2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ）

2021年高考練習(xí)：全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)團(tuán)）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分

1.（5分）已知集合A={x|-l〈x<2},B={x|0<x<3},則AUB=（）

A.（-1,3）B.（-1,0）C.（0,2）D.（2,3）

2.（5分）若為a實(shí)數(shù)，且q+苴-=3+i,則a=（）

1+i

A.-4B.-3C.3D.4

3.（5分）根據(jù)如圖給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量（單位：萬(wàn)

噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（）

A,逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)

D.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

4.（5分）a=（1，-1）,b=（-1,2）則（2a+b）?a=（）

A.-1B.0C.1D.2

5.（5分）已知Sn是等差數(shù)列5}的前n項(xiàng)和,若ai+a3+as=3,則Ss=（）

A.5B.7C.9D.11

6.（5分）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則

截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

A.1B.1C.1D,1

8765

7.（5分）已知三點(diǎn)A（1,0）,B（0,遮），C（2,遮）則△ABC外接圓

的圓心到原點(diǎn)的距離為（）

A.反B.野事q

3

8.（5分）如圖程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的"更

相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18,則輸出的2=（）

A.OB.2C.4D.14

9.（5分）已知等比數(shù)列國(guó)｝滿足ai=1，a3a5=43-1）,則a?=（）

4

A.2B.1C.1D.工

28

10.（5分）已知A,B是球。的球面上兩點(diǎn)，ZAOB=90°,C為該球面上的

動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐。-ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為（）

A.36nB.64nC.144nD.256n

11.（5分）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2,BC=1,。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P

沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動(dòng)，記NBOP=x.將動(dòng)點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和表

示為x的函數(shù)f（x）,則y=f（x）的圖象大致為（）

DPC

1

12.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=In(1+則使得

x|)l+x2,f(x)>f(2x-1)

成立的x的取值范圍是()

A.(-8,L)U(1,+8)B.(1,1)

33

c.(.A,—)D.(-8,-)U4,+8)

333o

二、填空題

13.（3分）已知函數(shù)f（x）=ax3-2x的圖象過(guò)點(diǎn)（-1,4）貝ija=.

'x+y-540

14.（3分）若x,y滿足約束條件，2xf-l>0,則z=2x+y的最大值為.

,x-2y+l=C0

15.（3分）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)（4,6）且漸近線方程為丫=±^x,則該雙曲線的

標(biāo)準(zhǔn)方程是.

16.（3分）已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線y=ax?+（a+2）x+1

相切，貝Ua=.

三.解答題

17.z^ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分NBAC,BD=2DC

（回）求出續(xù).

sinNC

（國(guó)）若NBAC=60°,求NB.

18.某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40

個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分

布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表

.4地區(qū)用戶薪意度評(píng)分的頻率分布直方圖3地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表

滿意度評(píng)分分[50,[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

組60)

頻數(shù)2814106

（1）做出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比較兩地區(qū)

滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）

（回）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)不等級(jí)：

滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意

估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說(shuō)明理由.

19.（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD-AiBiJDi中，AB=16,BC=10,AAi=8,

點(diǎn)E,F分別在AiBi，DiCi上，AiE=DiF=4.過(guò)E,F的平面a與此長(zhǎng)方體的

面相交，交線圍成一個(gè)正方形

（0）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫法和理由）

（回）求平面a把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.

D.

22r~

20.橢圓C：%+J=1,(a>b>0)的離心率上，點(diǎn)(2,&)在C上

a2b22

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線I不過(guò)原點(diǎn)0且不平行于坐標(biāo)軸，|與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段

AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值.

21.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x).

(國(guó))討論：f(x)的單調(diào)性；

(回)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a-2時(shí)，求a的取值范圍.

四、選修4-1：幾何證明選講

22.(10分)如圖，0為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，。。與aABC的底邊BC交

于M,N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G,且與AB,AC分別相切于E,F

兩點(diǎn).

(1)證明：EF〃BC；

(2)若AG等于。。的半徑，且AE=MN=2^,求四邊形EBCF的面積.

五、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

23.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci：產(chǎn)此。$0(1為參數(shù)，tw0),

I尸tsina

其中OWaWn,在以0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：p=

2sin0,C3：p=2A/3COS0.

（1）求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）若Ci與C2相交于點(diǎn)A,Ci與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值.

六、選修4-5不等式選講

24.（10分）設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明：

（1）若ab>cd,則

（2）F+F>F+F^la-b|v|c-d|的充要條件.

