動態(tài)法測定彈性模量

實驗一動態(tài)法測定彈性模量物理與電子信息學(xué)院物理學(xué)專業(yè)09物理漢班，內(nèi)蒙古呼和浩特010022指導(dǎo)教師：哈斯朝魯摘要：彈性模量包括揚氏模量（E）和切變模量（G）,連同泊松比（N）共稱彈性系數(shù)，這三個系數(shù)相互之間的關(guān)系由關(guān)系式U=2G/E-1所決定。彈性模量測定方法共有三類：靜態(tài)法、波傳播法、動態(tài)法。本實驗采用動態(tài)彎曲共振法測定彈性模量。引言彈性模量是反映材料抵抗形變的能力、也是進行熱應(yīng)力計算、防熱和隔熱層計算、選用構(gòu)件材料的主要依據(jù)。精確測試彈性模量對強度理論和工程技術(shù)都具有重要意義。彈性模量測定方法主要有三類：1）靜態(tài)法（拉伸、扭轉(zhuǎn)、彎曲）：該法通常適用于金屬試樣，在大形變及常溫下測定。該法載荷大，加載速度慢伴有弛豫過程，對脆性材料（石墨、玻璃、陶瓷）不適用、也不能完成高溫狀態(tài)下測定；2）波傳播法（含連續(xù)波及脈沖波法）：該法所用設(shè)備雖較復(fù)雜，但在室溫下很好用，由于換能器轉(zhuǎn)變溫度低及切變換能器價格昂貴，不易獲得而受限制；3）動態(tài)法（又稱共振法、聲頻法）：包括彎曲（橫向）共振、縱向共振以及扭轉(zhuǎn)共振法，其中彎曲共振法由于其設(shè)備精確易得，理論同實踐吻合度好，適用各種金屬及非金屬（脆性材料）以及測定溫度能在-180°C?3000°C左右進行而為眾多國家采用。正文【實驗?zāi)康摹苛私鈩討B(tài)法測定彈性模量的原理，掌握實驗方法；掌握外推法，會根據(jù)不同徑長比進行修正，正確處理實驗數(shù)據(jù)；掌握判別真假共振的基本方法及實驗誤差的計算；了解壓電體、熱電偶的功能，熟悉信號源及示波器和溫控器的使用；培養(yǎng)綜合使用知識和實驗儀器的能力。【實驗儀器】動態(tài)彈性模量測定儀、功率函數(shù)信號發(fā)生器（5位數(shù)顯、頻率寬5?500KHz）、數(shù)顯調(diào)節(jié)儀、懸掛測定支架及支撐測定支架、懸線、試樣五根、激發(fā)-接收換能器、加熱爐、高溫懸線、聲頻放大器、聽診器、示波器?！緦嶒炘怼繉﹂L度化直徑』條件的細長棒，當(dāng)其作微小橫振動（又稱彎曲振動）時，其振動方程為：a4yps統(tǒng)_薩eiat2—（13-1）式中y為豎直方向位移，長棒的軸線方向為x，e為試棒的楊氏模量，p為材料密度，s為棒橫截面，i為其截面的慣性矩，1=*y逃。用分

離變量法求解方程（13-1）的解，令y（x,t）=X（x）T（t）（13-2）1d4X_pS1d2T（13-2）式代入（13-1）式得Xdx4——EITdt2，該等式兩邊分別是變量x和叫的函數(shù)，只有等于一常數(shù)時才成立，設(shè)此常數(shù)為K4,則(13-3)（13-4）設(shè)棒中各點均作諧振動，這兩個線性常微分方程的通解為:（13-5）(13-6)X(x)=csinKx+ccosKx+cshKx+cchKx1234T(t)=csinst+c6cosst式（13-2）橫振動方程的通解為:（13-5）(13-6)y(x,t)=(csinKx+ccosKx+cshKx+cchKx)(csinst+ccosst)(13-7)123456式中（13-8）該式通稱頻率公式。實際棒的振動模式取決于邊界條件。推論證明：該式對于任意形狀截面、不同邊界條件下都是成立的，故我們只要用特定的邊界條件定出常數(shù)K，代入特定截面的慣性矩，就可以得到具體條件下的計算公式。如將棒懸掛（或支撐）在節(jié)點（即處于共振狀態(tài)時棒上位移恒等于零的位置），此時，邊界條件為二端橫向作用力及力矩為零，即：d3X(x)

