新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何加練課4與圓有關(guān)的最值問題學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE7加練課4與圓有關(guān)的最值問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步熟悉圓的方程，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.會求常見的與圓有關(guān)的最值問題.3.學(xué)會數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.自主檢測·必備知識一、概念辨析，判斷正誤1.若一條直線被圓所截得的弦最長，則此直線過圓心.(√)2.代數(shù)式(x-2)2+(y+3)23.設(shè)圓C的半徑為r，圓心到直線l的距離為d（d＞r），則圓上的點(diǎn)到直線l距離的最大值為r+d，最小值為d-r.(√)二、夯實基礎(chǔ)，自我檢測4.已知直線ax+y-2=0與圓C:(x+1)2+(y+a)2=4相交于A，B兩點(diǎn)，且線段A.2B.±1C.1D.-1答案：D解析：易知C(-1,-a)，∵線段AB是圓C的所有弦中最長的一條弦，∴線段AB過圓心，∴?-a-a-2=0，即a=-1.5.（2021山東棗莊八中高二月考）已知點(diǎn)P在直線y=2x+1上，過點(diǎn)P作圓C:(x-2)2+y2=1的切線，切點(diǎn)為A，則|PA|的最小值為()A.3B.2C.5D.3答案：B解析：易知圓C的半徑r=1，|PA|=|PC|2-r2，因為P在直線y=2x+1，即2x-y+1=0上，所以圓心所以|PA|6.若點(diǎn)P在圓C1:(x-4)2+(y-2)2答案：3解析：由題意可知C1(4,2)，C2(-2,-1)，則|C所以|PQ|探究點(diǎn)一與切線長、弦長有關(guān)的最值問題精講精練例（1）（2021山東濰坊高二月考）若圓C:x2+y2A.2B.4C.3D.6（2）（2020課標(biāo)Ⅰ文，6，5分）已知圓C:x2+A.1B.2C.3D.4答案：（1）B（2）B解析：（1）x2(x+1)由已知得，直線2ax+by+6=0過圓心C(-1,2)，即-2a+2b+6=0，即a-b-3=0，易知點(diǎn)(a,b)在直線x-y-3=0上，由平面幾何知識得，要使由點(diǎn)(a,b)向圓所作的切線長最小，只需要圓心C(-1,2)與直線x-y-3=0上的點(diǎn)的連線最小，所以，切線長的最小值為(|-1-2-3|（2）圓x2+y2-6x=0化為(x-3設(shè)P(1,2)，當(dāng)過點(diǎn)P的直線和直線CP垂直時，圓心到過點(diǎn)P的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時|CP|=(3-1)2解題感悟解決與切線長、弦長有關(guān)的最值問題，一般考慮如下三步：第一步：確定圓的圓心和半徑;第二步：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離推出過點(diǎn)的最短弦長;第三步：由圓中垂徑定理求出最短弦長.遷移應(yīng)用1.（2020山東濟(jì)南實驗中學(xué)高二月考）點(diǎn)P是直線x+y-2=0上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C:(x+2)A.22B.23答案：C解析：∵圓C:(x+2)2+(y-8)2=4，由題意可知，點(diǎn)P到圓C:(x+2)2+(y-8)2=4的切線長最小時，CP垂直于直線∴切線長的最小值為(222.（2021北京鐵路二中高二期中）已知圓C:x2+y2-2x-2y-2=0，若直線y=k(x-2)與圓C交于A.2B.2C.23答案：B解析：圓C:x2+可得圓心C(1,1)，半徑r=2，由直線y=k(x-2)，可得直線恒過定點(diǎn)P(2,0)，則|PC|=(1-2)2+(1-0)所以|AB|的最小值為2r探究點(diǎn)二利用代數(shù)式的幾何意義求最值（范圍）精講精練例已知x2+y2=4答案：由x2+y則2x所以當(dāng)x=-32時，最小值為當(dāng)x=2時，最大值為(2+3解題感悟與圓有關(guān)的最值問題，常見的解題方法：（1）根據(jù)所求最值的代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，利用其幾何意義求解，常見的類型：①斜率型：u=y-bx-a；②截距型：l=ax+by（2）根據(jù)題設(shè)條件，消去y，求得變量x的取值范圍，以及轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵.遷移應(yīng)用1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知(x1-2)2+A.55B.C.1215D.答案：B解析：由已知得點(diǎn)(x1,y1)在圓故(x1-x2而距離的最小值為|2+4|1+4-5=52.若直線2ax-by+14=0(a＞0,b＞0)和函數(shù)f(x)=mx+1+1(m＞0,m≠1)的圖像恒過同一個定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓(x-a+1A.[34C.[34答案：C解析：函數(shù)f(x)=mx+1+1將點(diǎn)(-1,2)代入直線2ax-by+14=0可得-2a-2b+14=0，即a+b=7(a>0,b>0).由點(diǎn)(-1,2)在圓(x-a+1)2+(y+b-2即a2+b2所以點(diǎn)(a,b)在以A(3,4)和B(4,3)為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動.ba表示以A(3,4)和B(4,3)所以(ba)min=探究點(diǎn)三與面積有關(guān)的最值問題精講精練例已知P是直線3x+4y+8=0上的動點(diǎn)，PA，PB是圓C:x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，答案：如圖所示，連接PC，由點(diǎn)P在直線3x+4y+8=0上，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-2-34x)，易知圓C所以S四邊形PACB因為|AP|2=|PC|2因為點(diǎn)C到直線3x+4y+8=0的距離為|3+4+8|32+42=3，所以|PC|的最小值為3，此時解題感悟解答與圓有關(guān)的面積的最值問題，往往要利用圓的對稱性，把平面圖形面積的表達(dá)式求出來，再根據(jù)圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍，或圓心到直線的距離求解.遷移應(yīng)用1.（2020福建廈門外國語學(xué)校高二期中）若直線l:x=my+2與曲線C:y=1-x2相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)A.0B.±3C.-1D.-3答案：D解析：曲線y=1-若直線l與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，則直線l的斜率1?m則點(diǎn)O到l的距離d=2又S△AOB當(dāng)且僅當(dāng)1-d2=d2所以d2=21+m評價檢測·素養(yǎng)提升課堂檢測1.過點(diǎn)P(1,-2)向圓x2+yA.-1B.1C.2D.0答案：B2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C與圓O:x2+y2A.45πC.3-52答案：C3.若實數(shù)x，y滿足(x+5)2+(y-12答案：1素養(yǎng)演練邏輯推理——與圓有關(guān)的最值或范圍問題1.已知圓O:x2+y2-4=0，圓C:x2+y2A.[27,2C.[23,2答案：A解析：審：本題考查兩個圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，及圓中三角形面積的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.聯(lián)：△OAB面積的大小與線段AB的長度有關(guān)，要求△OAB面積的取值范圍，只需求出|AB|的范圍即可求解.解：圓O的切線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，則S△OAB=①圓O:x2+y2-4=0的半徑圓C:x2+y2圓心C到AB的距離最小時，②|AB|最大，圓心C