高三數(shù)學寒假作業(yè)3

關(guān)注公眾號《品數(shù)學》高中數(shù)學資料共享群（284117036）高三數(shù)學寒假作業(yè)3一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)z1＝3+4i，z2＝1+i，則z1A．7+i B．7﹣i C．﹣7+i D．﹣7﹣i2．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，則A∩（?RB）＝（）A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]3．已知直線l：y＝k（x+3）和圓C：x2+（y﹣1）2＝1，若直線l與圓C相切，則kA．0 B．3 C．33或0 D．34．已知α為第三象限角，tanα=43，則A．210 B．-210 C．75．已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是（）A．f（x）=ln|x|ex B．f（x）＝exln|C．f(x)=ln|x|x D．f（x）＝（x﹣1）ln|6．已知a=(12)0.5，b＝log20.3，c＝ab，則a，A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a(chǎn)＜c＜b7．如圖，為測得河對岸鐵塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在鐵塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東30°方向走10m到位置D，測得∠BDC＝45°，則鐵塔AB的高為（）A．30+103 B．30-103 C．10+108．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若判斷框中的條件是n＞6，則輸出的結(jié)果為（）A．72 B．30 C．42 D．569．某地2004年第一季度應聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下行業(yè)名稱計算機機械營銷物流貿(mào)易應聘人數(shù)2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計算機營銷機械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891157651670436若用同一行業(yè)中應聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢一定是（）A．計算機行業(yè)好于化工行業(yè) B．建筑行業(yè)好于物流行業(yè) C．機械行業(yè)最緊張 D．營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張10．雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為60°的直線與y軸和雙曲線的右支分別交于AA．3 B．2+3 C．2 D．211．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學思想方法，對時代的進步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．即F（1）＝F（2）＝1，F(xiàn)（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），（n≥3，n∈N*）．此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領(lǐng)域有著廣泛的應用，若此數(shù)列被4除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn}，又記數(shù)列{cn}滿c1＝b1，c2＝b2，cn＝bn﹣bn﹣1（n≥3，n∈N*），則c2020＝（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．012．不等式ax﹣2a＞2x﹣lnx﹣4（a＞0）解集中有且僅含有兩個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（ln3，2） B．[2﹣ln3，2） C．（0，2﹣ln3] D．（0，2﹣ln3）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13．已知曲線y=x24-3lnx的一條切線的斜率為14．已知向量a→=(2，1)，b→=(3，4)，c→=(k，2)，若向量3a15．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bsinA=a(2-3cosB)，b＝4，點D為邊AB上的一點，CD＝2，銳角△ACD的面積為15，則c＝16．已知點P，A，B，C均在表面積為81π的球面上，其中PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，AC=3AB，則三棱錐P﹣ABC的體積的最大值為三、解答題（共70分，解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，第22-23題為選考題）17．（12分）某學校為緩解學生的學習壓力，其中高三年級經(jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓練活動，經(jīng)過一段時間的訓練后從該年級1600名學生中隨機抽取200名學生進行測試，并將其成績分為A、B、C、D、E五個等級，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示（視頻率為概率）：根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，回答下列問題：（1）試估算該校高三年級學生獲得成績?yōu)锽的人數(shù)；（2）若等級A、B、C、D、E分別對應100分、90分、80分、70分、60分，學校要求平均分達90分以上為“考前心理穩(wěn)定整體過關(guān)”，請問該校高三年級目前學生的“考前心理穩(wěn)定整體”是否過關(guān)？（3）為了解心理健康狀態(tài)穩(wěn)定學生的特點，現(xiàn)從D、E兩種級別中，用分層抽樣的方法抽取5個學生樣本，再從中任意選取2位學生樣本分析，求事件“至少1位學生來自D級別”的概率．18．（12分）已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a2a4＝16．（1）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn．19．（12分）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，底面ABCD是矩形，EF＜BC．