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-.z.相似三角形的性質(zhì)知識(shí)精要相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比稱(chēng)為這兩個(gè)三角形的相似比,形似比用字母k表示。如△ABC∽△A'B'C',則,注意:相似比具有方向性,若寫(xiě)作△A'B'C'∽△ABC,則相似比為。根據(jù)合比容易得到"相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比”,記△ABC和△A'B'C'的周長(zhǎng)分別為和,則.類(lèi)型一相似比與周長(zhǎng)比在有關(guān)相似三角形的計(jì)算問(wèn)題中,通過(guò)對(duì)應(yīng)邊的比例式建立方程式常用的方法。例題精解例1如圖,已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,過(guò)重心G作DE//BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.點(diǎn)P在BC上,若△BDP與△CEP相似,求BP的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng):這是一類(lèi)常見(jiàn)的有關(guān)三角形相似的分類(lèi)討論的問(wèn)題。圖中只能確定一組相等的角(∠B=∠C)為對(duì)應(yīng)角,但"這個(gè)角的兩組夾邊對(duì)應(yīng)成比例”的比例式排列順序還不能完全確定,因此要分為兩種情況進(jìn)行討論。【舉一反三】如圖,△ABC中,CD是角平分線(xiàn),E在A(yíng)C上,CD2=CB·CE.求證:△ADE∽△ACD;如果AD=6,AE=4,DE=5,求BC的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng):先根據(jù)判定定理2得到△BCD∽△DCE,再根據(jù)判定定理1得到△ADE∽△ACD,這種類(lèi)似于"二次全等”的"二次相似”是證明相似三角形常用的方法。如圖,△ABC中,DE//BE,分別交AB于D,交AC于E。已知AB=7,BC=8,AC=5,且△ADE與四邊形BCED的周長(zhǎng)相等,求DE的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng):無(wú)論是以相似比k作為未知量,還是以DE=*作為未知量,目的都是為了把其他的量用k或*來(lái)表示,根據(jù)題設(shè)的等量關(guān)系列方程。這一解題思路可稱(chēng)為"方程思想”,這是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的基本思想。如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AC上,沿EF將△AEF翻折,使點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)D.已知AE:AF=5:4,求BD的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng):本題的難點(diǎn)是將比值轉(zhuǎn)化為△BED和△CDF的相似比和周長(zhǎng)比。類(lèi)型二相似比與對(duì)應(yīng)線(xiàn)段之比如圖△ABC∽△A'B'C',相似比為k,若AH,AM,AE和A'H',A'M',A'E'分別是△ABC和△A'B'C'的高、中線(xiàn)和角平分線(xiàn),則。廣義地說(shuō),所謂"對(duì)應(yīng)線(xiàn)段”應(yīng)當(dāng)包括兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)位置上的所有對(duì)應(yīng)線(xiàn)段,如上圖2中BE和B'E',ME和M'E'等;而相似三角形對(duì)對(duì)應(yīng)位置上的所有三角形也都是相似三角形,如圖2中的△ABE∽△A'B'E',△AME∽△A'M'E'等。例2如圖,△ABC中,D在BC上,∠DAC=∠B,角平分線(xiàn)CE交AD于F.已知BD=1,DC=3.求CF:EF的值。點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形中對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的相似比問(wèn)題?!九e一反三】如圖,∠BAE=90°,AB=AC=CD=DE,F是BC的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)BE,BD,DF.找出圖中的相似三角形并說(shuō)明理由;求DF:DB的值。點(diǎn)評(píng):第(2)小題也可以將看作是△CFD∽△CDB的對(duì)應(yīng)邊之比。如圖,Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分別為E,F。求證:DE2:DF2=AD:DB.點(diǎn)評(píng):解題思路從相似三角形的面積比入手。一方面,相似三角形的面積比等于相似比的平方;另一方面,登高的三角形面積之比等于相應(yīng)的邊長(zhǎng)之比,從而建立起與線(xiàn)段平方比有關(guān)的比例式。一塊直角三角形木板的兩條直角邊AB長(zhǎng)為1.5米,BC長(zhǎng)為2米,工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的的正方形桌面,請(qǐng)甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)加工方案,甲設(shè)計(jì)方案如圖1-4-9,乙設(shè)計(jì)方案如圖1-4-10.你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案中正方形面積較大?試說(shuō)明理由。(加工損耗忽略不計(jì),計(jì)算結(jié)果中可保留分?jǐn)?shù))點(diǎn)評(píng):利用"相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比”,是解三角形的內(nèi)接矩形問(wèn)題的常用方法。類(lèi)型三相似比與面積比相似三角形的面積之比等于相似比的平方。例如,如圖1-4-12,△ABC中,D,E和F,G分別是AB和AC的三等分點(diǎn),則△ADF,△AEG,△ABC的周長(zhǎng)比是1:2:3,面積比是1:4:9,而DF,EG將△ABC分成的三部分面積之比1:3:5.另外,兩個(gè)有公共高的三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)的底邊之比。例如,如圖1-4-13,△ABC中,∠C=90°,CD是高,則△ADC∽CDB,,另外,CD是它們的公共高,故,這樣我們就很容易得到一個(gè)比例式:.這種證明方法稱(chēng)為"面積法”例3如圖,△ABC中,過(guò)重心G作DE//BC分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,作DF//AC交BC于點(diǎn)F.