2015年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo)團(tuán))

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分

1.(5分)已知集合A={x|-1VXV2},B={x|0<x<3},則AUB=()

A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)

【考點(diǎn)剖析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

【解答】解：VA={x|-l<x<2},B={x|0<x<3},

.\AUB={x|-l<x<3}，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ).

2.(5分)若為a實(shí)數(shù)，且2=3+i,則2=()

1+i

A.-4B.-3C.3D,4

【考點(diǎn)剖析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行求解即可.

【解答】解：由維匕3+「得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,

1+i

則a=4,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用，比較基礎(chǔ).

3.(5分)根據(jù)如圖給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位：萬(wàn)

噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()

2700

2600

2500

2400耳升三三三

2300

2200

2100

2000

1900UI

2004^2005年2006^2007年200碑2009^20W2011年2012年2013年

A,逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)

D.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

【考點(diǎn)剖析】A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排

放量減少的最多，故A正確；

B從2007年開(kāi)始二氧化硫排放量變少，故B正確；

C從圖中看出，2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，故C正確；

D2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，與年份負(fù)相關(guān)，故D錯(cuò)誤.

【解答】解：A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫

排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；

B2004-2006年二氧化硫排放量越來(lái)越多，從2007年開(kāi)始二氧化硫排放量變少,

故B正確；

C從圖中看出，2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，故C正確；

D2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，而不是與年份正相關(guān)，故D錯(cuò)

誤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生識(shí)圖的能力，能夠從圖中提取出所需要的信息，屬于

基礎(chǔ)題.

4.（5分）a=（1，-1）,b=（-1,2）則（2a+b）?a=（）

A.-1B.0C.1D.2

【考點(diǎn)剖析】利用向量的加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算解答本題.

【解答】解：因?yàn)閍=（1，_b=（_1>2）則（2a+b）*a=（1，0）

?（1,-1）=1；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；屬于基礎(chǔ)題目.

5.（5分）已知Sn是等差數(shù)列國(guó)｝的前n項(xiàng)和，若ai+a3+a5=3,則S$=（）

A.5B.7C.9D.11

【考點(diǎn)剖析】由等差數(shù)列｛an｝的性質(zhì)，ai+a3+a5=3=3a3,解得a3.再利用等差

數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

【解答】解：由等差數(shù)列｛aj的性質(zhì)，ai+a3+a5=3=3a3,解得a3=1.

5（a<+aR）

貝USs=------------------=5a3=5.

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式，考查了推

理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

6.（5分）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則

截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

【考點(diǎn)剖析】由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入

棱錐的體積公式計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為

三棱錐，

，正方體切掉部分的體積為IX1X1=1,

326

...剩余部分體積為1-工=

66

截去部分體積與剩余部分體積的比值為

5

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖判斷幾何體的形狀，求幾何體的體積.

7.（5分）已知三點(diǎn)A（1,0）,B（0,遮），C（2,遮）則4ABC外接圓

的圓心到原點(diǎn)的距離為（）

A."B.-^^D.A

3333

【考點(diǎn)剖析】利用外接圓的性質(zhì)，求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離公

式即可求出結(jié)論.

【解答】解：因?yàn)閍ABC外接圓的圓心在直線BC垂直平分線上，即直線x=1

上，

可設(shè)圓心P（l,p）,由PA=PB得

P占V1+（P-V3）2,

得p=乎

O

圓心坐標(biāo)為p（i,2叵），

3___________

所以圓心到原點(diǎn)的距離|OP|=J]+（2*2=僭空

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓性質(zhì)及4ABC外接圓的性質(zhì)，了解性質(zhì)并靈運(yùn)用是解

決本題的關(guān)鍵.

8.(5分)如圖程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的"更

相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18,則輸出的2=()

A.OB.2C.4D.14

【考點(diǎn)剖析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a,b的值，當(dāng)

a=b=2時(shí)不滿足條件aWb,輸出a的值為2.

【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得

a=14,b=18

滿足條件a#b,不滿足條件a>b,b=4

滿足條件aWb,滿足條件a>b,a=10

滿足條件aWb,滿足條件a>b,a=6

滿足條件aWb,滿足條件a>b,a=2

滿足條件aWb,不滿足條件a>b,b=2

不滿足條件aWb,輸出a的值為2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.

9.(5分)已知等比數(shù)列國(guó)｝滿足ai=L，a3a5=43-1),則a?=()

4

A.2B.IC.1D.1

28

【考點(diǎn)剖析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,

Va.a3a5=4（a4-1）,

14

?e,（點(diǎn)產(chǎn)Xq6=4（yq3-l）?

