金屬自由電子氣模型

關(guān)于金屬自由電子氣模型第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六§1金屬的Drude模型金屬在固體特性的研究中占據(jù)重要位置：元素單質(zhì)材料中最為常見的是金屬；金屬具有良好的電導(dǎo)率、熱導(dǎo)率等。嘗試對金屬特性的理解也是現(xiàn)代固體理論的發(fā)端。在J.J.Thomson于1897年發(fā)現(xiàn)電子3年之后，Drude根據(jù)氣體運(yùn)動(dòng)論建立了金屬自由電子氣模型，把金屬中的電子看到由電子組成的理想氣體。作為研究金屬特性的Drude模型在1900年提出，現(xiàn)在仍然被用來迅速了解金屬及其它一些材料的特性。這個(gè)模型后來經(jīng)過稍許修改就取得了巨大成功。第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六1.Drude模型1）傳導(dǎo)電子和芯電子

Na:KLM1s2s2p3s

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Na蒸汽3s軌道半徑0.19nmNa固體最近鄰原子間距0.365nm第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六1.Drude模型1）傳導(dǎo)電子和芯電子

Na:KLM1s2s2p3s

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芯電子(coreelectrons)Na蒸汽3s軌道半徑0.19nmNa固體最近鄰原子間距0.365nm傳導(dǎo)電子conductionelectron第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六1.Drude模型和凝膠模型1）傳導(dǎo)電子和芯電子

凝膠模型（Jelliummodel）

金屬就是正離子浸沒于傳導(dǎo)電子氣中的集合體。正離子和傳導(dǎo)電子氣之間的相互作用就是金屬中原子的結(jié)合力。金屬表面存在著一種把傳導(dǎo)電子限制在金屬范圍內(nèi)的勢壘，而在金屬內(nèi)部，勢能是均勻的，好像傳導(dǎo)電子在一個(gè)均勻的勢場中運(yùn)動(dòng)，相對勢能為零。第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六2)傳導(dǎo)電子密度

傳導(dǎo)電子密度n：單位體積的傳導(dǎo)電子數(shù)

原子數(shù)/mole:N0=6.022?1023，Avogadro常數(shù)

mole數(shù)/cm3:ρm/A,其中m是金屬的質(zhì)量密度（g/cm3），A是元素的原子量

Z是每個(gè)原子貢獻(xiàn)的價(jià)電子（傳導(dǎo)電子）數(shù)目（電子密度）第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六對于金屬，n的典型值為1022-1023/cm3。這個(gè)值要比理想氣體的密度高上千倍將每個(gè)電子平均占據(jù)的體積等效成球體，則：定義電子占據(jù)體積的等效球半徑：rs的典型值?。第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六3)Drude模型的假設(shè)（1）自由電子近似（Freeelectronapproximation）：忽略電子——離子的相互作用獨(dú)立電子近似（Independentelectronapproximation）：忽略電子——電子之間的相互作用（2）電子之間的碰撞是瞬時(shí)的，經(jīng)過碰撞，電子速度的改變也是突然的。第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六（3）電子在dt時(shí)間所受碰撞的幾率正比于

