)x，點A（0,b)，且△AF1F2的面積為6.（1）求雙曲線C的標準方程；(2）直線l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點P，Q，若｜AP｜＝|AQ｜，求實數(shù)m