化為q3=8,解得q=2

則a2=—X2=—?

42

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.（5分）已知A,B是球。的球面上兩點(diǎn)，ZAOB=90°,C為該球面上的

動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐0-ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為（）

A.36nB.64nC.144nD.256n

【考點(diǎn)剖析】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐0-ABC的體積

最大，利用三棱錐0-ABC體積的最大值為36,求出半徑，即可求出球。的

表面積.

【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐0

-ABC的體積最大，設(shè)球。的半徑為R,此時(shí)Vo-ABC=Vc-AOB=-^X—XR2XR

32

=J_R3=36,故R=6,則球。的表面積為4TIR2=144n,

6

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計(jì)算，確定點(diǎn)C位于垂直于

面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐0-ABC的體積最大是關(guān)鍵.

11.(5分)如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2,BC=1,。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P

沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動(dòng)，記NBOP=X.將動(dòng)點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和表

示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)的圖象大致為()

DP

【考點(diǎn)剖析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)系，利用排除法進(jìn)行求解即可.

2,

【解答】解：當(dāng)OWxW三時(shí),BP=tanx,AP=7A?+BP=V4+tanx

4

此時(shí)f(x)=V4+tan2x+tanXjOWxW三，此時(shí)單調(diào)遞增，

4

當(dāng)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，工WxW”且x#工時(shí)

442

如圖所示，tan/POB=tan(n-ZPOQ)=tanx=-tanZPOQ=--=-—,

OQOQ

Z.OQ=-,

tanx

PD=AO-OQ=1+——,PC=BO+OQ=1-—,

tanxtanx

22

.?.PA+PB=I(1--^—)+i+J(1+-^—)+r

VtanxVtanx

當(dāng)*=三時(shí)，PA+PB=2圾，

當(dāng)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，上工WXWTI,PA+PB=2V-tanx,

4vA?Tanx

由對(duì)稱性可知函數(shù)f(x)關(guān)于x=二對(duì)稱，

2

且f(2L)>f(2L),且軌跡為非線型，

42

排除A,C,D,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，根據(jù)條件先求出04W個(gè)時(shí)的

解析式是解決本題的關(guān)鍵.

12.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=In(l+|x|)-―^―,則使得f(x)>f(2x-1)

1+x2

成立的X的取值范圍是()

A.(-8,1)u(1,+8)B.(L1)

33

CD.(-8,-1,)U(-l,+8)

【考點(diǎn)剖析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可

得到結(jié)論.

【解答】解：?.?函數(shù)f(x)=ln(l+|x|)為偶函數(shù)，

1+x2

且在x20時(shí)，f(x)=ln(l+x)i―,

1+x2

導(dǎo)數(shù)為f'(x)=」-+—>0,

—3)2

即有函數(shù)f(x)在［0,+8)單調(diào)遞增，

Af(x)>f(2x-1)等價(jià)為f(|x|)>f(|2x-1|),

gp|x|>|2x-l|,

平方得3x2-4x+l<0,

解得：1<X<1,

3

所求x的取值范圍是(［，1).

3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合

應(yīng)用，運(yùn)用偶函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

13.(3分)已知函數(shù)f(x)=ax3-2x的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,4)則a=-2.

【考點(diǎn)剖析】f(x)是圖象過(guò)點(diǎn)(-1,4),從而該點(diǎn)坐標(biāo)滿足函數(shù)f(x)解

析式，從而將點(diǎn)(-1,4)帶入函數(shù)f(x)解析式即可求出a.

【解答】解：根據(jù)條件得：4=-a+2；

a=-2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)解析式的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能

力，比較基礎(chǔ).

'x+y-540

14.(3分)若x,y滿足約束條件?2xp-l>0,則z=2x+v的最大值為8.

x-2y+l<0

【考點(diǎn)剖析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用

數(shù)形結(jié)合確定z的最大值.

【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分ABC).

由z=2x+y得y=-2x+z,

平移直線y=-2x+z,

由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-2x+z的截距最大，

此時(shí)z最大.

由卜+y-5=0,解得卜=3,即A(3,2)

Ix-2y+l=0[y=2

將A(3,2)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y,

得z=2X3+2=8.即z=2x+y的最大值為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形

結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法.

15.（3分）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)（4,正）且漸近線方程為丫=±*x，則該雙曲線的

標(biāo)準(zhǔn)方程是lx2-v2=l.

