力矩迭代法的基本概念

一力矩迭代法的基本概念力矩迭代法常簡(jiǎn)稱(chēng)為迭代法。如同力矩分配法一樣，它也是以位移法為基礎(chǔ)的一種漸近解法，也是以桿端彎矩作為運(yùn)算對(duì)象，桿端彎矩也采用相同的正負(fù)號(hào)規(guī)定。兩者的區(qū)別是：在每次漸近運(yùn)算中，力矩分配法計(jì)算的是桿端彎矩新添的增量，力矩迭代法計(jì)算的是桿端彎矩全量的新一輪近似解。此外，力矩分配法一般只用于解無(wú)側(cè)移剛架，力矩迭代法科用于解無(wú)側(cè)移和有側(cè)移的剛架。本節(jié)先以無(wú)側(cè)移剛架為例說(shuō)明力矩迭代法的基本概念。轉(zhuǎn)角彎矩圖1a所示為無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移的剛架中任一等截面桿件AB，桿端彎矩公式為MB=4/0A+21。b+mB|（）M：=2/0:+410^+m^]aEI這里i=巳是桿的線剛度，m是固端彎矩（圖1b）。l定義桿端轉(zhuǎn)角彎矩如下（圖1c和d）：(c)(e)(b)M'=4/0]ABA>（b）M'=(c)(e)(b)M'=4/0]ABA>（b）M'=410IAmABmBAMab(A「L0/』b)mbaA1M'2abB(d)M，BA1M'2baM和M稱(chēng)為AB桿在A端和B端的轉(zhuǎn)角彎矩。注意，某端轉(zhuǎn)角彎矩是ABBA指由該端轉(zhuǎn)角在該端引起的彎矩。例如，由近端轉(zhuǎn)角引起的近端彎矩稱(chēng)為近端轉(zhuǎn)角彎矩，由遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)角引起的遠(yuǎn)端彎矩稱(chēng)為遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)角彎矩。至于有某端轉(zhuǎn)角在他端引起的彎矩則可利用傳遞系數(shù)由該端轉(zhuǎn)角彎矩導(dǎo)出，其值為該端轉(zhuǎn)角彎矩乘以由該端到他端的傳遞系數(shù)。當(dāng)他端為剛結(jié)時(shí)，則為該端轉(zhuǎn)角彎矩的一半。例如，由近端轉(zhuǎn)角在遠(yuǎn)端引起的彎矩等于近端轉(zhuǎn)角彎矩之半，由遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)角在近端引起的彎矩等于遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)角彎矩之半。

將式（^代入式（a）,就得到以?xún)啥宿D(zhuǎn)角彎矩表示的桿端彎矩的公式如下:M=M'+-M'+m（1）ABAB2BA（1）Mba=Mba+2M'Bb+mBA即桿件某端彎矩=該端轉(zhuǎn)角彎矩+1（他端轉(zhuǎn)角彎矩）+該端固端彎矩2轉(zhuǎn)角彎矩的迭代公式根據(jù)結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件，再引入分配系數(shù)的概念，可導(dǎo)出關(guān)于轉(zhuǎn)角彎矩的迭代公式。首先，在無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移剛架中取結(jié)點(diǎn)A作隔離體，可寫(xiě)出力矩平衡方程（圖1e）=0ADAEMAB=0ADAEMAB+MC+M+M可簡(jiǎn)寫(xiě)為EM=0A這里Aj表示與結(jié)點(diǎn)A相連的任一桿，EA將式（1）的第一式代入式（c），得(c)表示對(duì)交于A點(diǎn)的所有各桿求和。EM'+EM'+-EM'AA+EmA=0jAA引用符號(hào)(2)m=EmA(2)mA表示交于結(jié)點(diǎn)A的各桿在A端的固端彎矩之和。于是，結(jié)點(diǎn)A的力矩平衡方程可表示為（d）EMAjA其次，考慮到在剛結(jié)點(diǎn)A處相連各桿的桿端轉(zhuǎn)角0A彼此相等，由式（b）可日稱(chēng)為Aj桿的轉(zhuǎn)角彎矩分配系數(shù)（結(jié)點(diǎn)分配系數(shù)）。式（e）可寫(xiě)成M'S-Aj—M'AjA（d）M'S-Aj—M'AjA=eE^=EtAjAAjAAh=^A—

