20XX年全國高考新課標(biāo)2卷理科數(shù)學(xué)試題(解析版)

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注意事項(xiàng)：

2018年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課標(biāo)2

卷

理科數(shù)學(xué)

1．答卷前，考生務(wù)必將自個(gè)兒的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2．作答時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。12小題，每小題5分，共60分，、挑選題：本題共在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，惟獨(dú)一項(xiàng)是符合題目要求的。1+2i1．1-2i=()

4A．-

5-解析：選2．已知集合A．9解析：選A35i43B．-5+5i3C．-545iD

．

345+5iA={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，則A中元素的

個(gè)數(shù)為(B．8C．5咨詢題為確定圓面內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)x-xe-e2的圖像大致為()x)

D．4

3．函數(shù)f(x)=解析：選Bf(x)為奇函數(shù)，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=2-2

e-e

4>1,故選B4．已知向量A．4解析：選Ba，b滿腳|a|=1，a·b=-1，則B．2

a·(2a-b)=2a-a225．雙曲線ax2－y

b2＝1(a>0，b>0)的離心率為3b=2+1=3

a·(2a-b)=()C．23，則其漸近線方程為(D．

A．y=±2x解析：選Ae=3

B．y=±3xc2=3a2

b=2aC5cos=，BC=1，AC=5，則25B．30

2C6．在ΔABC中，A．4

2解析：選AcosC=2cos22-1=-

C．y=±AB=()C．29

D．

D．

25

y=±3

xy=±x

235AB2=AC2+BC2

-2AB·BC·cosC=32AB=42

1

11+99-100，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入()

解析：選Af(x)=2cos(x+π4),依據(jù)f(x)=cosx與f(x)=2cos(x+π4)的圖象關(guān)系知a11．已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿腳f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2?+f(50)=()A．-50B．0C．2D．50

解析：選C由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=-f(x),因此f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，

f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+?+f(50)=f(1)+f(2)=2

22xy12．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，ab線上，ΔPF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=1200，則C的離心率為

211A．3B．2C．

3解析：選DAP的方程為y=6（x+a）,∵ΔPF1F2為等腰三角形∴|F2P|=|F1F2|=2c,過P作PH⊥x軸，則∠

A．i=i+1

B解析：選B8．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界率先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)能夠表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23．在別超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)別同的數(shù)，其和等于30的概率是()1111

A．

B．

C．

D．12141518解析：選C別超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個(gè)，從中選31為7+23，11+19，13+17，共3種情形，所求概率為P=2=C1015

9．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為A．1

B．5

C．5A．5B．6C．5解析：選C建立空間坐標(biāo)系，利用向量夾角公式可得。10．若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是減函數(shù)，則a的最大值是3πC．

4．i=i+2．i=i+3D．i=i+42個(gè)其和為30的D．

πA．4πB．π2D．7．為計(jì)算S=1-11

+

23

的最大值為

4。，則f(1)+f(2)+f(3)+P在過A且歪率為63

的直A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)1

D．

4

3

1）分不利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

PF2H=600

,∴|F2H|=c,|PH|=3c,∴P（2c,3c）,代入AP方程得4c=a二、填空題：本題共4小

題，每小題5分，共20分。

13．曲線y=2ln（x+1）在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為．解析：y=2x

x+2y-5≥0

14．若x,y滿腳約束條件x-2y+3≥0,則z=x+y的最大值為___．

x-5≤0解析：915．已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0，則

sin（α+β）=_________________________________________．

1

解析：-2兩式平方相加可得

16．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為7，SA與圓錐底面所成角為45°，若ΔSAB的面積

8為515，則該圓錐的側(cè)面積為______．

解析：設(shè)圓錐底面圓半徑為r,依題SA=2r,又SA，SB所成角的正弦值為8,則2×2r×815=5

15∴r2=40,S=π×r×2r=402

三、解答題：共70分。解承諾寫出文字講明、證明過程或演算步驟。第17～21題何必考題，每個(gè)試題考生

都必須作答。第22、23為選考題，考生依照要求作答。

（一）必考題：共60分。17．（12分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=-7，S3=-15．

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值．

解：（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為

an=2n-9.（2）由（1）得Sn=n2-8n=（n-4）2

-16.因此當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16.18．（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖．

為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)刻變量t的兩個(gè)線性回歸模型．依照2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)刻變量t的值依次為1,2,?,17）建立模型①：^y=-30.4+13.5t；依照2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)刻變量t的值依次為1,2,?,7）建立模型②：

3

^y=99+17.5t．

1）分不利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

2）你以為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并講明理由．

解：（1）利用模型①,該地區(qū)20XX年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

^

y=-30.4+13.5×19=226.1（億元）.

利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

^

y=99+17.5×9=256.5(億元).

（2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠理由如下：

（ⅰ）從折線圖能夠看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線^

y=-30.4+13.5t上下.

這講明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①別能非常好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條

直線的附近，這講明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016

年的數(shù)據(jù)建立的線性模型^

y=99+17.5t能夠較好地描述2010年往后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢

,因

此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

（ⅱ）從計(jì)算結(jié)果看,相關(guān)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理.講明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分19．（12分）設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且歪率為k（k>0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8．（1）求l的方程；

（2）求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．解：（1）由題意得F（1,0），l的方程為y=k（x-1）（k>0）.

y=k(x-1)

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由2

y=4x

得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

Δ=16k2

+16>0，故x1+x2=2k2

+42

k2

因此|AB|=x2k2+41+x2+2=2+2=8

k

，解得k=-1（舍去），k=1.所以l的方程為y=x-1.

（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3,2）

，因此AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

y0=-x0+5

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0)，則2

(y0-x0+1)2

(x0+1)2

=+16

所以所求圓的方程為（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144.20．（12分）

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=，4O為AC的中點(diǎn)．

x0=3

解得

y=2

x0=11或y0=-6

1)證明：PO⊥平面ABC；

2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為300，求PC與平面PAM所成角的正弦值．

解：(1)因?yàn)锳P=CP=AC=，4O為AC的中點(diǎn)，因此OP⊥AC，且OP=23.連結(jié)

OB.因?yàn)锳B=BC=22AC，因此ΔABC為等腰直角三角形，

1

且OB⊥AC，OB=AC=2.

2

由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.

由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.

(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角

坐標(biāo)系

.

由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2

取平面PAC的法向量O→B=(2,0,0).

設(shè)M(a,2-a,0)(0=

23(a-4)

23(a-4)

2+3a2+a2

由已知得

|cos|=

3.

2

因此n=(-833,433,-4

3).又

P→C=(0,2,-2

3)，因此

cos=

3.

4.

3),A→P=(0,0,23)

，可取n=(3(a-4),3a,-a)，

x=2cosθ在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為y=4sinθx=1+tcosαθ為參數(shù))，直線l的參

數(shù)方程為(t為參數(shù))．

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的歪率．

22

xy

【解析】(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為4+16=1．

當(dāng)cosα≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y=tanαx+2-tanα，當(dāng)cosα=0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x=1．

(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得對于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos

α+sinα)t-8=0．①因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，因此①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1+t2=0．又由①得2cosα+sinα=0，，于是直線l的歪率k=tanα=-2．23．[選修4－5：別等式選說](10分)設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x-a|-|x-2|．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求別等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范圍．

2x+4x≤-1【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，2-12

(2)f(x)≤1等價(jià)于|x+a|+|x-2|≥4．

而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且當(dāng)x=2時(shí)