（1）證明：EF∥平面ABCD；（2）在中國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中，稱圖中所示的五面體ABCDEF為“芻甍”（chúméng），書中將芻甍ABCDEF的體積求法表述為：術(shù)曰：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一．其意思是：若芻甍ABCDEF的“下袤”BC的長為a，“上袤”EF的長為b，“廣”AB的長為c，“高”即“點F到平面ABCD的距離”為h，則芻甍ABCDEF的體積V的計算公式為：V=1高三數(shù)學寒假作業(yè)3（答案解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)z1＝3+4i，z2＝1+i，則z1A．7+i B．7﹣i C．﹣7+i D．﹣7﹣i【解答】解：∵z2＝1+i，∴z2又z1＝3+4i，∴z1?z2=（3+4i）（1﹣i）＝3+4i故選：A．2．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，則A∩（?RB）＝（）A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]【解答】解：?RB＝{x|x＜2}；∴A∩（?RB）＝（﹣2，2）．故選：C．3．已知直線l：y＝k（x+3）和圓C：x2+（y﹣1）2＝1，若直線l與圓C相切，則kA．0 B．3 C．33或0 D．3【解答】解：由圓的方程得到圓心C（0，1），半徑r＝1，∵圓心C（0，1）到直線l：y＝k（x+3）和的距離d=∴k=3故選：D．4．已知α為第三象限角，tanα=43，則A．210 B．-210 C．7【解答】解：∵α為第三象限角，tanα=4∴cosα=-11+tan2∴cos(π4+α)=22cosα-22sinα=22故選：A．5．已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是（）A．f（x）=ln|x|ex B．f（x）＝exln|C．f(x)=ln|x|x D．f（x）＝（x﹣1）ln|【解答】解：由圖象可知，f（x）是非奇非偶函數(shù)，排除C；當0＜x＜1時，圖象在x軸的上方，ln|x|＜0，ex＞0，排除A，B；故選：D．6．已知a=(12)0.5，b＝log20.3，c＝ab，則a，A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a(chǎn)＜c＜b【解答】解：0＜(12)0.5＜1，lo∴ab＞a0＝1，∴b＜a＜c．故選：C．7．如圖，為測得河對岸鐵塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在鐵塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東30°方向走10m到位置D，測得∠BDC＝45°，則鐵塔AB的高為（）A．30+103 B．30-103 C．10+10【解答】解：在△BCD中，∠B＝180°﹣45°﹣（90°+30°）＝15°，sin15°＝sin（45°﹣30°）=2∴BCsin45°=10sin15°，解得在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝10（3+1）×3=故選：A．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若判斷框中的條件是n＞6，則輸出的結(jié)果為（）A．72 B．30 C．42 D．56【解答】解：模擬程序的運行，可得s＝0，a＝2，n＝1；s＝2，a＝4；不滿足條件n＞6，執(zhí)行循環(huán)體，n＝2，s＝6，a＝6；不滿足條件n＞6，執(zhí)行循環(huán)體，n＝3，s＝12，a＝8；不滿足條件n＞6，執(zhí)行循環(huán)體，n＝4，s＝20，a＝10；不滿足條件n＞6，執(zhí)行循環(huán)體，n＝5，s＝30，a＝12；不滿足條件n＞6，執(zhí)行循環(huán)體，n＝6，s＝42，a＝14；不滿足條件n＞6，執(zhí)行循環(huán)體，n＝7，s＝56，a＝16；此時，滿足條件n＞6，退出循環(huán)，輸出s的值為56．故選：D．9．某地2004年第一季度應聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下行業(yè)名稱計算機機械營銷物流貿(mào)易應聘人數(shù)2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計算機營銷機械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891157651670436若用同一行業(yè)中應聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢一定是（）A．計算機行業(yè)好于化工行業(yè) B．建筑行業(yè)好于物流行業(yè) C．機械行業(yè)最緊張 D．營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張【解答】解：∵用同一行業(yè)中應聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，∴建筑行業(yè)招聘人數(shù)是76516，而應聘人數(shù)沒有排在前五位，小于65280，建筑行業(yè)人才是供不應求，∵物流行業(yè)應聘人數(shù)是74570，而招聘人數(shù)不在前五位，要小于70436，∴物流行業(yè)是供大于求，∴就業(yè)形勢是建筑行業(yè)好于物流行業(yè)，故選：B．10．雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為60°的直線與y軸和雙曲線的右支分別交于AA．3 B．2+3 C．2 D．2【解答】解：由題意可得直線方程為y=3（x+c當x＝0時，y=3c∴A（0，3c），∵F1（﹣c，0），設(shè)B（x，y），∴2×0＝x﹣c，23c＝y(tǒng)+0，∴x＝c，y＝23c，∴B（c，23c），∴c2即12c2∴b4＝12a2c2，即（c2﹣a2）2＝12a2c2，整理可得e4﹣14e2+1＝0，即e2＝7+43=（2+3）解得e＝2+故選：B．11．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學思想方法，對時代的進步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．即F（1）＝F（2）＝1，F(xiàn)（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），（n≥3，n∈N*）．