求證:。點(diǎn)評(píng):這個(gè)結(jié)果說(shuō)明,三角形ADE與四邊形DECF面積相等,這種等積變換很難通過(guò)畫(huà)平行線(xiàn)的方法驗(yàn)證,只有利用相似三角形的性質(zhì)通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證?!九e一反三】如圖,△ABC中,點(diǎn)D在BC上,∠DAC=∠B.求證:AB2:AD2=BC:DC.如圖,梯形ABCD中,AD//BC,AC交BD于O.若,求;若(m,n為正數(shù)),試用m,n表示梯形ABCD的面積S.點(diǎn)評(píng):在梯形中,兩條對(duì)角線(xiàn)將梯形分為4個(gè)小三角形,其中分別以?xún)傻诪檫叺膬蓚€(gè)小三角形是相似關(guān)系,它們不可能全等(因?yàn)閮傻资菍?duì)應(yīng)邊,不可能相等);另兩個(gè)以腰為邊的小三角形是等積關(guān)系(面積相等),它們可能全等(當(dāng)?shù)妊菪螘r(shí)),但不可能是非全等的相似關(guān)系。如圖,平行四邊形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,聯(lián)結(jié)EF,AC.求證:△ABC∽△EAF.若AB=3BE,AD=9,平行四邊形ABCD的面積為,求EF的長(zhǎng)。內(nèi)容提煉相似三角形的性質(zhì)包括三個(gè)方面:由定義確定的性質(zhì)----相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,對(duì)應(yīng)邊的比值稱(chēng)為相似比,用k表示;注意相似比的"方向性”,必須是排在前面的三角形邊長(zhǎng)除以排在后面的三角形邊長(zhǎng)。若△ABC∽△DEF,則當(dāng)k>1時(shí),說(shuō)明由△ABC到△DEF是縮小的;當(dāng)k<1時(shí),說(shuō)明由△ABC到△DEF是放大的;當(dāng)k=1時(shí),△ABC≌△DEF,因此,全等是相似的特殊情況。性質(zhì)1:相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比,"對(duì)應(yīng)線(xiàn)段”包括對(duì)應(yīng)角的角平分線(xiàn),對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)和對(duì)應(yīng)邊上的高。實(shí)際上"對(duì)應(yīng)線(xiàn)段”還可以推廣到兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)位置上的任何一種對(duì)應(yīng)線(xiàn)段,例如:兩個(gè)相似三角形外接圓半徑的比、內(nèi)切圓半徑的比都等于相似比。性質(zhì)2:相似三角形面積的比等于相似比的平方,實(shí)際上還可以推廣到兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)位置上的任何圖形的面積比都等于相似比的平方,例如:兩個(gè)相似三角形外接圓面積的比、內(nèi)切圓面積的比都等于相似比的平方。學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)要克服一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤。例如:在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí),在書(shū)寫(xiě)過(guò)程中忘記交代"相似”這一條件,或是沒(méi)有注意對(duì)應(yīng)關(guān)系。誤認(rèn)為通過(guò)"兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比等于*一對(duì)應(yīng)邊的比”或"兩個(gè)三角形的面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的平方比”就可以判斷這兩個(gè)三角形相似。在運(yùn)用性質(zhì)2時(shí)忘記加平方,認(rèn)為面積比等于相似比。鞏固提高(必做題,要求步驟完整,邏輯清晰)如圖,DF//EG//BC,AD:DE:EB=1:2:3,如果為△ADF面積,為梯形DEGF面積,為梯形EBCG面積,則為()(A)1:4:9;(B)1:9:36;(C)1:8:27;(D)1:7:19已知一個(gè)三角形的三邊之比為3:4:5,與此三角形相似的另一個(gè)三角形最短邊的邊長(zhǎng)為6cm,則另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為()(A)12cm;(B)24cm;(C)36cm;(D)48cm若一個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng)為6cm,平行于這條邊的直線(xiàn)將該三角形分成面積相等的兩部分,則該直線(xiàn)被這個(gè)三角形兩邊所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為()(A)3cm;(B)cm;(C)cm;(D)cm若兩個(gè)相似三角形面積之比為3:4,則它們的周長(zhǎng)之比為如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線(xiàn)之比為2:3,其中較大的一個(gè)三角形的面積是36cm2,則另一個(gè)三角形的面積是cm2.如圖,AB//DC,AC交BD于O,過(guò)O作直線(xiàn)分別交AB,DC于M,N。若2OM=3ON,則△AOB與△COD的周長(zhǎng)之比為如圖,AB//DC,AC交BD于O,過(guò)O作直線(xiàn)分別交AB=3,AC=2,若將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB'C',則△ABB'與△ACC'的面積之比為梯形ABCD中,AD//BC,且AD:BC=3:4,BA與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P,若梯形ABCD的高是3cm,則點(diǎn)P到BC的距離為cm.如圖,△ABC中,D在A(yíng)C上,若AD=2DC,AB2=AC·AD,則BD:BC的值等于如圖,△ABC中,AB=6,AC=9,DE//BC分別交AB,AC于D,E,且DE=8,四邊形DBCE的周長(zhǎng)是25,求BC的長(zhǎng)。如圖,將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得△AB'C',當(dāng)AB'⊥BC時(shí)AC'//BC,且點(diǎn)C恰好在B'C'上。求△ABB'與△ACC'的面積之比。如圖,△ABC中,∠C=2∠B,D在BC上,AC2=BC·DC,且∠BAD=90°,點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)。試判斷△AEC的形狀并說(shuō)明理由。探究題如圖①,
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