__4_----------

【考點(diǎn)剖析】設(shè)雙曲線方程為y2-Lx2=入，代入點(diǎn)（4,、石），求出入，即可求

4

出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答】解：設(shè)雙曲線方程為丫2-工＜2=入，

4

代入點(diǎn)（4,F）,可得3-1x16=入，

4

???入二-1,

...雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是LX2-y2=L

4

故答案為：lx2-y2=1.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確設(shè)出雙曲線

的方程是關(guān)鍵.

16.（3分）已知曲線戶x+lnx在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線丫=2*2+（a+2）x+1

相切，則a=8.

【考點(diǎn)剖析】求出y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由

于切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切點(diǎn)，進(jìn)而可聯(lián)立切線與

曲線方程，根據(jù)△=0得到a的值.

【解答】解：y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)為y'=l+L

X

曲線y=x+lnx在x=1處的切線斜率為k=2,

則曲線y=x+lnx在x=l處的切線方程為y-1=2x-2,即y=2x-1.

由于切線與曲線y=ax?+(a+2)x+1相切,

故y=ax2+(a+2)x+1可聯(lián)立y=2x-1,

得ax2+ax+2=0,

又aWO,兩線相切有一切點(diǎn)，

所以有△=a2-8a=0,

解得a=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函

數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切線方程運(yùn)用兩線相切的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.解答題

17.AABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分NBAC,BD=2DC

(0)求中軍.

sin/C

(0)若NBAC=60°,求NB.

【考點(diǎn)剖析】(回)由題意畫出圖形，再由正弦定理結(jié)合內(nèi)角平分線定理得答案；

(回)由NC=180。-(ZBAC+ZB),兩邊取正弦后展開(kāi)兩角和的正弦，再結(jié)合

(回)中的結(jié)論得答案.

【解答】解：(回)如圖，

由正弦定理得：

AD二BDAD二DC

sin/Bsin/BAD'sin/Csin/CAD

「AD平分NBAC,BD=2DC,

?sin/B二DC].

?'sinNC=

(回)?.,NC=180°-(ZBAC+ZB),ZBAC=60°,

,?sin/Cusinl/BAC+NBj^^-cosNB+'sinNB，

由(國(guó))知2sir)NB=sinNC,

/.tanZB=返，即NB=30°.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了內(nèi)角平分線的性質(zhì),考查了正弦定理的應(yīng)用，是中檔題.

18.某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40

個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分

布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表

X地區(qū)用戶薪意度評(píng)分的頻率分布直方圖3地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表

滿意度評(píng)分分[50,[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

組60)

頻數(shù)2814106

(1)做出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比較兩地區(qū)

滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)

(0)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)不等級(jí)：

滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意

估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)剖析】(I)根據(jù)分布表的數(shù)據(jù)，畫出頻率直方圖，求解即可.

(II)計(jì)算得出CA表示事件："A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意"，CB表示事

件："B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”，

P(CA),P(CB),即可判斷不滿意的情況.

【解答】解：(回)

H地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

通過(guò)兩個(gè)地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度

評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值,

B地區(qū)的用戶滿意度評(píng)分的比較集中，而A地區(qū)的用戶滿意度評(píng)分的比較分散.

(0)A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.

記CA表示事件："A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意"，CB表示事件："B地區(qū)

用戶的滿意度等級(jí)為不滿意"，

由直方圖得P(CA)=(0.01+0.02+0.03)X10=0.6

得

P(CB)=(0.005+0.02)X10=0.25

...A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率直方圖，頻率表達(dá)運(yùn)用，考查了閱讀能力，屬于中

檔題.

19.(12分)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=16,BC=10,AAi=8,

點(diǎn)E,F分別在AiBi,DiJ上，AiE=DiF=4.過(guò)E,F的平面a與此長(zhǎng)方體的

面相交，交線圍成一個(gè)正方形

(0)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)出畫法和理由)

(0)求平面a把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.

D

【考點(diǎn)剖析】（回）利用平面與平面平行的性質(zhì)，可在圖中畫出這個(gè)正方形；

（回）求出MH=\EH2_EM2=6,AH=10,HB=6,即可求平面a把該長(zhǎng)方體分

成的兩部分體積的比值.

【解答】解：（回）交線圍成的正方形EFGH如圖所示；

（回）作EM_LAB,垂足為M,則AM=AiE=4,EBi=12,EM=AAi=8.

因?yàn)镋FGH為正方形，所以EH=EF=BC=10,

于是MH=VEH2-EM2=6,AH=10,HB=6.

因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面a分成兩個(gè)高為10的直棱柱，

所以其體積的比值為旦.

7

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

20.橢圓C：亨與=1,（a>b>0）的離心率返，點(diǎn)（2,揚(yáng)在C上.

a?/2

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線I不過(guò)原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，I與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段

AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值.

