高考數(shù)學(xué)考前刷題大卷練14概率統(tǒng)計(jì)復(fù)數(shù)算法初步推理與證明（文）（含解析）

/08/8/大卷練14概率統(tǒng)計(jì)、復(fù)數(shù)、算法初步、推理與證明大卷練一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．[2019·陜西榆林二中模擬]某方便面生產(chǎn)線上每隔15分鐘抽取一包進(jìn)行檢驗(yàn)，該抽樣方法為①，從某中學(xué)的40名數(shù)學(xué)愛好者中抽取5人了解學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，該抽樣方法為②，那么①和②分別為()A．①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣B．①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣D．①分層抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣答案：C解析：由隨機(jī)抽樣的特征可知，①為等距抽樣，是系統(tǒng)抽樣；②是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，故選C.2．[2018·全國卷Ⅰ]設(shè)z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝()B.eqB.eq\f(1,2)D.eqD.eq\r(2)答案：C解析：∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(?1－i?2,?1＋i??1－i?)＋2i＝eq\f(－2i,2)＋2i＝i，∴|z|＝1.故選C.3．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,a－i)(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線x－2y＝0上，則復(fù)數(shù)z的虛部為()A．2B．3C.eq\f(1,5)D.eqD.q\f(1,5)答案：D解析：z＝eq\f(1,a－i)＝eq\f(a＋i,a2＋1)＝eq\f(a,a2＋1)＋eq\f(1,a2＋1)i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,a2＋1)，\f(1,a2＋1)))，又該點(diǎn)位于直線x－2y＝0上，所以a＝2，z＝eq\f(2,5)＋eq\f(1,5)i，其虛部為eq\f(1,5).4．[2019·天津一中月考]用反證法證明命題：“a，b∈N，若ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除．”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是()A．a(chǎn)，b都能被5整除B．a(chǎn)，b都不能被5整除C．a(chǎn)，b不都能被5整除D．a(chǎn)能被5整除答案：B解析：由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用，故用反證法證明命題時(shí)，可以設(shè)其否定成立從而進(jìn)行推證．命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除．”的否定是“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b都不能被5整除”，故選B.5．[2019·杭州模擬]某同學(xué)先后投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的概率為()A.eq\f(1,12)B.eqB.\f(1,9)C.eq\f(5,36)D.eqD.\f(1,6)答案：A解析：先后投擲兩次骰子的結(jié)果共有6×6＝36種．以(x，y)為坐標(biāo)點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的結(jié)果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3種，故所求概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).6．[2019·湖北武漢高三調(diào)研]一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實(shí)”．經(jīng)過調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案：B解析：由題可知，乙、丁兩人的觀點(diǎn)一致，即同真同假，假設(shè)乙、丁說的是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說的是真話，推出丙是罪犯，由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，顯然兩個(gè)結(jié)論相互矛盾，所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．7．[2019·桂林市，百色市，崇左市聯(lián)合模擬考試]半徑為6cm的圓形紙板上有一個(gè)與之同圓心的半徑為1cm的小圓，現(xiàn)將半徑為1cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使整塊硬幣隨機(jī)落在紙板上，則硬幣與小圓無公共點(diǎn)的概率為()A.eq\f(21,25)B.eqB.\f(3,4)C.eq\f(5,9)D.eqD.\f(1,2)答案：A解析：若硬幣全落在半徑為6cm的圓形紙板上，則硬幣的圓心只能在以圓形紙板的圓心為圓心，半徑為5cm的圓內(nèi)(包含邊界)．若硬幣與小圓無公共點(diǎn)，則硬幣的圓心在以圓形紙板的圓心為圓心，半徑分別為5cm和2cm的圓環(huán)內(nèi)(包含邊界)，所以硬幣與小圓無公共點(diǎn)的概率為eq\f(π×52－π×22,π×52)＝eq\f(21,25)，故選A.8．[2019·山東省，湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)]春節(jié)期間，某旅游景區(qū)推出擲圓圈套玩具鵝的游戲，吸引了一大批的游客參加，規(guī)則是：每人花10元拿到5個(gè)圓圈，在離最近的玩具鵝的2米處擲圓圈5次，只要圓圈連續(xù)套住同一只鵝頸3次，就可以獲得套住的那只玩具鵝．假設(shè)某游客每次擲圓圈套住鵝頸的概率為eq\f(2,3)，且每次擲圓圈的結(jié)果互不影響，則該游客獲得一只玩具鵝的概率為()A.eq\f(4,81)B.eqB.\f(8,81)C.eq\f(1,3)D.eqD.\f(104,243)答案：D解析：設(shè)“第i次套住鵝頸”為事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，則eq\x\to(A)i表示“第i次未套住鵝頸”，依題意可得該游客能獲得一只玩具鵝的3種情形：A1A2A3，eq\x\to(A)1A2A3A4，eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3A4A5，而P(A1A2A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(eq\x\to(A)1A2A3A4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\f(1,3)＝eq\f(8,81)，P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3A4A5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(8,243)，故該游客獲得一只玩具鵝的概率為eq\f(8,27)＋eq\f(8,81)＋eq\f(8,243)＝eq\f(104,243)，故選D.9．