新教材高中數(shù)學第7章三角函數(shù)2.2同角三角函數(shù)關系課件蘇教版必修第一冊

1.能通過三角函數(shù)的概念推導出同角三角函數(shù)的基本關系.2.掌握同角三角函數(shù)的基本關系式.3.能運用三角函數(shù)的基本關系式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式

證明.7.2.2

同角三角函數(shù)關系1|同角三角函數(shù)的基本關系式平方關系式①

sin2α+cos2α=1

該關系式可實現(xiàn)正弦、余弦之間的相互轉化商數(shù)關系式②tanα=

,α≠

+kπ,k∈Z該關系式可實現(xiàn)切、弦之間的相互轉化1.sin2α+cos2α=1的變形公式:(1)sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α;(2)(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(3)(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(4)(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;(5)sinαcosα=

=

.2.tanα=

的變形公式:(1)sinα=cosαtanα;(2)cosα=

.2|同角三角函數(shù)基本關系式的變形1.tan90°=

.

(

?)提示:易知y=tanα的定義域為

α

α≠90°+k·180°,k∈Z

,所以α不能為90°.2.

=±cos160°.

(

?)提示:因為cos160°<0,所以

=-cos160°.3.若α,β均為銳角,則sin2α+cos2β=1.

(

?)提示:若α=

,β=

,則sin2α+cos2β=

≠1.4.對任意角α,sin23α+cos23α=1成立.

(√)5.若cosα=0,則sinα=1.

(

?)判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.1|齊次式的求值問題1.已知tanα=m,求形如

的式子的值,其方法是將分子、分母同時除以cosα(或cos2α)轉化為關于tanα的代數(shù)式,再求值.如果先求出sinα和cosα的值再代入,那么運算量會很大,問題就會變得煩瑣.2.形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子,通常把分母看作1,然后用sin2α+cos2α代換,再將分子、分母同時除以cos2α求解.已知tanα=-4,求下列各式的值.(1)sin2α;(2)cos2α-sin2α;(3)3sinαcosα;(4)

.思路點撥(1)(2)(3)先利用“1”的代換,再將分子、分母同除以cos2α進行求解;(4)分子、分母同除以cosα,得到關于tanα的式子再求解.解析

(1)sin2α=

=

=

=

.(2)cos2α-sin2α=

=

=

=-

.(3)3sinαcosα=

=

=

=-

.(4)

=

=

=

.2|利用同角三角函數(shù)關系進行化簡或證明1.三角函數(shù)式的化簡過程中常用的方法(1)化切為弦,即把正切函數(shù)化成正弦、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達到化簡的目的.(2)對于含有根號的三角函數(shù)式,常把根號下的式子化成完全平方式,然后去根號,達到化簡的目的.(3)對于含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構造sin2α+cos2α=1,以降低函數(shù)次數(shù),達到化簡的目的.2.利用同角三角函數(shù)關系證明三角恒等式的方法(1)從左向右推導或從右向左推導,一般由繁到簡;(2)左右歸一法,即證明左右兩邊都等于同一個數(shù)或式子;(3)化異為同法,即針對題設與結論間的差異,有針對地變形,以消除差異;(4)變更命題法,如要證明

=

,可證ad=bc或證

=

等;(5)比較法,即設法證明“左邊-右邊=0”或“

=1(右邊≠0)”.3.含條件的三角恒等式的證明含條件的三角恒等式的證明方法與前面三角恒等式的證明方法相同,但應注意條件的利用,常用的方法如下:(1)直推法,從條件直接推得結論;(2)代入法,將條件代入結論中,轉化為三角恒等式的證明;(3)換元法.求證:

=

.證明

證法一:因為等式右邊分母為cosα,所以可將等式左邊分子、分母同乘cosα.左邊=

=

=

=

=右邊.故原等式成立.證法二:因為等式左邊分母是1-sinα,所以可將等式右邊分子、分母同乘(1-sinα).右邊=

=

=

=

=左邊.故原等式成立.證法三:證明等式左、右兩邊都與某個中間結果相等.左邊=

,右邊=

=

=

,左邊=右邊.故原等式成立.證法四:只需證明左邊-右邊=0即可.因為

-

=

=

=

=0,所以

=

.證法五:為了消去等式左、右兩邊的差異,在等式左邊的分子上湊出1+sinα.左邊=

=

=

=

=右邊.故原等式成立.證法六:證明內(nèi)項積等于外項積.因為(1-sinα)(1+sinα)=1-sin2α=cos2α,1-sinα≠0,cosα≠0,所