AjEiAj(e)AjM'=|!2M'（f）AjAjAjA相交于A點(diǎn)的各桿的A端轉(zhuǎn)角彎矩M'等于結(jié)點(diǎn)A的總轉(zhuǎn)角彎矩2M'按分配AjAjA系數(shù)七j分配給各桿，而分配系數(shù)七j等于桿Aj的線剛度與交于A點(diǎn)的各桿線剛度之和的比值。同一結(jié)點(diǎn)各桿轉(zhuǎn)角彎矩分配系數(shù)之和應(yīng)等于1，即TOC\o"1-5"\h\z2卜.=i（g）A最后，將式（d）代入式（f），得…r1_\一、M『$2Ma+阿（4）*A/式（4）即為無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移剛架的轉(zhuǎn)角彎矩的迭代公式，此式對(duì)剛架中的任一結(jié)點(diǎn)A都適用。對(duì)于結(jié)點(diǎn)A來(lái)說(shuō)，式（4）的左邊是桿的近端轉(zhuǎn)角彎矩，右邊則與遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)角彎矩和結(jié)點(diǎn)不平衡力矩有關(guān)。應(yīng)用迭代公式（4）時(shí)，先將前一輪已經(jīng)求出的遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)角彎矩代入公式右邊，于是就求出新一輪的近端轉(zhuǎn)角彎矩。計(jì)算步驟用力矩迭代法計(jì)算無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移剛架的步驟可歸納如下：（1）計(jì)算由載荷產(chǎn)生的各桿的固端彎矩，由式（2）求出各結(jié)點(diǎn)的不平衡彎矩m。（2）用式（3）計(jì)算剛結(jié)點(diǎn)處各桿的轉(zhuǎn)角彎矩分配系數(shù)。（3）用迭代公式（4）求各桿的（近端）轉(zhuǎn)角彎矩M&.。在第一輪，可設(shè)遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)角彎矩為零，由式（4）求得轉(zhuǎn)角彎矩的第一輪近似解。在以后各輪，遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)角彎矩采用前一輪的近似值，由式（4）求得轉(zhuǎn)角彎矩的新的近似值。經(jīng)過(guò)多次迭代計(jì)算，直至各桿轉(zhuǎn)角彎矩的值趨于穩(wěn)定為止。（4）最后一步是用式（1）計(jì)算各桿端的最后彎矩。最后說(shuō)明一下力矩迭代法和力矩分配法的關(guān)系。現(xiàn)以力矩分配法的觀點(diǎn)重新解釋一下力矩迭代法的主要迭代公式（4）。式（4）右邊括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)m為結(jié)點(diǎn)A由載荷作用產(chǎn)生的不平衡彎矩，第一項(xiàng)為j點(diǎn)A傳來(lái)的傳遞彎矩（j端轉(zhuǎn)角彎矩的一半），所以括號(hào)內(nèi)為結(jié)點(diǎn)A的總不平衡力矩。為使A點(diǎn)平衡，需在A點(diǎn)施加負(fù)值的不平衡力矩，然后按各桿的彎矩分配系數(shù)日Aj分配給各桿，得各桿的分配彎矩M&.（即轉(zhuǎn)角彎矩）。從以上的解釋可以看出，力矩迭代法與力矩分配法在原理上是一樣的，都是以位移法作為理論基礎(chǔ)、以桿端彎矩表示的漸近解法。但在具體計(jì)算時(shí)，兩者又有區(qū)別，在力矩迭代法的迭代公式（4）中，計(jì)算的是轉(zhuǎn)角彎矩的全值；而在力矩分配法中，每一次計(jì)算的是分配彎矩（和傳遞彎矩）的增量。當(dāng)漸近過(guò)程結(jié)束時(shí)，在力矩迭代法中桿端轉(zhuǎn)角彎矩應(yīng)趨于穩(wěn)定；而在力矩分配法中分配彎矩的增量應(yīng)趨于零。二力矩迭代法計(jì)算有側(cè)移的剛架本節(jié)進(jìn)一步將力矩迭代法用于計(jì)算有側(cè)移剛架，基本思路與上節(jié)相同，但需補(bǔ)充考慮結(jié)點(diǎn)線位移的影響及其計(jì)算方法。1、轉(zhuǎn)角彎矩和位移彎矩在有結(jié)點(diǎn)線位移的剛架中，任一等截面桿件AB（圖2a、b）的桿端彎矩公式為，1，，，M=M'+—M'+M〃+m（5）ABAB2BA（5）>M=M'+1M'+M〃+mBABA2ABBABA與式（1）相比，上式右邊增加了一項(xiàng)M〃和M〃，它們是由于桿件兩端有相對(duì)ABBA位移七而產(chǎn)生的桿端彎矩，稱(chēng)為位移彎矩：M'M'=M"=ABBA6/AABlAB式（5）可用文字表述如下:桿件某端彎矩=桿件某端彎矩=該端轉(zhuǎn)解彎矩（他端轉(zhuǎn)角彎矩）+該端位移彎矩+該端固端彎矩其中轉(zhuǎn)角彎矩表示結(jié)點(diǎn)角位移的影響，位移彎矩表示結(jié)點(diǎn)線位移的影響，固端彎矩表示結(jié)點(diǎn)完全被約束時(shí)荷載作用的影響。

