高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題26以平面幾何為載體的應(yīng)用題作業(yè)

/01/6/微專題26以平面幾何為載體的應(yīng)用題/02/6/1.(2018·蘇州期末)如圖，兩座建筑物AB，CD的高度分別是9m和15m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD＝45°，則這兩座建筑物AB和CD的底部之間的距離BD＝________m.2．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米．3．如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園，種植桃樹，已知角A為120°，AB，AC的長度均大于200米．現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆．(1)若圍墻AP，AQ總長為200米，如何圍可使三角形地塊APQ的面積最大？(2)已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價(jià)均為每平方米100元．若圍圍墻用了20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最省？4.如圖，在海岸線l一側(cè)C處有一個(gè)美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在l上設(shè)立了A，B兩個(gè)報(bào)名點(diǎn)，滿足A，B，C中任意兩點(diǎn)間的距離為10km.公司擬按以下思路運(yùn)作：先將A，B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處(點(diǎn)D異于A，B兩點(diǎn))，然后乘同一艘游輪前往C島，據(jù)統(tǒng)計(jì)，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費(fèi)2元，游輪每千米耗費(fèi)12元，設(shè)∠CDA＝α，每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本為S元．(1)寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并指出α的取值范圍；(2)問：中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時(shí)，S最??？5．(2018·九章密卷)某市民公園改造規(guī)劃平面示意圖如圖，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研測定，該市民公園占地區(qū)域是半徑為R的圓面，該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是綠化用地，經(jīng)測量得邊界AB＝1百米，BC＝CD＝2百米，AD＝3百米．(1)求原綠化用地ABCD的面積和市民公園的占地面積；(2)為提高綠化覆蓋率，在保留邊界AB，BC不動的基礎(chǔ)上，對邊界CD，AD進(jìn)行調(diào)整，在圓弧ADC上新設(shè)一點(diǎn)D′，使改造后新的綠地ABCD′的面積最大，求最大面積．6．某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)某種型號的長方形薄板，其周長為4m，這種薄板須沿其對角線折疊后使用，如圖，四邊形ABCD(AB>AD)為長方形薄板，沿AC折疊后AB′交DC于點(diǎn)P.當(dāng)△ADP的面積最大時(shí)最節(jié)能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時(shí)制冷效果最好．(1)設(shè)AB＝xm，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；(2)若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長和寬？(3)若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長和寬？/06/6/微專題261．答案：18.解析：過A作CD的垂線AH，垂足為H，則CH＝15－9＝6，設(shè)∠DAH＝θ，∠CAH＝45°－θ，BD＝AH＝x，則tanθ＝eq\f(9,x)，tan(45°－θ)＝eq\f(6,x)，所以tan45°＝tan(θ＋45°－θ)＝eq\f(\f(9,x)＋\f(6,x),1－\f(9,x)·\f(6,x))＝eq\f(15x,x2－54)＝1，解得x＝18.答：這兩座建筑物AB和CD的底部之間的距離為18m.2．答案：50eq\r(7).解析：依題意得OD＝100米，CD＝150米，連接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，因此由余弦定理有OC2＝OD2＋CD2－2OD·CD·cos∠ODC，即OC2＝10000＋22500－2×100×150×eq\f(1,2).所以O(shè)C2＝17500，即OC＝50eq\r(7)(米)．3．答案：(1)當(dāng)AP＝AQ＝100米時(shí)，三角形地塊APQ的面積最大為2500eq\r(3)平方米．(2)當(dāng)AP＝eq\f(200,7)米，AQ＝eq\f(800,7)米時(shí)，可使竹籬笆用料最?。馕觯涸O(shè)AP＝x米，AQ＝y(tǒng)米．(1)由x＋y＝200，△APQ的面積S＝eq\f(1,2)xysin120°＝eq\f(\r(3),4)xy.所以S≤eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝2500eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝100時(shí)取“＝”．(不寫“＝”成立條件扣1分)(2)由題意得100×(1·x＋1.5·y)＝20000，即x＋1.5y＝200.要使竹籬笆用料最省，只需其長度PQ最短，所以PQ2＝x2＋y2－2xycos120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜y＜\f(400,3))).當(dāng)y＝eq\f(800,7)時(shí)，PQ有最小值eq\f(200\r(21),7)，此時(shí)x＝eq\f(200,7).答：(1)當(dāng)AP＝AQ＝100米時(shí)，三角形地塊APQ的面積最大為2500eq\r(3)平方米；(2)當(dāng)AP＝eq\f(200,7)米，AQ＝eq\f(800,7)米時(shí)，可使竹籬笆用料最?。?．答案：(1)S＝20eq\r(3)·eq\f(3－cosα,sinα)＋60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＜α＜\f(2π,3)))；(2)中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距A處eq\f(20＋5\r(6),4)km時(shí)，運(yùn)輸成本S最?。馕觯?1)由題意知在△ACD中，∠CAD＝eq\f(π,3)，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝eq\f(2π,3)－α.