2022-2023學年湖北省荊州市部分重點高中高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題

第8頁/共21頁湖北省荊州市2022—2023學年部分重點高中高二上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題 1.已知直線的傾斜角為,且過點,則在直線上的點是（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】由點斜式求解直線方程,將各點代入檢驗即可.【詳解】直線的斜率,方程為,即,將A,B,C,D中各點代入知,A正確.故選：A2.兩直線和互相垂直,則的值是（）A. B. C.或 D.或答案：C解析：【分析】由直線的垂直關系可得的方程,解方程可得值．【詳解】因為直線和直線互相垂直,

所以,解得：或.

故選：C．3.如圖,在空間四邊形中,點在上,滿足,點為的中點,則（）A. B.C. D.答案：D解析：【分析】由得,結合中點公式可得,由線性運算即可求解.【詳解】由得；由點為線段的中點得,∴,故選：D4.“”是“兩點到直線的距離相等”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案：A解析：【分析】兩點到直線距離相等分兩種情況,或過的中點,結合斜率和中點公式即可求解,再由命題的充分、必要條件判斷即可.【詳解】“兩點到直線的距離相等”“或過的中點”.當時,由得,；當過的中點時,由的中點為得,.所以“兩點到直線的距離相等”“”,故選：A.5.設直線的方程為,則直線的傾斜角的范圍是（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】分和兩種情況討論,當時,；當時,結合的范圍,可得斜率的取值范圍,進而得到傾斜角的范圍.【詳解】直線的方程為,當時直線方程為,傾斜角當時,直線方程化,斜率,因為,所以,即,又因為,所以綜上可得故選：C.6.如圖所示,平行六面體中,,則與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】設,利用空間向量的線性運算結合空間向量數(shù)量積的定義,得到,從而得到答案．【詳解】設,則,,則所以,則與所成角為,所以與所成角的余弦值為．故選：D．7.已知在圓上恰有兩個點到原點的距離為,則的取值范圍是（）A. B.C. D.答案：C解析：【分析】題意轉化為圓與圓相交,即可求解.【詳解】由題意可知圓與圓相交,則,解得或.故選：C.8.已知圓,圓,、分別是圓、上動點,是軸上動點,則的最大值是（）A. B.C. D.答案：D解析：【分析】根據(jù)兩圓及的位置關系,將的最大轉化為求最大,再應用將軍飲馬模型作關于軸的對稱點,利用三角形的三邊關系確定的最大值,進而求的最大值.【詳解】要使的最大,需盡可能大,盡可能小,∴連接、,讓兩直線與兩圓的交點,離盡可能遠,離盡可能近,如下圖示：在中最大即可,令,關于軸的對稱點為,∴最大,故共線時的最大值為,∴的最大值為.故選：D.二、多選題9.下列關于空間向量的命題中,正確的是（）A.若空間向量,滿足,則B.若非零向量,滿足,則有C.若是空間的一組基底,且,則四點共面D.若向量是空間的一組基底,則也是空間的一組基底答案：C、D解析：【分析】結合空間向量定義可直接判斷A錯；由空間的垂直關系可判斷B錯誤；由四點共面的結論可判斷C正確；由基底向量的定義化簡可判斷D正確.【詳解】對于A,模長相等方向可不同,顯然A錯誤；對于B,由于空間中垂直于同一直線的兩直線可以不平行,所以B錯誤；對于C,由平面的向量可知是空間的一組基底,則三點不共線.由,,可判斷四點共面,故C正確；對于D,若向量是空間一組基底,則對空間中的任何一個向量,存在唯一的實數(shù)組,使得,于是,所以也是空間的一組基底,故D正確.故選：CD.10.已知是邊長為的正方形的中心,點分別是的中點,沿對角線把正方形折成直二面角,以下說法正確的是（）A.B.的長度為C.