■1八1EECrW11411A-*■B■1八1EECrW11411A-*■B(a)(b)力之力(c)(d)MBA在有側(cè)位移剛架中，由于存在結(jié)點(diǎn)角位移和線位移兩類(lèi)基本未各量，存在轉(zhuǎn)角彎矩和位移彎矩兩類(lèi)未知桿端彎矩，因此需應(yīng)用結(jié)點(diǎn)力矩平衡和樓層截面水平力平衡兩類(lèi)平衡方程導(dǎo)出關(guān)于轉(zhuǎn)角彎矩和位移彎矩的兩類(lèi)迭代公式。2、轉(zhuǎn)角彎矩的迭代公式上節(jié)根據(jù)結(jié)點(diǎn)力矩平衡方程和轉(zhuǎn)角彎矩分配系數(shù)的概念導(dǎo)出了無(wú)側(cè)移情況的轉(zhuǎn)角彎矩迭代公式(4)現(xiàn)在按照同一思路導(dǎo)出有側(cè)移情況的轉(zhuǎn)角彎矩迭代公式。首先，取結(jié)點(diǎn)A為隔離體(圖2c)，寫(xiě)出力矩平衡方程￡M=0A￡M，+-￡M"+￡m=0AAA由此得￡M，=-(-￡M，+￡M〃+m)Aj2jAAjAAAS其次，根據(jù)式(3)，引入轉(zhuǎn)角彎矩分配系數(shù)，可由結(jié)點(diǎn)A的總轉(zhuǎn)角彎矩￡M'AjA求出Aj桿的A端轉(zhuǎn)角彎矩MA/即(6(6)輪的桿端轉(zhuǎn)角彎矩。一旦(1￡M'+￡M〃+m)Aj2jAAjAAA式(6)是有側(cè)移剛架的第一類(lèi)迭代公式，此式用于求新-3、位移彎矩的迭代公式根據(jù)樓層截面水平力平衡條件和位移彎矩分配系數(shù)的概念可導(dǎo)出關(guān)于位移彎矩的迭代公式。圖2d表示沿第Y層各柱柱頂作一截面所得的隔離體。考慮作用于些隔離體上各水平力的平衡￡X=0,可得(a)ABY式中￡P(guān)為第Y層柱頂截面以上所有水平荷載的總和，稱(chēng)為樓層剪力，水平荷載以向右為正；￡QAB為第Y層力各柱柱頂截面剪力之和。Y作用于柱AB的桿端剪力為=Q0-Mab+MbaABABhABAB式中qab表示該柱在兩端簡(jiǎn)支情況下由荷載產(chǎn)生的剪力。將桿端彎矩公式(5)代入上式，得Q=Q0-(mAB+mBA)-—(3M，+3M，+2M〃)ABABhh2AB2BAAB令Q表示柱AB的固端剪力，即ABQ=Q0-上(m+m)(7)ABABhABBAAB則有Q=Q-—(3M，+3M，+2M〃)

