-新教材高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)練36函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE7函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.函數(shù)f(x)=log2x的零點(diǎn)是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.令f(x)=0即log2x=0得x=1.2.以下函數(shù)在區(qū)間(0,2)上必有零點(diǎn)的是()A.y=x-3 B.y=2x C.y=x3 D.y=lgx【解析】選D.畫(huà)出A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)圖象可知,只有D選項(xiàng)中y=lgx在區(qū)間(0,2)上有零點(diǎn).3.函數(shù)f(x)=x-的零點(diǎn)有()A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè)【解析】選C.令f(x)=0,即x-=0,所以x=±2.故f(x)的零點(diǎn)有2個(gè).4.已知函數(shù)f(x)=ex-x-2有一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(k,k+1)(k∈N*),則k可能等于()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.因?yàn)閒(1)=e-1-2<0,f(2)=e2-2-2>0,f(3)=e3-3-2>0,f(4)=e4-4-2>0,所以f(1)f(2)<0,且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,所以函數(shù)f(x)=ex-x-2有一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2),故k可能等于1.5.函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,求方程f(x)=0在(1,2)內(nèi)近似解的過(guò)程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,則方程的解所在區(qū)間為()A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)C.(1.5,2) D.不能確定【解析】選A.由于f(1.25)·f(1.5)<0,則方程的解所在區(qū)間為(1.25,1.5).6.(多選題)已知函數(shù)f(x)=則該函數(shù)零點(diǎn)為()A.4B.3C.-4D.0【解析】選A、C、D.當(dāng)x<0時(shí),x(x+4)=0,所以x=0或x=-4,因?yàn)閤<0,所以x=-4.當(dāng)x≥0時(shí),x(x-4)=0,所以x=0或x=4,因?yàn)閤≥0,所以x=4或x=0.故函數(shù)的零點(diǎn)為-4,0,4.二、填空題(每小題5分,共10分)7.已知方程mx2-x-1=0在(0,1)內(nèi)恰有一解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【解析】設(shè)f(x)=mx2-x-1,因?yàn)榉匠蘭x2-x-1=0在(0,1)內(nèi)恰有一解,當(dāng)m=0時(shí),方程-x-1=0在(0,1)內(nèi)無(wú)解;當(dāng)m≠0時(shí),由f(0)=-1<0,得f(1)=m-2>0,解得m>2.答案:(2,+∞)8.(1)將函數(shù)y=ex的圖象先向右平移1個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,則函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為.

(2)函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).

【解析】(1)將函數(shù)y=ex的圖象先向右平移1個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,得到函數(shù)y=ex-1-3.令y=ex-1-3=0,得到其零點(diǎn)為1+ln3.(2)方程x+2=0(x<0)的解為x=-2,方程x2-1=0(x>0)的解為x=1,所以函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn):-2與1.答案:(1)1+ln3(2)2三、解答題(每小題10分,共20分)9.判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,求出零點(diǎn).(1)f(x)=.(2)f(x)=4x+5.(3)f(x)=log3(x+1).【解析】(1)令=0,解得x=1,所以函數(shù)存在零點(diǎn),且零點(diǎn)為1.(2)令4x+5=0,顯然方程4x+5=0無(wú)實(shí)數(shù)根,所以函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn).(3)令log3(x+1)=0,解得x=0,所以函數(shù)f(x)存在零點(diǎn),且零點(diǎn)為0.10.確定函數(shù)f(x)=lox+x-4的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】設(shè)y1=lox,y2=4-x,則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即y1與y2的交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出兩函數(shù)的圖象如圖.由圖知,y1與y2在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)x=4時(shí),y1=-2,y2=0;當(dāng)x=8時(shí),y1=-3,y2=-4,所以在(4,8)內(nèi)兩函數(shù)圖象又有一個(gè)交點(diǎn),所以兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)f(x)=lox+x-4有兩個(gè)零點(diǎn).(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,有如下x,f(x)的對(duì)應(yīng)值表:x123456f(x)1510-76-4-5則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有()A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)【解析】選B.由已知數(shù)表可知f(2)·f(3)=10×(-7)<0,f(3)·f(4)=(-7)×6<0,f(4)×f(5)=6×(-4)<0,故函數(shù)f(x)在(2,3),(3,4),(4,5)上分別存在零點(diǎn),故至少有3個(gè)零點(diǎn).2.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),設(shè)x∈R,用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),y=[x]也被稱為“高斯函數(shù)”,例如[2.1]=2,[3]=3,[-1.5]=-2,設(shè)x0為函數(shù)f(x)=log2x--1的零點(diǎn),則[x0]=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選B.f(x)=log2x--1,函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(3)=log23-2<0,f(4)=log24--1=>0,若f(x0)=0,則x0∈(3,4),所以[x0]=3.3.已知曲線y=與y=x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0,則x0的取值范圍是()A. B.C. D.(1,2)【解析】選A.設(shè)f(x)=-x,則f(0)=1>0,f=-=-<0,f(1)=-1<0,f(2)=-2<0,顯然有f(0)·f<0.4.(多選題)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線,則下列說(shuō)法不正確的是()A.若f(a)f(b)>0,不存在實(shí)數(shù)c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在實(shí)數(shù)c∈(a,b)使得f(c)=0【解析】選ABD.對(duì)于選項(xiàng)A,可能存在根;對(duì)于選項(xiàng)B,必存在但不一定唯一;選項(xiàng)D顯然不成立.二、填空題(每小題5分,共20分)5.函數(shù)f(x)=-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