異面直線所成的角是D.點到平面的距離答案：B、C、D解析：【分析】采用建系法,以的方向為軸的正方向,結合向量夾角公式可判斷A錯誤,C正確；由空間中兩點間距離公式可求,判斷B正確；由點到平面距離的向量公式可判斷D正確.【詳解】以點為原點,以的方向為軸的正方向,建立如圖所示的坐標系,則,∴,,∴,∴,故A錯誤；∵,∴,故B正確；∵,又,∴,∴,所以異面直線所成的角是,故C正確；設平面的法向量為,則,即,令,得,于是,又,所以點到平面的距離,故D正確.故選：BCD.11.數(shù)學中的很多符號具有簡潔?對稱的美感,是形成一些常見的漂亮圖案的基石,也是許多藝術家設計作品的主要幾何元素．如我們熟悉的符號,我們把形狀類似的曲線稱為“曲線”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),在平面直角坐標系中,到定點距離之積等于的點的軌跡是“曲線”．若點是軌跡上一點,則下列說法中正確的有()A.曲線關于原點成中心對稱B.的取值范圍是C.曲線上有且僅有一點滿足D.曲線上所有的點都在圓的內(nèi)部或圓上答案：A、C、D解析：【分析】求出軌跡的方程,由方程確定曲線的性質,再判斷各項．【詳解】曲線的方程為①若點,則滿足①,于是對點關于原點的對稱點有：,即也在曲線上,故A正確,對于B,由得,∴,故B錯誤；對于C,若,則點在的垂直平分線上,∴,將代入①得,∴,即僅是原點時滿足,故C正確．對于D,由化簡得,∴,∴由得∴,故D正確．故選：ACD．12.正方體中,分別為,,的中點,則（）A.直線與直線垂直B.直線與平面平行C.直線與平面所成角的余弦值為D.點和點到平面的距離相等答案：A、B解析：【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系,借助空間向量逐項分析判斷作答.【詳解】在正方體中,建立如圖所示的空間直角坐標系,令棱長,則,,則,即,直線與直線垂直,A正確；,令平面的法向量,則,令,得,而,,平面,而平面,則平面,B正確；,,所以直線與平面所成角的正弦值為,C不正確；,則點和點到平面的距離分別為：,,D不正確.故選：AB.三、填空題13.如圖在一個的二面角的棱上有兩點、,線段、分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且均與棱垂直,若,,,則___________.答案：解析：【分析】由,兩邊平方后展開整理,即可求得,則的長可求．【詳解】,,,,,,．,.故答案為：.14.已知直線過點,且與軸、軸的正半軸分別交于兩點,為坐標原點,則的最小值為__________；當?shù)拿娣e最小時,直線的方程是__________.答案：①..②..解析：【分析】設為且,求出的坐標,進而得到、關于的表達式,再應用基本不等式求最值,并確定等號成立的條件即可.【詳解】由題意,設直線為且,∴,,∴,當且僅當時等號成立,∴的最小值為.,當且僅當時等號成立,∴,整理得.故答案為：,.15.經(jīng)過點作直線,若直線與連接與兩點的線段總有公共點,則直線的斜率的取值范圍為________．答案：或解析：分析】畫出圖像,數(shù)形結合解決起來好理解.【詳解】如圖,連接,則直線與直線均與線段相交,設直線的傾斜角為,直線的傾斜角為,則符合要求的直線的傾斜角范圍為,,由題意知直線的斜率存在,根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關系,滿足條件的直線的斜率的取值范圍為或故答案為：或.16.光線沿直線入射到直線后反射,則反射光線所在直線的方程為________．答案：解析：【分析】求得直線與直線交點后,再求直線上一點關于直線的對稱點,是本題的關鍵所在.【詳解】由得即直線與直線交點為在直線上取點設點關于的對稱點為則即則反射光線所在直線的方程為故答案為：.四、解答題17.已知的頂點,邊上的高所在的直線方程為,邊上中線所在的直線方程為.（1）求點的坐標；（2）求點到直線的距離.