ABABh2AB2BAAB將QAB代入式(a)，則截面水平平衡方程可寫(xiě)為￡p=￡q+￡上(3m，3m，+2m〃)=0(b)ABh2AB2BAAB因?yàn)榈赮層內(nèi)各柱的高度相同，(即：同層同高)均為勺，即hAB=h；由式(b)，有

￡M〃ABY為了表達(dá)簡(jiǎn)明，(c)2h(￡p—￡Q)+￡m，+￡￡M〃ABY為了表達(dá)簡(jiǎn)明，(c)3YABABBAYYYWh(￡Wh(￡p—￡qaBY2,

j3Y(8)這里mY稱(chēng)為第Y層的樓層力矩。式（c）變?yōu)椤闙￡M〃ABY￡M+￡m：aY由上式可以求出第Y層內(nèi)所有各柱的位移彎矩之和。因?yàn)镸：B=-6i"AB/勺,而在一樓層內(nèi)AAB/勺為一常數(shù)，故分配到該層各柱內(nèi)的位移彎矩與其相對(duì)i值成正比。因此有M〃ABM〃ABE3q—仙M〃ab=—-4A^Bm+￡(M'ab+M'aa)Y式中■ABiVAB■ABiY為AB桿的位移彎矩分配系數(shù)。在同一層內(nèi)各柱位移彎矩分配系數(shù)之和應(yīng)為1.下面為了迭代運(yùn)算的方便，將上兩式改寫(xiě)為M〃=-vm+￡(M'+M')(9)ABABYABBAY式中V=1式中AB4￡iABY(10)V人萬(wàn)稱(chēng)為AB桿修正后的位移彎矩分配系數(shù)（側(cè)移分配系數(shù)），以后就稱(chēng)為位移彎矩分配系數(shù)。這樣，在同一層內(nèi)各柱修正的位移彎矩分配系數(shù)之和變?yōu)?/4。式（6）和式（9）即為有結(jié)點(diǎn)線位移剛架的轉(zhuǎn)角彎矩和位移彎矩的迭代公式。注意：若第Y層內(nèi)各柱的高度不相同（即：同層不同高），此時(shí)可選擇多數(shù)相等的柱高為標(biāo)準(zhǔn)柱（層）高，并引入層高影響系數(shù)：a=h，則（9），（10）兩式ilij

變?yōu)?變?yōu)?(9)(10)M〃=*m+&(M'+M')ABAByijABBArV一咨j.、ab4乙a2(9)(10)按照上面的公式，用力矩迭代法計(jì)算有結(jié)點(diǎn)線位移剛架的步驟可表述如下：（1）計(jì)算由荷載產(chǎn)生的各桿的固端彎矩，由式（2）求出各結(jié)點(diǎn)的不平衡彎矩mA；由式（7）計(jì)算由荷載產(chǎn)生的各柱的固端剪力，由式（8）求出各層的縷層力矩。（2）用式（3）計(jì)算結(jié)點(diǎn)處各桿的轉(zhuǎn)角彎矩分配系數(shù)；用式（10）計(jì)算各層各柱的位移彎矩分配系數(shù)。（3）用式（6）計(jì)算各桿的轉(zhuǎn)角彎矩，用式（9）計(jì)算各柱的位移彎矩。這里是交替地運(yùn)用這兩個(gè)式子進(jìn)行演算，即逐次迭代；直至達(dá)到所需精度時(shí)為止。迭代的的順序可以任意。但通常仍按一定的順序，如無(wú)水平荷載作用時(shí)，常先從計(jì)算轉(zhuǎn)角彎矩開(kāi)始；當(dāng)有水平荷載作用時(shí)，則常先從計(jì)算位移彎矩開(kāi)始；并均按照一定的結(jié)點(diǎn)和樓層順序進(jìn)行。（4）最后，用式（5）計(jì)算各桿的桿端彎矩。迭代法計(jì)算公式匯總：m/mA（2）結(jié)點(diǎn)不平衡彎矩;ha=—r-ijlha=—r-ijliji|1=—aa乙iAjAV=吾?、ab4乙a2.iijABr（3）結(jié)點(diǎn)分配系數(shù)（10）側(cè)移分配系數(shù)m廣2氣（￡陣&成（8）樓層彎矩y其中Z其中ZP為外水平力之和;力）；ZQAB為樓層各柱頂剪力之和（即固端剪y（6（6）轉(zhuǎn)角迭代公式;（9）側(cè)移迭代公式;M'=-r(!ZM'+ZM〃+m)AjAj2jAAjAAAM〃=—m+Za(M'+M')ABAByijABBA

