第二章 2.5 第2課時(shí)

第2課時(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征.2.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的有關(guān)性質(zhì)解題．知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征當(dāng)公比q≠1時(shí)，設(shè)A＝eq\f(a1,q－1)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指數(shù)型函數(shù)．當(dāng)公比q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．2．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：①在其前2n項(xiàng)中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．1．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn不可能等于2n.(√)2．若{an}的公比為q，則{a2n}的公比為q2.(√)3．若{an}的公比為q，則a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也為q.(√)4．等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn.則{Sn}也是遞增數(shù)列．(×)5．對(duì)于公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式，其qn的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)．(√)題型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征應(yīng)用例1數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－2.求{an}的通項(xiàng)公式．解當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝31－2＝1不適合上式．∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))反思感悟已知Sn，通過an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求通項(xiàng)an,應(yīng)特別注意n≥2時(shí),an＝Sn－Sn－1.(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，則{an}是等比數(shù)列．跟蹤訓(xùn)練1若{an}是等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn＝3n－1＋t，則t＝.答案－eq\f(1,3)解析顯然q≠1，此時(shí)應(yīng)有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝eq\f(1,3)·3n＋t，∴t＝－eq\f(1,3).題型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)命題角度1連續(xù)n項(xiàng)之和問題例2已知等比數(shù)列前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為Sn，S2n，S3n，求證：Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．證明方法一設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝n2aeq\o\al(2,1)＋4n2aeq\o\al(2,1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)，S2n＝eq\f(a1,1－q)(1－q2n)，S3n＝eq\f(a1,1－q)(1－q3n)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2(1－qn)(2－q2n－q3n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．方法二根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Seq\o\al(2,n)＋[Sn(1＋qn)]2＝Seq\o\al(2,n)(2＋2qn＋q2n)，Sn(S2n＋S3n)＝Seq\o\al(2,n)(2＋2qn＋q2n)．∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．反思感悟處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問題的常用方法(1)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．(2)靈活運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練2在等比數(shù)列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解因?yàn)镾2n≠2Sn，所以q≠1，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝48，,\f(a11－q2n,1－q)＝60，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,,②))②÷①得1＋qn＝eq\f(5,4)，即qn＝eq\f(1,4).③將③代入①得eq\f(a1,1－q)＝64，所以S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q)＝64×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,43)))＝63.命題角度2不連續(xù)n項(xiàng)之和問題例3一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，全部項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為64，求該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．解設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，全部奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之和分別記為S奇，S偶，由題意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，∵數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，∴q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又a1·a1q·a1q2＝64，∴aeq\o\al(3,1)·q3＝64，得a1＝12.故所求通項(xiàng)公式為an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1，n∈N*.反思感悟注意觀察序號(hào)之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解題契機(jī)；整體思想能使問題的解決過程變得簡潔明快．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則＝.答案126解析設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝2，∵∴是首項(xiàng)為b2，公比為2的等比數(shù)列．∴＝eq\f(b21－26,1－2)＝126.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的分類表示典例已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an，n∈N*.求{an}的前n項(xiàng)和Sn.解由an≠0，所以eq\f(an＋2,an)＝3，于是數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)a1＝1，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)a2＝2，公比為3的等比數(shù)列．因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝eq\f(33n－1,2)，從而S2n－1＝S2n－a2n＝eq\f(33n－1,2)－2×3n－1＝eq\f(3,2)(5×3n－2－1)．綜上所述，[素養(yǎng)評(píng)析]數(shù)學(xué)中有不少概念表達(dá)式相當(dāng)抽象．只有在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，才能挖掘出兩式的內(nèi)在聯(lián)系，理解運(yùn)算法則．本例中，涉及到很多對(duì)n的賦值，只有理解了an，a2n，S2n與S2n－1之間的聯(lián)系，才能順利挖掘出{a2n}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，S2n－1＝S2n－a2n等關(guān)系.1．已知等比數(shù)列{an}的公比為2，且其前5項(xiàng)和為1，那么{an}的前10項(xiàng)和等于()A．31B．33C．35D．37答案B解析設(shè){an}的公比為q，由題意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，則a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.2．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)，則x的值為()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案C解析方法一∵Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)＝eq\f(x,3)·3n－eq\f(1,6)，由Sn＝A(qn－1)，得eq\f(x,3)＝eq\f(1,6)，∴x＝eq\f(1,2).方法二當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝x－eq\f(1,6)；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，∵{an}是等比數(shù)列，∴n＝1時(shí)也應(yīng)適合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－eq\f(1,6)，解得x＝eq\f(1,2).3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋bn＋c，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝3n＋d，則向量a＝(c，d)的模為()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．無法確定答案A解析由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模為1.4．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若q＝2，S100＝36，則a1＋a3＋…＋a99等于()A．