dx3x-0-0,d3Xrxd3X(x)

dx3x-0-0,d3Xrx7\dx3I=0d2X(x),dx2x=l-0,x=0d2X(x)

dx2-0x=lM=-EI也-0

dx2(13-9)可用數(shù)值解法求得本征值(13-9)可用數(shù)值解法求得本征值K和棒長應(yīng)滿足：將通解帶入邊界條件得到:cosKl-chKl—1故將第二個根作為第一個根記作KnL=0,4.730,7.853,10.966,14.137......故將第二個根作為第一個根記作式中K0L-0的根對應(yīng)于靜止?fàn)顟B(tài)、K1L，一般將氣對應(yīng)的頻率叫做基頻，此時棒上波形分布如圖13-1所示，而K小-7.853叫一次諧波。對應(yīng)的波形分布如圖13-2所示。由圖可見，試棒作基頻振動時有兩個節(jié)點、其位置距端面分別為0.224L和0.776L。而對一次諧波％共有三個節(jié)點、其位置距端面分別為0.132L、0.500L和0.868L。實驗證明：棒上振動分布確實如此。將第一個本征值K]=4.730l代入頻率公式（13-8），可得到自由振動時的固有頻率。d.一少=基頻(d.一少=基頻(4.730)4EI

pSl4.因?qū)A形棒有：1="y2ds=S-整理后(13-10)同理，對b為寬度、h為厚度的矩形棒有:E=0.94644矩形也能推出上述試樣切變模量與共振頻率關(guān)系:(13-12)(13-13)g圓形=5新3m2fGG=4.000^-f2(13-12)(13-13)矩形bhg式中：長度-、直徑』、寬b、厚h、等幾何尺寸均以米為單位，質(zhì)量m以千克為單位，頻率f以赫茲為單位，計算出彈性模量單位為Nm-2。2hv2hv(fT(ET'2Vl7VPS7Kl0.000（靜態(tài)）4.730（基頻）7.85310.99614.137已知T鎧J2=K2點『又-=2KV,設(shè)Kl*，6=K，K=平?！鯡Tdp2-2\pSsinKl+shKl~i—,、c2cosKl-chKl(13-16)代入Kl可得Kl4.7307.85310.99614.13717.279c1/c.-0.9825-1.0008-0.99996-1.0000-0.9999一XKx—Kl~l則給出x/l值就可求出X(x)/c.，值，而c2為常數(shù)，所以X(x)/c.值可以表示振動的橫位移。對于基頻Kl=4.730x/l0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0X(x)/c22.1.0.-0.-1.-1.-1.-0.0.1.2.0007205404220454200900圖13-2為基頻的振動模式，從圖上可以看出節(jié)點在距一端0.224l處。同樣可以算出對Kl=7.853的節(jié)點在0.132l處。理論推導(dǎo)表明，桿的橫振動節(jié)點與振動級次有關(guān)，K〃值第1、3、5…數(shù)值對應(yīng)于對稱形振動。第2、4、6…對應(yīng)于反對稱形振動。最低級次的對稱振動波形如圖13-4所示。