例1用力矩迭代計(jì)算圖3所示剛架各桿的桿端彎矩。解：（1）各結(jié)點(diǎn)的不平衡彎矩和各層的樓層力矩各桿的固端彎矩為0.5x62m=—m==1.5kN.mGDDG12m=-mDAAD竺迫=1.5kN.m12將這些固端彎矩寫(xiě)在圖4中各桿端部，并在其下邊畫(huà)一虛線，以便和以后寫(xiě)入的轉(zhuǎn)角彎矩有所區(qū)別。然后，算出各結(jié)點(diǎn)的不平衡彎矩Zm=1.5kN.mGm=-mDAAD竺迫=1.5kN.m12將這些固端彎矩寫(xiě)在圖4中各桿端部，并在其下邊畫(huà)一虛線，以便和以后寫(xiě)入的轉(zhuǎn)角彎矩有所區(qū)別。然后，算出各結(jié)點(diǎn)的不平衡彎矩Zm=1.5kN.mGZm=1.5—1.5=0D將各結(jié)點(diǎn)的不平衡彎矩寫(xiě)在各結(jié)點(diǎn)的內(nèi)框中。各柱的固端剪力為-1,Q=-—x0.5x6=-\.5kN-1Q=—虧x0.5x6=—1.5kN各樓層剪力為第2層頂ZP=0第1層頂ZP=0.5x6=3kN十Gi=1.2Hi=0.1i=0.1圖3i=1.5EFi=0.2i=0.3CBm6由式(8)，各層的樓層力矩為m2=2h2(ZP-ZQ=2x6x[0-(-1.5)]=6kN?mYm1=2"ZP-ZQ)=-x6x[3-(-1.5)]=18kN-mY將這些樓層力矩寫(xiě)在圖4中各承受荷載的左方的方格內(nèi)。ncm345Qncnn5/3?^4120.045-0.006-0.028-0.032-0.033-0.080-0.334-0.387-0.400930z96803344ncm345Qncnn5/3?^4120.045-0.006-0.028-0.032-0.033-0.080-0.334-0.387-0.400930z968033444