【考點(diǎn)剖析】（1）利用橢圓的離心率，以及橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求解橢圓的幾何量，

然后得到橢圓的方程.

（2）設(shè)直線I：y=kx+b,（kWO,bWO）,A（xi，yi）,B3，yz）,M

（XM，VM），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過(guò)韋達(dá)定理求解KOM，然后推出

直線0M的斜率與I的斜率的乘積為定值.

22r~

【解答】解：（1）橢圓C：.+9=1,（a>b>0）的離心率浮，點(diǎn)（2,

我）在C上，可得返至二坐,冬凸二1，解得a2=8,b2=4,所求橢

a2a2b2

22

圓C方程為：工+匚=1.

84

（2）設(shè)直線I：y=kx+b,（kWO,bWO）,A（xi，yi）,B（X2，y2），M

（XM，VM）>

22

把直線y=kx+b代入［-+（_=］可得（2k2+l）x2+4kbx+2b2-8=0,

痂v_x1x2__2kb,,_<,?_b

放XM-----------------------T-，YM-kXM^b-—

22k*+l2kJ+l

于是在OM的斜率為：KOM=—=~,即K0M?k=J-.

q2k2

，直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓的方程的求法，考查分析問(wèn)題解

決問(wèn)題的能力.

21.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+a（1-x）.

（回）討論：f（x）的單調(diào)性；

（回）當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于2a-2時(shí)，求a的取值范圍.

【考點(diǎn)剖析】（回）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）先求出函數(shù)的最大值，再構(gòu)造函數(shù)（a）=lna+a-1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性

即可求出a的范圍.

【解答】解：（回）f（x）=lnx+a（1-x）的定義域?yàn)椋?,+°°）,

（x）=l-a=包，

XX

若aWO,則E（x）>0,，函數(shù)f（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

若a>0,則當(dāng)x￡(0,—)時(shí)，f(x)>0,當(dāng)x￡(―,+oo)時(shí)，F(xiàn)(x)

aa

<0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(!，+8)上單調(diào)遞減，

aa

(0),由(團(tuán))知，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)在(0,+8)上無(wú)最大值；當(dāng)a>0

時(shí)，f(x)在x二上取得最大值，最大值為f(工)=-lna+a-1,

aa

Vf(1)>2a-2,

a

/.Ina+a-l<0,

令g(a)=Ina+a-1,

Vg(a)在(0,+8)單調(diào)遞增，g(1)=0,

.,.當(dāng)OVaVl時(shí)，g(a)<0,

當(dāng)a>l時(shí)，g(a)>0,

，a的取值范圍為(0,1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，屬

于中檔題.

四、選修4-1：幾何證明選講

22.(10分)如圖，0為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，。。與AABC的底邊BC交

于M,N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G,且與AB,AC分別相切于E,F

兩點(diǎn).

(1)證明：EF/7BC；

(2)若AG等于的半徑，且AE=MN=2?,求四邊形EBCF的面積.

【考點(diǎn)剖析】(1)通過(guò)AD是NCAB的角平分線及圓。分別與AB、AC相切于點(diǎn)

E、F,利用相似的性質(zhì)即得結(jié)論;

(2)通過(guò)(1)知AD是EF的垂直平分線，連結(jié)OE、0M,則OELAE,利用

S.ABC-SAAEF計(jì)算即可.

【解答】（1）證明：?.'△ABC為等腰三角形，AD±BC,

，AD是NCAB的角平分線，

又：圓0分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F,

，AE=AF,AAD1EF,

，EF〃BC；

（2）解：由（1）知AE=AF,AD±EF,二AD是EF的垂直平分線,

又YEF為圓0的弦，，0在AD上,

連結(jié)OE、0M,則OEJ_AE,

由AG等于圓0的半徑可得A0=20E,

/.ZOAE=30°,.'.△ABC與4AEF都是等邊三角形，

：AE=2?,.*.AO=4,OE=2,

VOM=OE=2,DM=1MN=J3Z.OD=1,

2

，AD=5,AB=

3

x2X

四邊形EBCF的面積為,X（―）奴亨-y（2V3）返=

23

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線與線之間的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，注

意解題方法的積累，屬于中檔題.

五、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

23.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci：產(chǎn)k°sad為參數(shù)，1工。），

［尸tsina

其中OWaWm在以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線Cz：p=

2sin0,C3：p=2A/3COS0.

（1）求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

(2)若Ci與C2相交于點(diǎn)A,Ci與