圖4二端自由桿基頻彎曲振動波形表13-1振動級次一節(jié)點數(shù)一節(jié)點位置一頻率比級次n基頻n=1一次諧波n=2二次諧波n=3節(jié)點數(shù)234節(jié)點位0.224l0.132l0.502l0.094l0.356l0.644l置0.77610.86810.9061頻率比f1f2=2-76f1yf表中l(wèi)為桿的長度。當(dāng)d=8mm,l=180mm時f2=2.74f1。修正值由表13-1可見，基頻振動的理論節(jié)點位置為0.2241（另一端為0.7761）。理論上吊扎（支撐）點應(yīng)在節(jié)點，但節(jié)點處試樣激發(fā)接收均困難。為此可在試樣節(jié)點和端點之間選不同吊扎（支撐）點，用外推法找出節(jié)點的共振頻率。推薦采用在兩端附近進行激發(fā)和接受，這非常有利于室溫及高溫下的測定。須注意（13-8）式是在婦d時推出，否則要作修正，E（修正）二KE（未修正），當(dāng)材料泊松比為0.25時K值如表13-2，注意表13-2徑長比r/10.020.040.060.080.10修正系數(shù)K1.0021.0081.0191.0331.051【實驗裝置】實驗裝置可用兩種方式進行測量：懸掛方式：裝置如圖13-5：二個換能器能在柱狀空間任意位置停留，懸線室溫下采用①0.05?0.15mm銅線、高溫下采用銅線（450°C）或Ni?Gr(1000°C)絲，粗硬的懸線會引入較大誤差。支撐方式：支撐式測定支架如圖13-6:試棒4通過特殊材料搭放在二個換能器上，無需捆綁即能準確、方便測出基頻和一次諧波共振頻率，支架橫桿AB上有2和5二個換能器，間距可調(diào)節(jié)。4圖13-5圖13-6試樣幾何尺寸及質(zhì)量測量：試樣一般直徑為①5?10mm、長140?200mm，其它矩形、正方、圓筒狀(均勻試樣)，金屬或非金屬均可。用游標(biāo)卡尺測量長度。用螺旋測微計測出直徑取平均值，質(zhì)量用電子天平測定。測試樣在不同溫度下的彈性模量時先支撐支架測出試樣的共振頻率后再入爐升溫并跟蹤測量。為得到最好的激發(fā)一接收效果，懸掛時，采用在試樣的兩端激發(fā)一接收的方式。測量前將懸掛支架的二根立柱連同換能器移放并固定在加熱爐的平臺上，換能器二個小鉤應(yīng)在爐體開口正上方。用由①0.05?0.15mm高溫懸絲(Ni-Cr或Fe-Cr-A1)將試樣綁好綁緊，捆綁時可將懸絲在試樣上繞2—3周后打一活結(jié)，然后再拉緊，調(diào)整二懸絲要在通過試樣直徑的鉛垂面上(可從二端觀察孔觀察)。將試樣調(diào)整到水平位置，測定時二懸絲不能同任何物體接觸。試樣懸掛完畢，并測出共振頻率后，用保溫氈將爐體上方的開孔及爐體二端封閉，只在懸絲附近保留二個小孔。整套變溫裝置由熱電偶-溫控器-加熱爐三部分組成。圖13-5、圖13-6中：1是功率函數(shù)信號發(fā)生器，本身帶5位數(shù)字顯示頻率計。它發(fā)出的聲頻信號經(jīng)換能器2轉(zhuǎn)換為機械振動信號，該振動通過懸絲（或支撐物）3,傳入試棒引起試棒4振動，試棒的振動情況通過懸絲（或支撐物）3傳到接受換能器5轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘栠M入示波器顯示。調(diào)節(jié)功率函數(shù)信號發(fā)生器1的輸出頻率，如試樣共振則能在示波器6上看到最大值，如將信號發(fā)生器的輸出同時接入示波器的X軸，則當(dāng)輸出信號頻率在共振頻率附近掃描時，可在顯示屏上看到李薩如圖形（橢圓）的主軸會在Y軸左右偏擺。如需測定不同溫度下的楊氏模量，需將試樣置于變溫裝置7內(nèi)，爐溫由溫控器8控制調(diào)節(jié)。