z3313359000112221.500.3420.3290.3480.3560.357730o7595666L39940897922%-2.250-2.493-2.467-2.463-2.463o1266,y1o1266,y1297154766474129210297154766303325903418000%3038138001eJJ-3.852-4.221-4.228-4.234-4.237-3.852-4.221-4.228-4.234-4.237-5.796-6.351-6.362-6.371-6.376ABC圖4（2）轉(zhuǎn)角彎矩分配系數(shù)和位移彎矩分配系數(shù)以結(jié)點(diǎn)D為例，各桿端的轉(zhuǎn)角彎矩分配系數(shù)為r=鈴=15=15=0.833DE乙1.5+0.1+0.21.8Dr=^DG==0.056DG乙i1.8RDA0.2RDA0.2=0.111D將各結(jié)點(diǎn)桿端的轉(zhuǎn)角彎矩分配系數(shù)寫(xiě)在結(jié)點(diǎn)處內(nèi)、外方框之間的桿端相應(yīng)位置。置。以底層（第1層）柱為例，各柱位移彎矩分配系數(shù)為3i3x0.23x0.2V=vDAEB—0.214V=vDAEB—0.2144乙i4x(0.2+0.2+.03)4x0.73i3x0.3VFC—0.322—_——VFC—0.3224Zi4x0.71將各層各柱的位移彎矩分配系數(shù)寫(xiě)在圖4中各柱中間的左旁。（3）迭代計(jì)算位移彎矩和轉(zhuǎn)角彎矩本例題中因位移彎矩的數(shù)值大于轉(zhuǎn)角彎矩?cái)?shù)值，故從位移彎矩的計(jì)算開(kāi)始。起算時(shí)先假設(shè)各轉(zhuǎn)角彎矩為零，從式（9）可得各層各柱的位移彎矩的第一次近似值如下：第2層各柱，M〃—M〃—-0.375[6+0〕=—2.25AMmDGEHM〃=M〃=-0.214118+0]=-3.8523-mADBEM=-0.322118+0]=-5.796kN?mCF結(jié)果寫(xiě)在各柱的右側(cè)邊。然后，進(jìn)行轉(zhuǎn)角彎矩的計(jì)算。用式(6)計(jì)算各結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角彎矩的第一次近似值，開(kāi)始時(shí)仍假設(shè)各桿遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)角彎矩為零，當(dāng)有了遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)角彎矩值后，即按其值計(jì)入。計(jì)算結(jié)點(diǎn)順序?yàn)镈rErFrGTH。如結(jié)點(diǎn)D，M'=-0.111[0+(-2.25-3.852)+0]=0.677kN?mDAM'=-0.833[0+(-6.102)]=5.083kN?mM'=-0.056[0+(-6.102)]=0.342kN?mDGr1i結(jié)點(diǎn)E，M'=-0.06-x5.083+(-2.25-3.852)+0—0.214kN?mEB2M'=M'=-0.455[-3.561]=1.620kN?mEDEFM'=-0.03[-3.561]=0.107kN?mEH「11結(jié)點(diǎn)F，M'fc=—0.1672x1.620+(-5.796)+0—0.833kN?mM'=-0.833[-4.986]=4.153kN?mFE將各結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角彎矩第一次近似值寫(xiě)在圖4中各桿端的相應(yīng)位置。第一輪迭代計(jì)算結(jié)束后，可以按照同樣的順序，進(jìn)行第二、三、……輪迭代計(jì)算。本倒是圖4中進(jìn)行了五輪迭代。第四、五輪數(shù)值已穩(wěn)定，迭代停止。用式（5）計(jì)算各桿桿端彎矩。圖4中已有各桿的固端彎矩mAB和求出的近端轉(zhuǎn)角彎矩M'，位移彎矩M"，只需把遠(yuǎn)端的轉(zhuǎn)角彎矩M'傳過(guò)一半（即

ABABBA

結(jié)果示于圖5a中，橫線下為最后2疊加在一起即得最后桿端彎矩結(jié)果示于圖5a中，橫線下為最后桿端彎矩。彎矩圖如圖5b所示。(a)H5-3824.1945.877(a)H5-3824.1945.877圖5三多層多跨剛架的近似計(jì)算用精確法計(jì)算多跨多層剛架，常有大量的計(jì)算工作，如不藉助于計(jì)算機(jī)，往往無(wú)法進(jìn)行計(jì)算。近似法可以在一定條件下，以較小的工作量，取得較為粗略的解答，具有一定的實(shí)際意義。下面介紹幾種常用的近似方法。1、分層計(jì)算法分層計(jì)算法適用于多層多跨剛架承受豎向荷載作用下的情況，其中兩個(gè)近似假設(shè)：第一，忽略側(cè)移的影響，用力矩分配法計(jì)算。第二，忽略每層梁的豎向荷載對(duì)其他各層的影響，把多層剛架分解成一層一層地單獨(dú)計(jì)算。例如，圖6a所示為一個(gè)四層剛架，可按層分為圖64b所示的四個(gè)剛架分別計(jì)算。除底層外，每個(gè)柱同屬于相鄰兩層剛架，因此柱的彎矩應(yīng)由兩部分疊加得7,n口1\7,n口1\\\11為了說(shuō)明第二個(gè)假設(shè)，我們來(lái)分析某層的豎向荷載對(duì)其他各層的影響問(wèn)題。首先，荷載在本層結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生不平衡力矩，分配和傳遞，才影響到本層柱的遠(yuǎn)端。然后，在柱的遠(yuǎn)端再經(jīng)過(guò)分配，才影響到相鄰的樓層。這里經(jīng)歷了“分配一傳遞一分配”三道運(yùn)算，余下的影響已經(jīng)較小，因而可以忽略。在各個(gè)分層剛架中，柱的遠(yuǎn)端都假設(shè)為固定端。除底層柱底外，其余各柱的遠(yuǎn)端不是固定端，而是彈性約束端。為了反映這個(gè)特點(diǎn)，在各個(gè)分層剛架中，可將上層各柱的線剛度乘以折減系數(shù)0.9，傳遞系數(shù)由1改為1。23分層計(jì)算的結(jié)果，在剛結(jié)點(diǎn)上彎矩是不平衡的，但一般誤差不會(huì)很大。如有需要，可對(duì)結(jié)點(diǎn)的不平衡彎矩，再進(jìn)行一次分配。2、反彎點(diǎn)法上面介紹的分層計(jì)算雙只能應(yīng)用于多層多跨剛架承受豎向荷載作用下的情況，面不能應(yīng)用于承受水平荷載作用下的情況。因?yàn)檫@時(shí)既不能忽略側(cè)移的影響，而且荷載的影響也不局限在本層。