由正弦定理知eq\f(CD,sin\f(π,3))＝eq\f(AD,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)))＝eq\f(10,sinα)，即CD＝eq\f(5\r(3),sinα)，AD＝eq\f(10sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)),sinα)，所以S＝4AD＋8BD＋12CD＝12CD－4AD＋80＝eq\f(60\r(3)－40sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)),sinα)＋80＝20eq\r(3)·eq\f(3－cosα,sinα)＋60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＜α＜\f(2π,3))).(2)S′＝20eq\r(3)·eq\f(1－3cosα,sin2α)，令S′＝0得cosα＝eq\f(1,3).當(dāng)cosα＞eq\f(1,3)時(shí)，S′＜0；當(dāng)cosα＜eq\f(1,3)時(shí)，S′＞0，所以當(dāng)cosα＝eq\f(1,3)時(shí)，S取得最小值，此時(shí)sinα＝eq\f(2\r(2),3)，AD＝eq\f(5\r(3)cosα＋5sinα,sinα)＝eq\f(20＋5\r(6),4)，答：中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距A處eq\f(20＋5\r(6),4)km時(shí)，運(yùn)輸成本S最?。?．答案：(1)原綠化用地ABCD的面積為2eq\r(3)平方百米，市民公園的占地面積為eq\f(7,3)π平方百米；(2)改造后，當(dāng)△AD′C為正三角形時(shí)，新的綠地ABCD′的面積最大，為eq\f(9\r(3),4)平方百米．解析：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，則∠ABC＋∠ADC＝π，所以cos∠ABC＋cos∠ADC＝0.在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝1＋4－2×2×1×cos∠ABC＝5－4cos∠ABC，在△ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝13－12cos∠ADC＝13＋12cos∠ABC，由5－4cos∠ABC＝13＋12cos∠ABC，得cos∠ABC＝－eq\f(1,2)，因?yàn)椤螦BC∈(0，π)，所以∠ABC＝eq\f(2π,3)，所以∠ADC＝eq\f(π,3)，AC2＝7.S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×1×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，S△ADC＝eq\f(1,2)AD·CD·sin∠ADC＝eq\f(1,2)×2×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，所以S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝2eq\r(3)，由正弦定理得，2R＝eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(\r(7),\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(21),3)，所以外接圓面積S＝πR2＝eq\f(7,3)π.答：原綠化用地ABCD的面積為2eq\r(3)平方百米，市民公園的占地面積為eq\f(7,3)π平方百米．(2)設(shè)∠ACD′＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(2,3)π))，由∠AD′C＝eq\f(π,3)得：∠CAD′＝eq\f(2π,3)－θ.在△AD′C中，由正弦定理知AD′＝2Rsin∠ACD′＝eq\f(2\r(21),3)sinθ，CD′＝2Rsin∠CAD′＝eq\f(2\r(21),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))，所以SAD′C＝eq\f(1,2)AD′·CD′·sin∠AD′C＝eq\f(7\r(3),3)sinθsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝eq\f(7\r(3),3)sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosθ＋\f(1,2)sinθ))＝eq\f(7,2)sinθcosθ＋eq\f(7\r(3),6)sin2θ＝eq\f(7\r(3),6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2θ－\f(1,2)cos2θ))＋eq\f(7\r(3),12)＝eq\f(7\r(3),6)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6)))＋eq\f(7\r(3),12)，因?yàn)?＜θ＜eq\f(2,3)π，所以2θ－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(7π,6)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，當(dāng)2θ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,3)時(shí)，S△AD′C的最大值為eq\f(7\r(3),4).此時(shí)，S四邊形ABCD′＝S△ABC＋S△AD′C＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(7\r(3),4)＝eq\f(9\r(3),4).答：改造后，當(dāng)△AD′C為正三角形時(shí)，新的綠地ABCD′的面積最大，為eq\f(9\r(3),4)平方百米．6．答案：(1)y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))，1＜x＜2；(2)當(dāng)薄板長為eq\r(2)m，寬為(2－eq\r(2))m時(shí)，節(jié)能效果最好；(3)當(dāng)薄板長為eq\r(3,2)m，寬為(2－eq\r(3,2))m時(shí)，制冷效果最好．解析：(1)由題意AB＝x，BC＝2－x.因?yàn)閤>2－x，所以1<x<2.設(shè)DP＝y(tǒng)，則PC＝x－y.因?yàn)椤鰽DP≌△CB′P，所以PA＝PC＝x－y.由PA2＝AD2＋DP2，得(x－y)2＝(2－x)2＋y2，解得y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))，1＜x＜2.(2)記△ADP的面積為S1，則S1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))(2－x)＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))≤3－2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)∈(1，2)時(shí)，S1取得最大值．答：當(dāng)薄板長為eq\r(2)m，寬為(2－eq\r(2))m時(shí)，節(jié)能效果最好．(3)記凹多邊形ACB′PD的面積為S2，則S2＝eq\f(1,2)x(2－x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x))