新教材高中數(shù)學(xué)第4章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)1.3冪函數(shù)課件湘教版必修第一冊

4.1.3

冪函數(shù)1|冪函數(shù)的概念1.概念:一般來說,當(dāng)x為自變量而α為非零實(shí)數(shù)時(shí),函數(shù)①

y=xα

叫作(α次)冪函

數(shù).2.冪函數(shù)的分類當(dāng)α是正整數(shù)時(shí),函數(shù)y=xα是正整數(shù)次冪函數(shù),y=x-α(x≠0)是負(fù)整數(shù)次冪函數(shù);當(dāng)α

是分?jǐn)?shù)時(shí),函數(shù)y=xα是分?jǐn)?shù)次冪函數(shù).其中正整數(shù)次冪函數(shù)和負(fù)整數(shù)次冪函數(shù)統(tǒng)稱

為整數(shù)次冪函數(shù).一般地,對于實(shí)數(shù)次冪函數(shù)y=xα(α≠0):當(dāng)a>0時(shí),它在[0,+∞)上有定義且遞增,

值域?yàn)棰赱0,+∞)

,函數(shù)圖象過(0,0)和(1,1)兩點(diǎn);當(dāng)a<0時(shí),它在(0,+∞)上有定義

且遞減,值域?yàn)棰?0,+∞)

,函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,1),向上與y軸正向無限接近,向右與

x軸正向無限接近.2|實(shí)數(shù)次冪函數(shù)的性質(zhì)1.冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(0,0),(1,1).

(

?)提示:冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),但不一定過點(diǎn)(0,0),如冪函數(shù)y=

的圖象不過點(diǎn)(0,0).2.冪函數(shù)的圖象一定不能出現(xiàn)在第四象限,但可能出現(xiàn)在第二象限.

(√)3.當(dāng)α取1,3,

時(shí),冪函數(shù)y=xα是增函數(shù).(√)4.當(dāng)α=0時(shí),冪函數(shù)y=xα的圖象是一條直線.

(

?)提示:當(dāng)α=0時(shí),冪函數(shù)y=xα的定義域?yàn)閧x|x∈R,且x≠0},因此其圖象不是一條直線.5.若冪函數(shù)y=xα的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大.

(

?)提示:冪函數(shù)y=

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,但它不是定義域內(nèi)的增函數(shù).判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.|如何運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問題冪函數(shù)的性質(zhì)與參數(shù)α可以互相確定:1.冪函數(shù)y=xα中只有一個(gè)參數(shù)α,冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與α的取值有關(guān),故可由α確

定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性.2.反過來,也可由冪函數(shù)的性質(zhì)去限制α的取值:(1)利用冪函數(shù)的單調(diào)性求出α的取值范圍;(2)由奇偶性結(jié)合所給條件確定α的值.已知冪函數(shù)y=x3m-9(m∈N+)的圖象關(guān)于y軸對稱,且y=x3m-9(m∈N+)在(0,+∞)上單

調(diào)遞減,求滿足

<

的a的取值范圍.思路點(diǎn)撥由冪函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)m的值,再由函數(shù)的單調(diào)性解不等式.解析

因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x3m-9(m∈N+)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以3m-9<0,解得m<3.又m∈N+,所以m=1或m=2.因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x3m-9的圖象關(guān)于y軸對稱,所以3m-9為偶數(shù),故m=1,則原不等式可化為(a+1

<(3-2a

.易知y=

在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減,且當(dāng)x<0時(shí),y<0,當(dāng)x>0時(shí),y>0,所以a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或