反彎點(diǎn)法是多層多跨剛架在水平結(jié)點(diǎn)荷載作用下最常用的近似方法，對(duì)于強(qiáng)梁弱柱的情況最為適用。反彎點(diǎn)法的基本假設(shè)是把剛架中的橫梁簡(jiǎn)化為剛性梁。例如，圖7a所示簡(jiǎn)單剛架，橫梁與立柱線剛度之比為七=3,屬于強(qiáng)梁弱柱ic的情況。其彎矩圖如圖7b所示。如果采用反彎點(diǎn)法，則假設(shè)ib*，按圖8a的理想剛架計(jì)算。這時(shí)，剛架變形的特點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)有側(cè)移而無(wú)轉(zhuǎn)角；彎矩圖的特點(diǎn)是立柱中點(diǎn)的彎矩為零（8b），利用這個(gè)特點(diǎn)，整個(gè)彎矩圖即可按下列程序直接畫(huà)P…??一一一?出。第一步，由于對(duì)稱(chēng)性，得知各柱剪力為己=-；第二步，由于彎矩零點(diǎn)（即hPh...反彎點(diǎn)）在立柱中點(diǎn)，可知各柱兩瑞彎矩為M=Q--=—，由此可畫(huà)出立柱的22彎矩圖；第三步，根據(jù)結(jié)點(diǎn)的平衡條件，可求出梁端彎矩，并畫(huà)出橫梁的彎矩圖。由此看出，在反彎點(diǎn)法中，由于近似地規(guī)定了反彎點(diǎn)位置，從而使計(jì)算工作大為簡(jiǎn)化。(b)(a)0.947圖7(c)44■i1i=s(b)(a)0.947圖7(c)44■i1i=siP圖81.053(d)另一方面，從圖7b和8b看出，彎矩的相對(duì)誤差只有5%。由此看出，如果梁柱線剛度比值匕＞3,則可采用反彎點(diǎn)法計(jì)算，并能得到較好的精度。ic反彎點(diǎn)法也可應(yīng)用于各柱剛度不相等的剛架。在圖9a中，橫梁為剛性梁;左柱線剛度為％，高度為門(mén)；右柱線剛度為i，高度為h。由于兩柱側(cè)移△相等，1122因此，兩柱的剪力應(yīng)為（圖9b）：