注：共振頻率/和固有頻率/0是相關(guān)的兩個不同概念，其關(guān)系為：Tf-f乙1+0式中Q值遠大于30，由于上式可知以f共振代替七有所導(dǎo)致的偏差不會大于0.03%，故我們通常忽略兩者差別。需要指出：（1）上述幾個公式都是對：“長桿''即乙口d的情況下導(dǎo)出，當(dāng)此條件不能滿足時，上述公式需修正，即氣=E測x氣，修正系數(shù)。與徑長比及材料的泊松比H有關(guān)，當(dāng)H注0.30、d=8mm、i=180mm時，T]T.008。對切變模量G=G測xR，r與形狀有關(guān)。（2）當(dāng)Lqd時，對圓桿各次諧波頻率的比值為亳：ff=1：2.756:5.4。4:8.933。當(dāng)、d不能滿足時（例如對d=8mm、l=180mm）上述頻率比應(yīng)作修正。裝置各部分如下：1.功率函數(shù)信號發(fā)生器，可產(chǎn)生5?500KHZ、功率（6W）的信號，有粗調(diào)及二級精密（0.1Hz）微調(diào)，石英穩(wěn)頻，有方波、正弦波及三角波三種波形輸出，本實驗使用正弦波，其輸出強度可用分段或連續(xù)調(diào)節(jié)，輸出頻率數(shù)值由5位LED直接顯示，本信號發(fā)生器還可以當(dāng)外測頻率計（5?100kHz）使用。本機裝有過載保護，自動報警裝置，一旦超載，儀器即發(fā)出報警信號并自動切斷輸出，這時應(yīng)迅速切斷儀器電源并排除故障，約10余秒后重新啟動，儀器又能正常工作。分別有激發(fā)一接收放大器，當(dāng)感到自備信號源功率不足或感到接收信號微弱時使用，其放大倍率分別為10~100倍，一般情況下采用的信號源及換能器時無須使用放大器。2和5為激發(fā)和接收換能器，2將電信號變?yōu)闄C械振動信號輸入試樣，5為接收換能器用以檢測試樣振動情況。兩種換能器均采用壓電換能器。4是試樣（圓柱、圓管、矩形均可）。但直徑必須一致，質(zhì)量分布必須均勻，試樣內(nèi)部不能有夾渣、氣孔及偏析，否則會出現(xiàn)多個共振頻率。通常采用①5~10mm，圓柱試樣。6為示波器，其靈敏度最好為5mv/div以上，但10mv/div的亦勉為可用。7為加熱爐，當(dāng)需要測定試樣不同溫度下的彈性模量時使用，加熱爐由發(fā)熱體、保溫層及外殼組成，爐絲采用800W電爐絲分八段來回穿繞在發(fā)熱體的孔內(nèi)，每一孔內(nèi)的爐絲分布方式為兩頭密、中間松，以保證有良好的均熱帶，本加熱爐可以升溫到1000°C,但推薦在800°C以下使用以延長壽命。由耐火材料作的發(fā)熱體外采用優(yōu)質(zhì)硅酸鋁纖維作保溫材料。使用時特別注意，當(dāng)腔內(nèi)溫度到700~1000C時，爐殼表面溫度很高，務(wù)必避免燙傷，爐殼上有接地裝置。當(dāng)將試樣裝好并調(diào)整呈水平后，放入熱電偶，注意不要碰熱電偶及試樣，將發(fā)熱體二頭及頂部開口用保溫氈堵死，留二孔讓懸絲通過就可作升溫實驗，實驗完畢后務(wù)必切斷電源。為使控溫準確，溫控器上設(shè)有輸出功率調(diào)節(jié)旋鈕，對每個設(shè)定溫度都有一個最佳功率與之對應(yīng)，下表可供參考：設(shè)定溫度150250350450550800輸出功率1?1.52345大于58為溫控器，是4位數(shù)顯高精度比例式溫度控制器，設(shè)有快升溫（加熱功率800W可達1000C）、慢升溫（加熱功率為400W溫度可達600C）。