24B．12C．18D．22答案B解析設(shè)a1＋a3＋…＋a99＝S，則a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.5．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝1，S8＝3，則a9＋a10＋a11＋a12等于()A．8B．6C．4D．2答案C解析S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比數(shù)列．∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.1．在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要對(duì)公比q＝1或q≠1作出判斷；若{an}是等比數(shù)列，且an>0，則{lgan}構(gòu)成等差數(shù)列．2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和中用到的數(shù)學(xué)思想(1)分類討論思想：①利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要分公比q＝1和q≠1兩種情況討論；②研究等比數(shù)列的單調(diào)性時(shí)應(yīng)進(jìn)行討論：當(dāng)a1>0，q>1或a1<0,0<q<1時(shí)為遞增數(shù)列；當(dāng)a1<0，q>1或a1>0,0<q<1時(shí)為遞減數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)為擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)q＝1時(shí)為常數(shù)列．(2)函數(shù)思想：等比數(shù)列的通項(xiàng)an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn(q>0且q≠1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系；等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a1,q－1)(qn－1)(q≠1)．設(shè)A＝eq\f(a1,q－1)，則Sn＝A(qn－1)與指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系．(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，常把qn，eq\f(a1,1－q)當(dāng)成整體求解；把奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)、連續(xù)若干項(xiàng)之和等整體處理.一、選擇題1．等比數(shù)列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，則公比q等于()A．2B.eq\f(1,2)C．4D.eq\f(1,4)答案C解析∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，∴a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，∴q＝eq\f(a4,a3)＝4.2．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若{Sn}是等差數(shù)列，則q等于()A．1B．0C．1或0D．－1答案A解析∵Sn－Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)，又{Sn}是等差數(shù)列，∴an為定值，即數(shù)列{an}為常數(shù)列，∴q＝eq\f(an,an－1)＝1(n≥2且n∈N*)．3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于()A.eq\f(1,8)B．－eq\f(1,8)C.eq\f(57,8)D.eq\f(55,8)答案A解析因?yàn)閍7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝eq\f(1,8)，所以a7＋a8＋a9＝eq\f(1,8).4．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a2－8a5＝0，則eq\f(S8,S4)的值為()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(17,16)D．17答案C解析eq\f(a5,a2)＝q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).∴eq\f(S8,S4)＝eq\f(S4＋S8－S4,S4)＝1＋eq\f(S8－S4,S4)＝1＋q4＝eq\f(17,16).5．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，則S20等于()A．90B．70C．40D．30答案C解析由S30＝13S10，知q≠1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S30＝13S10，,S10＋S30＝140，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S10＝10，,S30＝130，))由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)得S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列，則(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍去)，故選C.6．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在m∈N*，滿足eq\f(S2m,Sm)＝9，eq\f(a2m,am)＝eq\f(5m＋1,m－1)，則數(shù)列{an}的公比為()A．－2B．2C．－3D．3答案B解析設(shè)公比為q，若q＝1，則eq\f(S2m,Sm)＝2，與題中條件矛盾，故q≠1.∵eq\f(S2m,Sm)＝eq\f(\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q))＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∴eq\f(a2m,am)＝eq\f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq\f(5m＋1,m－1)，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.7．已知等比數(shù)列{an}的前10項(xiàng)中，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為85eq\f(1,4)，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為170eq\f(1,2)，則S＝a3＋a6＋a9＋a12的值為()A．580B．585C．590D．595答案B解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(S偶,S奇)＝q＝2，,S奇＝\f(a1[1－q25],1－q2)＝85\f(1,4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2·eq\f(1－q12,1－q3)＝585.8．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S6,S3)＝3，則eq\f(S9,S6)等于()A．2B.eq\f(7,3)C.eq\f(8,3)D．3答案B解析由題意知q≠1，否則eq\f(S6,S3)＝eq\f(6a1,3a1)＝2≠3.∴eq\f(S6,S3)＝eq\f(\f(a11－q6,1－q),\f(a11－q3,1－q))＝1＋q3＝3，∴q3＝2.∴eq\f(S9,S6)＝eq\f(\f(a11－q9,1－q),\f(a11－q6,1－q))＝eq\f(1－q9,1－q6)＝eq\f(1－23,1－22)＝eq\f(7,3).二、填空題9．若等比數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝10，前10項(xiàng)和S10＝50，則它的前15項(xiàng)和S15＝.答案210解析由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，若對(duì)任意n∈N*，有an＋1＝eq\f(1,3)Sn，則Sn＝.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1解析由an＋1＝eq\f(1,3)Sn，得Sn＋1－Sn＝eq\f(1,3)Sn，即Sn＋1＝eq\f(4,3)Sn，則數(shù)列{Sn}是以S1＝1為首項(xiàng)，公比q為eq\f(4,3)的等比數(shù)列，所以Sn＝S1·qn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1.11．已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列{an}是擺動(dòng)數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且eq\f(S4,S2)＝5，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5項(xiàng)和為．答案eq\f(11,16)解析eq\f(S4,S2)＝eq\f(S2＋q2S2,S2)＝1＋q2＝5，q＝±2.∵{an}是擺動(dòng)數(shù)列，∴q＝－2.∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的首項(xiàng)為1，公比為－eq\f(1,2)，前5項(xiàng)和為eq\f(1·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))5)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(1＋\f(1,32),\f(3,2))＝eq\f(11,16).三、解答題12．已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，因?yàn)閍2＋a4＝2a3＝10，所以a3＝5＝1＋2d，所以d＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)設(shè){bn}的公比為q，b2·b4＝a5?q·q3＝9，所以q2＝3，所以{b2n－1}是以b1＝1為首項(xiàng)，q′＝q2＝3為公比的等比數(shù)列，所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝eq\f(1·1－3n,1－3)＝eq\f(3n－1,2).13．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝anlog2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)錯(cuò)位相減法求和題點(diǎn)錯(cuò)位相減法求和解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意知2(a3＋2)＝a2＋a4，∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.∴q＝2，即an＝2