Q=旦A=kA1h2i2Q=Q=旦A=kA1h2i2Q='2EA=kA2(a)這里，k=12土是柱的側(cè)移剛度系數(shù)，即柱頂有單位側(cè)移時(shí)所引起的剪力。h2由平衡條件，兩柱剪力的和應(yīng)等于等于P，即Q1+Q2=p由式（a）和（b）可求出(b)W'i=1Q=ikpii=1(c)由此看出，各柱剪力與該柱的側(cè)移剛度系數(shù)k成正比，￡稱(chēng)為剪力分配系數(shù)。乙k因此，荷載P按剪力分配系數(shù)分配給各柱。由于彎矩零點(diǎn)在柱中點(diǎn)，故可作出剛架彎矩圖如圖9c所示。P-Q〃.nlllllllllQh222J」2二-h^2Q.h2,2綜上所述，反彎點(diǎn)法的要點(diǎn)可歸納如下:（1）剛架在結(jié)點(diǎn)水平荷載作用下，當(dāng)梁柱剛度比值土>3時(shí)，可采用反彎點(diǎn)ic法計(jì)算。（2）反彎點(diǎn)法假設(shè)橫梁相對(duì)線剛度為無(wú)限大，因而剛架結(jié)點(diǎn)不發(fā)生轉(zhuǎn)角，只有側(cè)移。（3）剛架同層各柱有同樣側(cè)移時(shí)，同層各柱剪力與柱的側(cè)移剛度系數(shù)成正比。每層柱共同承受該層以上的水平荷載作用。各層的總剪力按各柱側(cè)移剛度所占的比例分配到各柱。所以，反彎點(diǎn)法又可稱(chēng)為剪力分配法。（4）柱端彎矩是由側(cè)移引起的，所以，柱的反彎點(diǎn)在柱中點(diǎn)處。在多層剛2架中，底層柱的反彎點(diǎn)常設(shè)在柱的2高度處。3

（5）柱端彎矩根據(jù)柱的剪力和反彎點(diǎn)的位置確定。梁端彎矩由結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件確定，中間結(jié)點(diǎn)的兩側(cè)梁端彎矩，按梁的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度分配不平衡力矩求得。例用反彎點(diǎn)法計(jì)算圖10所示剛架，并畫(huà)出彎矩圖。括號(hào)內(nèi)數(shù)字為桿件線剛度的相對(duì)值。解：設(shè)柱的反彎點(diǎn)在高度中點(diǎn)。本例中，因?yàn)榈讓恿号c柱的線剛度比較大，所以底層柱的反彎點(diǎn)沒(méi)有設(shè)在柱的2/3高度上，仍設(shè)在高度中點(diǎn)。在反彎點(diǎn)處將柱切開(kāi)，隔離體如圖10所示。（1）求各柱剪力分配系數(shù)r=^-kXki頂層r=r=—_2_3=0.2863r^=22+3=0.428頂層圖108kN圖11底層四L/3^274=0.3%=土如48kN圖11底層計(jì)算各柱剪力Q=Q=0.286x8=2.29kNQ=0.428x8=3.42kNQ=Q=0.3x25=7.5kNQ=0.4x25=10kN計(jì)算桿端彎矩以結(jié)點(diǎn)E為例說(shuō)明桿端彎矩的計(jì)算。桿端彎矩…h(huán)M=—Qx—23.3

=—3.42x——=—5.64kN-m2h3-6MB=—Qbex苛=—10x32-=—18kN-m計(jì)算梁端彎矩時(shí)，先求出結(jié)點(diǎn)柱端彎矩之和為m=Meh+Meb=-5.64—18=—23.64kN-m按梁剛度分配:

MD=27X23.64=10.51kN-mM=15x23.64=13.13kN-mEF27圖12是剛架彎矩圖。括號(hào)內(nèi)數(shù)值是精確法計(jì)算的桿端彎矩。最后指出，對(duì)于橫梁與柱線剛度比小于1的剛架，有一種廣義反彎點(diǎn)法一一D值法可以計(jì)算。3.復(fù)式剛架的剪力分配法復(fù)式剛架是指一層或數(shù)層橫梁不全部貫通的剛架（圖13）。這種剛架可假設(shè)其橫梁i=3，采用剪力分配法進(jìn)行近似計(jì)算。前已指出，在沒(méi)有桿端轉(zhuǎn)角的條件下，單個(gè)柱的側(cè)移剛度為前已指出，在沒(méi)有桿端轉(zhuǎn)角的條件下，單個(gè)柱的側(cè)移剛度為k=也?，F(xiàn)在h2進(jìn)一步討論幾個(gè)柱并聯(lián)或串聯(lián)的情況。圖14a、b所示為一組平行柱，各柱的一端