建議在600C范圍內(nèi)使用慢升溫，注意當(dāng)試樣內(nèi)外溫度一致時，測定的數(shù)據(jù)才是該溫度時的真實數(shù)據(jù)，測定前先確定“設(shè)定”溫度，然后撥至“測量”檔，這時顯示出實際爐溫。其背面1~2點接熱電偶、中-相點接220V電源、總-低是控制節(jié)點，按規(guī)定接好線路后，按壓“開關(guān)”接通電源、指示燈亮，數(shù)顯屏上有顯示。先將“測量-設(shè)定”開關(guān)置于“設(shè)定”檔，調(diào)節(jié)好欲設(shè)定的溫度，然后推向“測量”處，這時屏幕上顯示出爐腔內(nèi)熱電偶所處實際溫度，當(dāng)爐腔溫度升到設(shè)定溫度附近，控制器即起作用，通過控制爐體電源的通斷使?fàn)t溫維持恒定。7,熱電偶，本設(shè)備采用（①0.8mm-①1mm）的k型（鎳鉻——鎳硅）熱電偶，精確測定時熱電偶應(yīng)作校準。輸出電壓可在50?220V連續(xù)可調(diào)，最高使用溫度雖能達到1200°C，但經(jīng)常使用溫度在室溫W1000°C時可延長其使用壽命。熱電偶點可在硼砂保護下用氧一乙炔焊成球形，一根（有磁性）接溫控器（箱內(nèi)表頭的）2端，另一根（無磁性）接（箱內(nèi)表頭的）1端。不要接反，當(dāng)溫控器的主1、2二點反接或熱電偶處于開路狀態(tài)（說明熱電偶熱點已開焊，須重新焊好或換用熱電偶）時，顯示器將顯示（1500?1900C）較大溫度以示警告（熱電偶在出廠時已連接好，可直接使用）。作精確測定，熱電偶冷端須放置在0C冰水混合物中。8,圖6為支撐式支架，激發(fā)和接收換能器均可沿橫桿AB水平調(diào)動位置。試樣放上，只要兩個支持點都不在節(jié)點，試樣無須捆綁就能完成測定。實驗發(fā)現(xiàn)采用支撐式支架還能較為方便的測定出一次諧波共振頻率?！緦嶒灢襟E】.將各設(shè)備按圖113-3連接好（注意各設(shè)備要共地線），啟動信號發(fā)生器，頻率置于2.5K檔，連續(xù)調(diào)節(jié)輸出頻率，此時激發(fā)換能器應(yīng)發(fā)出聲響。輕敲桌面，示波器Y軸信號大小立即變動并與敲擊強度有關(guān)，這就說明整套裝置已處于工作狀態(tài)。.先將兩端有刻度的試樣放在支撐支架上（注意不要置于兩個節(jié)點上），由低到高調(diào)節(jié)輸出頻率，直至在某一頻率使顯示屏上的李薩如圖形出現(xiàn)最大值并在Y軸左右擺動，記下這個頻率，然后用聽診器或細金屬物（例如尖嘴鑷子）沿軸向移動，看聲強及振動強度是否按圖1變化，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)金屬物觸及兩個節(jié)點時，示波器波形變化不大，而觸及腹點時，示波器示值很快減小。.若示波器顯示信號太大或太小時適當(dāng)調(diào)節(jié)信號源的輸出或示波器的放大倍率使波形大小合適，繼續(xù)升高頻率大約在2.74倍處看是否能測出一次諧波共振頻率。4,變動支撐點，作f一位置曲線，用外推法推出節(jié)點的共振頻率。,換用其他三種試樣驗證直徑一長度和共振頻率的關(guān)系是否符合附錄（22）—（25）式。,將耐熱試樣用高溫懸絲捆好，掛在懸掛支架上測出基頻。建議采用在接近二端激發(fā)一接收方式以取得最好效果。測出基頻并確認無誤后將試樣放入爐內(nèi)，將試樣二端調(diào)整在爐腔中心，再用保溫棉堵?。ǔ龖医z附近留兩個小孔外）所有部位（包括二端），一定要保證兩根懸絲和試樣不與任何物體相碰，否則將影響實驗進行。