【解析】函數(shù)f(x)=-的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即方程-=0的根的個(gè)數(shù),即函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù);畫(huà)出兩者的圖象(如圖),可得交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.答案:16.已知函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x-的零點(diǎn)依次為a,b,c則a,b,c的大小關(guān)系為.

【解析】在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出函數(shù)y=2x,y=log3x,y=-的圖象,如圖,觀察它們與y=-x的交點(diǎn)可知a<b<c.答案:a<b<c7.(2018·全國(guó)卷Ⅰ改編)已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是.

【解析】因?yàn)間(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn),即y=f(x)與y=-x-a有兩個(gè)交點(diǎn),圖象如圖所示:要使得y=-x-a與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn),則有-a≤1,即a≥-1.答案:8.若關(guān)于x的方程3x2-5ax+a=0的一個(gè)根大于1,另一個(gè)根小于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【解析】令f(x)=3x2-5ax+a,根據(jù)條件,結(jié)合函數(shù)圖象得f(1)=3-5a+a<0,解得a>.所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案:三、解答題(共30分)9.(10分)判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請(qǐng)求出.(1)y=.(2)y=x2-2x+4.(3)y=2x-3.(4)y=1-log5x.【解析】(1)令y=0,得=0,無(wú)解.故函數(shù)不存在零點(diǎn).(2)令y=0,得x2-2x+4=0,Δ=4-4×4=-12<0.故函數(shù)不存在零點(diǎn).(3)令y=0,得2x-3=0,2x=3,解得x=log23.故函數(shù)的零點(diǎn)為log23.(4)令y=0,得1-log5x=0,log5x=1,解得x=5.故函數(shù)的零點(diǎn)為5.10.(10分)求實(shí)數(shù)m的取值范圍,使關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0,(1)有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根.(2)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且一個(gè)比2大,一個(gè)比2小.【解析】(1)所以-3<m≤-1.(2)設(shè)f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,則f(2)<0,所以m<-1.11.(10分)已知函數(shù)f(x)=lox+-.(1)用單調(diào)性的定義證明f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù).(2)證明f(x)有零點(diǎn).(3)設(shè)f(x)的零點(diǎn)x0落在區(qū)間內(nèi),求正整數(shù)n.【解析】(1)顯然f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),設(shè)0<x1<x2,則x2-x1>0,x1x2>0?-=>0,lox1>lox2?lox1-lox2>0,因?yàn)閒(x1)-f(x2)=(lox1-lox2)+>0,所以f(