答案：見解析解析：【分析】（1）由中點坐標公式,設,則,結合在直線上,在直線上,將對應點代入直線方程可求,進而得到點的坐標；（2）由可求,由點斜式求出方程,再結合點到直線距離公式即可求解.【詳解】（1）設,則,∴,解得,∴；（2）∵,且直線的斜率為,∴直線的斜率為,∴直線的方程為,即,所以點到直線的距離為.18.如圖,正方形和所在平面互相垂直,且邊長都是,,,分別為線段,,上的動點,且,平面,記.（1）證明：平面；（2）當?shù)拈L最小時,求二面角的余弦值.答案：見解析解析：【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質定理證明線面垂直；（2）求出的長最小時點的位置,然后分別以,,所在的直線為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,用空間向量法求二面角．【詳解】（1）因為平面,且平面,平面平面,所以,所以,所以,所以,所以,所以,又因為平面平面,且平面,平面平面,所以平面.（2）由（1）知,,,當且僅當時等號成立,分別以,,所在的直線為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,設平面的一個法向量為,因為,,則,取,得,設平面的一個法向量為,因為,,則,取,得,所以,則二面角的余弦值為.19.已知,動點滿足：（1）求動點的軌跡方程,并說明它表示什么曲線；（2）設動點的軌跡為,對上任意一點,在軸上是否存在一個與(為坐標原點)不重合的定點,使得為定值？若存在,求出該定點和定值；若不存在,說明理由.答案：見解析解析：【分析】（1）設,由題中等量關系得到,化簡整理即可得出結果；（2）設,結合兩點間的距離公式表示出,化簡整理即可求出結果.【詳解】（1）設,由,即,所以化簡可得軌跡的方程為：,表示圓心為,半徑為的圓.（2）設則,設,要使為定值,則,故（舍去）或；代入（定值）,故存在定點,使得.20.已知線段的端點的坐標是,端點在圓上運動．（1）求線段的中點的軌跡方程；（2）求曲線與的公共弦長．答案：見解析解析：【分析】（1）設點坐標為,由中點坐標公式用表示出點坐標,代入圓方程可得；（2）由兩圓方程相減得公共弦所在直線方程,求出一個圓心到這條直線的距離,然后由勾股定理得弦長．【詳解】（1）設,,則,即,,又在已知圓上,所以,即,化簡得．即為點的軌跡方程；（2）由（1）知點的軌跡是圓,與已知圓方程相減得：,即．圓的圓心為,半徑為,到直線的距離為,所以公共弦長為．21.如圖,在四棱錐中,面,,且,,,,,為的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點,使得直線與平面所成角的正弦值是,若存在求出的值,若不存在說明理由．答案：見解析解析：【分析】（1）只要證明所在平面與平面平行即可；（2）建立空間直角坐標系,用向量法計算二面角的余弦值；（3）用向量法計算直線與平面成角的正弦值,然后列方程求解．【詳解】（1）證明：取中點,連接、,

因為分為的中點,

則,且,又,且,,所以四邊形是平行四邊形,,又面,面所以平面；(2)取中點,連接,則,且,所以四邊形是平行四邊形,又,則四邊形矩形,

所以兩兩垂直,建系如圖,

,

設平面的法向量為,平面的法向量為則,,設得平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,所以平面與平面所成二面角的余弦值為．假設在線段上存在一點,使得直線與平面所成角的正弦值是,

設,

所以,

由（2）知是平面的法向量,

所以直線與平面所成角的正弦值是

,

解得.所以在線段上存在且此時.22.在平面直角坐標系中,已知點,以原點為圓心的圓截直線所得線段的長度為.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓相交于兩點,且,求的值；（3）在直線上是否存在異于的定點,使得對圓上任意一點,都有（為正常數(shù)）？若存在,求出點的坐標及的值；若不存在,請說