新教材高中數(shù)學第二章平面解析幾何加練課5離心率的求解學案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE7加練課5離心率的求解學習目標1.會求橢圓與雙曲線的離心率.2.進一步學習和掌握橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì).自主檢測·必備知識一、概念辨析，判斷正誤1.橢圓越圓,橢圓的離心率越趨近于1.(×)2.等軸雙曲線的離心率為2.(√)3.橢圓的離心率和雙曲線的離心率取值范圍相同.(×)二、夯實基礎，自我檢測4.已知橢圓C：x2A.13B.12C.22D.223答案：C解析：橢圓C：x2a2由a2-4=4,解得5.（2020重慶南開中學高二期中）已知雙曲線x2a2A.2B.5C.6D.5答案：B解析：易知雙曲線的漸近線方程為y=±b因為漸近線與直線y=2x-3平行,所以ba則e=ca6.（2020山東臨沂臥龍中學高二月考）設橢圓x2m2A.22B.12C.2答案：B解析：設橢圓的半長軸長為a,半短軸長為b,半焦距為c,由題意知,2a=1+3=4,故a=2,即m2=4,b2=互動探究·關鍵能力探究點一直接求出a,c或求出a與b的比值,以求解e精講精練例（1）（2020山東煙臺高二期中）已知A、B為橢圓的左、右頂點,F為左焦點,點P為橢圓上一點,且PF⊥x軸,過點A的直線與線段PF交于M點,與y軸交于E點,若直線BM經(jīng)過OE的中點,則橢圓的離心率為()A.12B.12C.1（2）圓M：(x-m)2+y2=4與雙曲線C：y2A.233B.答案：（1）C（2）A解析：（1）由題意可設F(-c,0),A(-a,0),B(a,0),直線AE的方程（由題知斜率存在）為y=k(x+a),令x=-c,可得M(-c,k(a-c)),令x=0,可得E(0,ka),設OE的中點為H,則H(0,ka2),由B,H,M三點共線,得kBH=kBM（2）如圖所示,|AB|=2,|MA|=|MB|=2,所以△ABM是等邊三角形,根據(jù)對稱性可知A,B兩點關于x軸對稱,所以∠AMO=30°,因為OA⊥AM,所以則漸近線的斜率k=tan?60°=解題感悟（1）對于橢圓,根據(jù)題意求出a,b,c的值,再由e2（2）雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系,可以借助e2遷移應用1.已知直線l:x+y-1=0經(jīng)過橢圓C:xA.2-12B.2-1C.答案：D解析：橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為探究點二構(gòu)造a,c的齊次式,解出e精講精練例已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距為2cA.32B.34C.1答案：A解析：設直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點為A(∴|OA|=x02解得x0=2∴又∵b2=a2解題感悟本題考查離心率的求法,解題的關鍵是把題中的基本量a,c表示出來,然后建立a,c間的關系式,再根據(jù)離心率的定義求解即可.對待此類型的方程,常見的方法就是方程左、右兩邊同除以一個參數(shù)的最高次項,即可轉(zhuǎn)化成一個一元二次方程,化簡的運算能力是解決此題的關鍵.遷移應用1.（2020重慶八中高二月考）已知雙曲線x2a2-y2bA.1+5B.5-12C.答案：C解析：依題意知A(a,0),F(c,0),故kB1F?kB2A=-bc?b2.已知P為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)上的點,F1,F2分別為答案：2解析：設|OF2|=c,可得P(c,b2a),則四邊形OF2PQ的內(nèi)切圓的圓心為(c2,即|b2×c2-2ac×c2+探究點三利用焦點三角形求離心率精講精練例（1）設F1,F2分別是橢圓C：x2a2+y2bA.33B.36C.1（2）如圖,F1和F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)答案：（1）A（2）3解析：（1）設PF1的中點為M,連接因為O為F1F2的中點,所以OM所以OM∥PF2,因為∠PF1|F由橢圓的定義得2a=|PF1|+|P2c=|F1F2|=（2）如圖,連接AF由△F2AB是等邊三角形,知∠AF2F∴雙曲線的離心率e=解題感悟涉及焦點三角形的題目一般都是利用圓錐曲線的定義找a,b,c的關系求解.遷移應用1.（2020成都外國語學校高二月考）設F1,F2分別是雙曲線C：x2a2A.2+1B.C.6+1D.答案：B解析：因為|OP|=|OF1|=|O所以∠O所以π-∠因為|PF1又因為|PF1所以(16+83)a2所以離心率e=探究點四求離心率的取值范圍精講精練例（1）已知F是雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦點,P是雙曲線的左頂點,過點FA.(1,2)B.(1,2)C.(1,3)D.(1,3)（2）已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為坐標原點,焦點在x軸上,左、右焦點分別為F1,F2,且它們在第一象限的交點為P,△PF答案：（1）A解析：（1）由題可知△APB為等腰三角形,若△APB<π2,只需∠APF<π因為|AB|=2b2a所以b2＜a2+ac,即c2-a2＜a2+ac,答案：（2）設橢圓的半長軸長、半焦距分別為a1,c，雙曲線的半實軸長、半焦距分別為a2,c,|PF1|=m,|PF2所以52＜5c+1＜3,即5故橢圓的離心率的取值范圍為(1解題感悟求圓錐曲線離心率的取值范圍的常用方法：（1）利用題目條件所給的不等關系,轉(zhuǎn)化為離心率的取值范圍.（2）利用焦半徑的范圍或橢圓、雙曲線上點的坐標的范圍,得到a與c的不等式,從而求得離心率的范圍.遷移應用1.若直線y=2x與雙曲線x2A.(1,5)B.(C.(1,5]D.[答案：B解析：雙曲線的兩條漸近線中,斜率為正的漸近線方程為y=b由雙曲線與直線y=2x有交點知,ba＞2,故2.已知F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,P為雙曲線右支上的任意一點,若|PFA.(1,3]B.(1,3]C.(3,3]D.(3,+∞）答案：A解析：設|PF2|=m(m≥c-a)所以|PF當且僅當m=2a時,等號成立,所以c-a≤2a,即c≤3a.所以1<e評價檢測·素養(yǎng)提升1.已知橢圓的短軸長是焦距的2倍,則橢圓的離心率為()A.12B.C.15D.答案：D2.已知雙曲線x2a2-y2bA.52