,測出f~T0C曲線：畫出E?T0C曲線，自室溫開始每50-100°C測一次共振頻率，最好采用端點懸掛接收方式以保證較好的激發(fā)一接收效果，每一個測點保溫時間約10分鐘以使試樣內(nèi)外均勻，對非嚴格測定、保溫時間可減少，對精確測定尚需考慮試樣膨脹的影響。E=E(2f一1-r室溫lL1+aATJ（13-17）式中a為膨脹系數(shù)、M為溫差?！咀⒁馐马棥棵颗_加熱爐實用功率800W（小心燙傷），如有多臺加熱爐同時工作務(wù)必注意實驗室所配電源的負荷能力是否適應(yīng)。又：如發(fā)現(xiàn)爐膛不在中心位置，只要打開兩端蓋板，調(diào)節(jié)所填充保溫材料的分布，很容易調(diào)整爐膛位置。熱電偶必須在爐膛中心位置。1,換能器厚度約0.1?0.3mm的壓電晶體，用膠粘接在0.1mm左右的黃銅片上構(gòu)成，極其脆弱，測定時一定要輕拿輕放，不能用力，也不能敲打。如焊接只能用15W左右烙鐵迅速焊接（不要超過3秒）否則極易損壞。,兩根懸絲必須捆緊，不能松動，且在通過試樣軸線的同一截面測定時應(yīng)使試樣不擺動。.信號源一換能器一放大器一示波器均應(yīng)共“地"。4.加熱爐爐溫升到500°C以上時，爐殼溫度較高，應(yīng)避免燙傷。5,懸掛點或支撐點如在節(jié)點時難于測定，全放在端點，測定雖很方便但引入系統(tǒng)誤差，作f~Toc曲線時推薦采用二端懸掛方式取得較好效果。6,實驗時發(fā)現(xiàn)懸掛方式很難測出一次諧波頻率，用支撐法卻很容易測定，同時發(fā)現(xiàn)懸掛和支撐的位置和基頻關(guān)系密切，但用支撐法測出的一次諧波頻率和支撐位置聯(lián)系不大，你能分析其中原因嗎？共振頻率的判斷：測定中，激發(fā)一接受換能器、懸絲、支架等部件都有自己共振頻率、都可能以其本身的基頻或高次諧波頻率發(fā)生共振。因此，正確的判斷示波器上顯示的共振信號是否為試樣真正共振信號成為關(guān)鍵，可用下述判據(jù)作判斷。a）測試前根據(jù)試樣的材質(zhì)、尺寸、質(zhì)量通過0）或（5）式估算出共振頻率的數(shù)值，然后放在支撐支架上，在上述頻率附近進行尋找、再上懸掛支架入爐升溫。b）換能器或懸絲發(fā)生共振時可通過對上述部件施加負荷（例如用力夾緊），可使此共振信號變化或消失。c）發(fā)生共振時，迅速切斷信號源，除試樣共振會逐漸衰減外，其余假共振會很快消失。d）試樣發(fā)生共振需要孕育過程，切斷信號源后亦會逐漸衰減，它的共振峰寬度較窄，信號較強。試樣共振時，可用尖嘴鑷沿縱向輕碰試樣，這時會按表1的規(guī)律可發(fā)現(xiàn)波腹、波節(jié)。對扁平試樣用細硅膠粉撒在試樣上，可在波節(jié)處發(fā)生明顯聚集。也可用聽診器沿試樣縱向移動，能明顯按圖1的規(guī)律聽出波腹處聲大，波節(jié)處聲小。對于一些細長桿狀（或片狀）試樣，有時能直接看到波腹或波節(jié)。e）用打火機（火柴）燒懸絲或試樣處，屬于懸絲共振能很快消失;屬于試樣共振頻率會發(fā)生減少或偏移。f）在共振頻率附近進行頻率掃描時，共振頻率兩側(cè)信號相位會有突然變化，導(dǎo)致李薩如圖形在Y軸左右明顯擺動。不同諧波頻率比服從表1規(guī)律。g）用懸掛法吊扎必須牢靠，二根懸絲必須在通過試樣直徑的鉛垂面上。懸掛或支撐不能在節(jié)點上。h）頻率比法進行判別。對長為160?180mm，直徑為6?8mm的金屬圓桿試樣f12.74^。i）如試樣材質(zhì)不均勻或呈橢圓形，就會有多