此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領(lǐng)域有著廣泛的應用，若此數(shù)列被4除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn}，又記數(shù)列{cn}滿c1＝b1，c2＝b2，cn＝bn﹣bn﹣1（n≥3，n∈N*），則c2020＝（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0【解答】解：記“兔子數(shù)列”為{an}，則數(shù)列{an}每一項被4除后的余數(shù)構(gòu)成新的數(shù)列{bn}為1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，可得數(shù)列{bn}是周期為6的循環(huán)數(shù)列，由題意可知數(shù)列{cn}為1，1，1，1，﹣2，﹣1，1，0，1，1，﹣2，﹣1，…，觀察數(shù)列{cn}可知該數(shù)列從第三項開始后面所有的數(shù)列構(gòu)成一個周期為6的周期數(shù)列，所以c2020＝c4＝1，故選：A．12．不等式ax﹣2a＞2x﹣lnx﹣4（a＞0）解集中有且僅含有兩個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（ln3，2） B．[2﹣ln3，2） C．（0，2﹣ln3] D．（0，2﹣ln3）【解答】解：由題意可知，ax﹣2a＞2x﹣lnx﹣4，設(shè)g（x）＝2x﹣lnx﹣4，h（x）＝ax﹣2a．由g′（x）＝2-1x=2x-1x．可知g（x）＝2x﹣lnxh（x）＝ax﹣2a的圖象恒過點（2，0），在同一坐標系中作出g（x），h（x）的圖象如圖，若有且只有兩個整數(shù)x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＞0，則a＞0h(1)＞g(1)h(3)≤g(3)，即解得0＜a≤2﹣ln3，故選：C．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13．已知曲線y=x24-3lnx的一條切線的斜率為【解答】解：求導函數(shù)得：y′=x2-3x令x2-3x=12即（x則切點的橫坐標為3．故答案為：314．已知向量a→=(2，1)，b→=(3，4)，c→=(k，2)，若向量3a【解答】解：3a→-b→=(3，-1)，∴6+k＝0，解得k＝﹣6．故答案為：﹣6．15．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bsinA=a(2-3cosB)，b＝4，點D為邊AB上的一點，CD＝2，銳角△ACD的面積為15，則c＝15【解答】解：∵bsinA=a(2-3由正弦定理得sinBsinA＝sinA（2-3cosB∵sinA≠0，∴sinB＝2-3cosB即sinB+3cosB即2sin（B+π即sin（B+π∵0＜B＜π，∴B+π即B=π6，△ACD的面積為S=12即sin∠ACD=15∵△ACD是銳角三角形∴cos∠ACD=1-si由余弦定理得AD2＝22+42﹣2×2×4×1則AD＝4，在△ACD中，CDsinA∴sinA=15則△ABC中，BCsinA=ACsinB∴△ABC中，由余弦定理可得：42=(15)2+c2﹣215解得c=15故答案為：15+16．已知點P，A，B，C均在表面積為81π的球面上，其中PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，AC=3AB，則三棱錐P﹣ABC的體積的最大值為81【解答】解：點P，A，B，C均在表面積為81π的球面上，可得球的半徑為：81π4π∠BAC=30°，AC=3AB，可得BC=外接圓的半徑為：r=AB2sin30°三棱錐的高PA＝2(9則三棱錐P﹣ABC的體積：V==3令AB2＝x，則V2=1可得V≤818．當且僅當x=272故答案為：818三、解答題（共70分，解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，第22-23題為選考題）17．（12分）某學校為緩解學生的學習壓力，其中高三年級經(jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓練活動，經(jīng)過一段時間的訓練后從該年級1600名學生中隨機抽取200名學生進行測試，并將其成績分為A、B、C、D、E五個等級，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示（視頻率為概率）：根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，回答下列問題：（1）試估算該校高三年級學生獲得成績?yōu)锽的人數(shù)；（2）若等級A、B、C、D、E分別對應100分、90分、80分、70分、60分，學校要求平均分達90分以上為“考前心理穩(wěn)定整體過關(guān)”，請問該校高三年級目前學生的“考前心理穩(wěn)定整體”是否過關(guān)？（3）為了解心理健康狀態(tài)穩(wěn)定學生的特點，現(xiàn)從D、E兩種級別中，用分層抽樣的方法抽取5個學生樣本，再從中任意選取2位學生樣本分析，求事件“至少1位學生來自D級別”的概率．【解答】解：（1）從條形圖中可知這200人中，有112名學生成績等級為B，所以可以估計該校學生獲得成績等級為B的概率為，112200則該校高三年級學生獲得成績?yōu)锽的人數(shù)約有1600×14（2）這200名學生成績的平均分為91.3，∵91.3＞90，∴該校高三年級目前學生的“考前心理穩(wěn)定整體”已過關(guān)．（3）由題可知用分層抽樣的方法抽取5個學生樣本，其中D級3個，E級2個，從而任意選取2個學生，共有n=C記事件“至少1位學生來自D級別”為F，則事件F包含基本事件個數(shù)m=C∴事件“至少1位學生來自D級別”的概率為P(F)=918．（12分）已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a2a4＝16．（1）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn．【解答】解：（1）∵a1＝1，a2．a(chǎn)4＝16由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a2a4＝a32＝16且an＞0∴a3＝4，∴q2=a∴q＝2，q＝﹣2（舍去），∴an＝2n﹣1，∵bn＝log2an，∴bn＝n﹣1；（2）由（1）可知anbn＝（n﹣1）?2n﹣1，Sn＝0?20+1?21+2?22+…+（n﹣1）?2n﹣1，2Sn＝0?21+1?22+2?23+…+（n﹣1）?2n，兩式相減可得，﹣Sn＝2+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）?2n=2-2n1-2-（n﹣1）?2n∴Sn＝（n﹣2）2n+2．19．（12分）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，底