人口指數(shù)增長模型和Logistic模型教學(xué)提綱

17901990（如下表，確定人口指數(shù)增長Logistic2010效果的圖形。表1美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年份1790180018101820183018401850人口(×3.95.37.29.612.917.123.2106)年份1860187018801890190019101920人口(×31.438.650.262.976.092.0106.106)5年份193019401950196019701980人口(×123.131.150.179.204.226.106)277305提示：0指數(shù)增長模型：x(t)xert0Logisticx

xmx m1 m1ertx0Malthusr，記時刻t的人口為x(tx(t為模型的狀態(tài)變量）且初始時刻的人dx

rx

，因?yàn)閐t 由假設(shè)可知x(t)

ert 經(jīng)擬合得到：0 x(0)x 00x(t)x

ertlnx(t)ln

yata0ylnx(t),

r,

0ln

1ra,

2ea21 2 0 1 0程序：t=1790:10:1980;x(t)=[3.9t=1790:10:1980;x(t)=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1)y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2))x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),'r',t,x1,'b')r=a(1),x0=exp(a(2))x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),'r',t,x1,'b')結(jié)果：a=0.0214 -36.6198r=0.0214x0=1.2480e-016所以得到人口關(guān)于時間的函數(shù)為：x(t)x0

e0.0214t，其中x0=1.2480e-016，輸入：t=2010;x0=1.2480e-016;x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)=598.3529。即在此模型下到2010年人口大約為598.3529106。3503002502001501005001780 1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980模型二：阻滯增長模型（Logistic模型）由于資源、環(huán)境等因素對人口x的減函數(shù)，如設(shè)r(x)r(1x/x )，其中r為固有增長率(x很小時)，xm m為人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量），于是得到如下微分方程：dxrx(1x)m xmx()x0建立函數(shù)文件curvefit_fun2.mfunctionf=curvefit_fun2(a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790)));f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790)));在命令文件main.m中調(diào)用函數(shù)文件curvefit_fun2.m%定義向量（數(shù)組）x=1790:10:1990;y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4];plot(x,y,'*',x,y);%畫點(diǎn)，并且畫一直線把各點(diǎn)連起來holdon;a0=[0.001,1];%初值1（m2%定義向量（數(shù)組）x=1790:10:1990;y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4];plot(x,y,'*',x,y);%畫點(diǎn)，并且畫一直線把各點(diǎn)連起來holdon;a0=[0.001,1];%初值1（m23、4a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y);disp(['a='num2str(a)]);%顯示結(jié)果%畫圖檢驗(yàn)結(jié)果xi=1790:5:2020;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,'r');2010x1=2010;y1=curvefit_fun2(a,x1)holdoff運(yùn)行結(jié)果：a=311.9531 0.02798178y1=267.1947a(1)a(2)x

xmx 1 m1ert

和r，y1mx0國2010年的人口的估計(jì)。3002502001501005001750 1800 1850 1900 1950 2000 2050第二題：一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給與鼓8（最大周長：身長(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454胸圍(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6問題分析：模型假設(shè)：1、鱸魚的身長越長體重越重，體重與身長存在正相關(guān)關(guān)系；2、鱸魚的胸圍越大體重也越重，體重與胸圍存在正相關(guān)的關(guān)系；3、鱸魚的胸圍、身長互相影響，共同作用鱸魚的體重；L鱸魚的身長CL鱸魚的身長C鱸魚的胸圍W鱸魚的體重模型的建立及求解：（一、鱸魚體重與身長模型的確立MATLAB身長與體重散點(diǎn)圖14001300身長與體重散點(diǎn)圖1400130012001100100090080070060050040030323436 38 40身長424446的方法，得到：W +709.7392(1)根據(jù)擬合的函數(shù)，我們畫出擬合圖：身長與體重?cái)M合圖20001800160014001200100080060040020030 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50從擬合圖上看，大部分原始數(shù)據(jù)在擬合函數(shù)附近，說明用二次函數(shù)擬合的效果較表：表一、鱸魚體重實(shí)際值與估計(jì)值對比及誤差表31.832.132.135.936.836.843.845.148248245465273776511621389466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.43.20.445.73.444.935.753.570.86身長（cm)身長（cm)（g)擬合值（g）相對誤（%）（二、鱸魚體重與胸圍的模型確立魚體重與胸圍的散點(diǎn)圖：胸圍與體重散點(diǎn)圖14001300120011001000重 900體80070060050040020 22 24 26胸圍

28 30 32從圖形上看，鱸魚體重與胸圍可能成線性關(guān)系，利用多項(xiàng)式擬合的方法，我們得到鱸魚體重與胸圍的函數(shù)表達(dá)式：W 92*C-1497.5 (2)根據(jù)擬合函數(shù)2，畫出胸圍與體重關(guān)系的擬合圖：胸圍與體重?cái)M合圖220020001800160014001200100080060040020020 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40胸圍（cm）胸圍（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g)48248245465273776511621389擬合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相對誤（%）4.131.607.866.556.392.507.982.81說明用線性函數(shù)擬合鱸魚身長與體重的關(guān)系式可行的。（三、建立體重與身長、胸圍相互影響的模型身長、胸圍共同作用體重的模型。（4，即：鱸魚的體態(tài)用與胸圍等周長，與身C2表示： .因此可以分析得出WLC2.又物體質(zhì)量等于密度與體積的乘積，因4此只需根據(jù)數(shù)據(jù)求出密度即可。于是身長、胸圍與體重的關(guān)系可以表示為：WLC2