dt/通常被成為弛豫時(shí)間（Relaxationtime），相應(yīng)的近似被成為弛豫時(shí)間近似（Relaxationtimeapproximation）。這個(gè)圖像所描述的碰撞過程為：電子在某時(shí)刻受到碰撞，電子的速度瞬時(shí)被改變，然后電子的運(yùn)動(dòng)為自由運(yùn)動(dòng)，（如果存在外場，會(huì)受到外場力的作用），電子平均自由運(yùn)動(dòng)時(shí)間后再一次受到碰撞。第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六（4）電子通過碰撞處于熱平衡狀態(tài)。電子熱平衡的獲得被假定通過一個(gè)簡單的途徑達(dá)到，即碰撞前后的速度沒有關(guān)聯(lián)（電子對自己的速度歷史沒有記憶）。電子熱平衡分布滿足Bolzmann統(tǒng)計(jì)（經(jīng)典統(tǒng)計(jì)）Drude模型所描述的受到離子散射的電子運(yùn)動(dòng)軌跡。第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六2.金屬的直流電導(dǎo)這是最早從實(shí)驗(yàn)上確定的，但是為什么會(huì)如此？歐姆定律（Ohm’slaw）：歐姆定律更一般的形式（微分形式）：按照Drude模型分析：假定t時(shí)刻電子的平均動(dòng)量為p(t)，經(jīng)過dt時(shí)間，電子沒有受到碰撞的幾率為1-dt/，那么這部分電子對平均動(dòng)量的貢獻(xiàn)為(1.2.1)1)電導(dǎo)率第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六上式中F(t)是電子所受的外力。對于受到碰撞的電子對平均動(dòng)量的貢獻(xiàn)：這部分電子的比率為dt/，它們受到碰撞后無規(guī)取向（動(dòng)量無規(guī)取向?qū)ζ骄鶆?dòng)量無貢獻(xiàn)）。這部分電子對平均動(dòng)量的貢獻(xiàn)在于受到碰撞前從外場獲得的動(dòng)量，由于碰撞發(fā)生在t+dt時(shí)刻或之前，因此對平均動(dòng)量的總貢獻(xiàn)小于這里涉及dt的二次項(xiàng)，是個(gè)二階小量，可以略去。(1.2.2)第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六(1.2.2)式在一級(jí)近似下為(1.2.3)更簡練的形式為(1.2.4)引入外場作用下電子的漂移速度（Driftvelocity）d(1.2.5)碰撞的作用，相當(dāng)于一個(gè)阻尼項(xiàng)第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六對于恒定外電場的穩(wěn)態(tài)情況，(1.2.5)式為：(1.2.6)相應(yīng)地：(1.2.8)(1.2.7)第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六2）金屬中電子的弛豫時(shí)間(1.2.9)在室溫下，金屬典型的電阻值為10-6Ohm-cm，如果電阻值用Ohm-cm為單位，弛豫時(shí)間的大小為：其中，為金屬電阻率，rs為一個(gè)所占據(jù)體積的等效球半徑，a0為玻爾半徑。金屬Cu的室溫電阻率ρ=1.56?10-6Ohm-cm,τ=2.7?10-14sec(1.2.10)第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六3）金屬中電子的平均自由程在室溫下，電子平均速度v0的典型值為107

cm/s，

則l=1nmDrude模型是自洽的。l=v0τ;而mv02/2=3kBT/2第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六3.金屬熱導(dǎo)率當(dāng)溫度梯度存在時(shí)，在金屬中就會(huì)有熱流產(chǎn)生：此即Fourier’sLaw。其中JQ是熱流，是熱導(dǎo)率，T是溫度梯度。金屬的熱導(dǎo)率一般大于絕緣體的，因此金屬的熱導(dǎo)率可以歸結(jié)為自由電子的貢獻(xiàn)。按照Drude模型，我們可以套用理想氣體熱導(dǎo)率公式得：(1.5.1)(1.5.2)其中CV是電子氣熱容，v是電子運(yùn)動(dòng)的平均速度，是電子平均自由程，是電子弛豫時(shí)間。第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六計(jì)算比值：應(yīng)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的結(jié)果：我們有：(1.5.3)(1.5.4)(1.5.5)(1.5.6)第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六這就是Wiedemann-Franz關(guān)系，該常數(shù)被稱為Lorenz數(shù)（Lorenznumber）。實(shí)際上，Lorenz數(shù)比上述值大一倍。這是Drude模型所無法解釋的。其實(shí)，Drude模型能夠給出數(shù)量級(jí)正確的結(jié)果也是因?yàn)榍珊?，對CV估計(jì)大了兩個(gè)數(shù)量級(jí)，對v2估計(jì)小了兩個(gè)數(shù)量級(jí)。(1.5.7)(1.5.8)第19頁，共21頁，202