[2019·昆明調(diào)研]如圖所示的程序框圖來源于中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，其中定義[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的a＝()A．9B．16C．23D．30答案：C解析：執(zhí)行程序框圖，k＝1，a＝9,9－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,3)))＝0≠2；k＝2，a＝16,16－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16,3)))＝1≠2；k＝3，a＝23,23－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(23,3)))＝2,23－5·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(23,5)))＝3，滿足條件，退出循環(huán)．則輸出的a＝23.故選C.10．[2019·河南濮陽模擬]執(zhí)行如圖所示的程序框圖(其中b＝cmod10表示b等于c除以10的余數(shù))，則輸出的b為()A．2B．4C．6D．8答案：D解析：a＝2，b＝8，n＝1；c＝16，a＝8，b＝6，n＝2；c＝48，a＝6，b＝8，n＝3；c＝48，a＝8，b＝8，n＝4；c＝64，a＝8，b＝4，n＝5；c＝32，a＝4，b＝2，n＝6；c＝8，a＝2，b＝8，n＝7，…，易知該程序框圖中a，b的值以6為周期．又因?yàn)?017＝6×336＋1，所以當(dāng)n＝2017時(shí)，b＝8.故選D.11．[2019·貴陽監(jiān)測(cè)]在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽中，將三個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組，已知第二小組的頻數(shù)是40，則成績(jī)?cè)?0～100分的學(xué)生人數(shù)是()A．15B．18C．20D．25答案：A解析：根據(jù)頻率分布直方圖，得第二小組的頻率是0.04×10＝0.4，∵頻數(shù)是40，∴樣本容量是eq\f(40,0.4)＝100，又成績(jī)?cè)?0～100分的頻率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成績(jī)?cè)?0～100分的學(xué)生人數(shù)是100×0.15＝15.故選A.12．在面積為S(S>0)的平行四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M，則△MCD的面積小于eq\f(S,3)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eqB.\f(3,5)C.eq\f(2,3)D.eqD.\f(3,4)答案：C解析：設(shè)△MCD邊CD上的高為ME，ME的反向延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，當(dāng)△MCD的面積等于eq\f(S,3)時(shí)，eq\f(1,2)CD×ME＝eq\f(1,3)CD×EF，即ME＝eq\f(2,3)EF，此時(shí)過點(diǎn)M作GH∥AB，且分別交AD，BC于點(diǎn)G，H，則滿足△MCD的面積小于eq\f(S,3)的點(diǎn)M在?CDGH中，由幾何概型的知識(shí)得到△MCD的面積小于eq\f(S,3)的概率P＝eq\f(\f(2S,3),S)＝eq\f(2,3)，故選C.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13．[2019·西安八校聯(lián)考]若eq\f(a＋bi,i)(a，b，∈R)與(2－i)2互為共軛復(fù)數(shù)，則a－b＝________.答案：－7解析：eq\f(a＋bi,i)＝eq\f(i?a＋bi?,i2)＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因?yàn)檫@兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，所以b＝3，a＝－4，所以a－b＝－4－3＝－7.14．觀察下列等式1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，…據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________．答案：1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)解析：規(guī)律為等式左邊共有2n項(xiàng)且等式左邊分母分別為1,2，…，2n，分子為1，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，即為1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；等式右邊共有n項(xiàng)且分母分別為n＋1，n＋2，…，2n，分子為1，即為eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).所以第n個(gè)等式可為1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).15．從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是________．答案：eq\f(1,6)解析：從2,3,8,9中任取兩個(gè)數(shù)分別記為(a，b)，則有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共12種情況，其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og39和log28兩種情況，所以P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).16．[2019·濟(jì)南市高考模擬考試]如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)(單位：環(huán))，則成績(jī)較為穩(wěn)定的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為________．答案：2解析：由莖葉圖可知乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)較穩(wěn)定，且其平均數(shù)為eq\f(88＋89＋90＋91＋92,5)＝90(環(huán))，從而所求方差為eq\f(?88－90?2＋?89－90?2＋?90－90?2＋?91－90?2＋?92－90?2,5)＝2.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)[2019·武漢市高中畢業(yè)生調(diào)研]某市高中某學(xué)科競(jìng)賽中，某區(qū)4000名考生的參賽成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這4000名考生的平均成績(jī)eq\o(x,\s\up6(－))(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表)；(2)記70分以上為合格，70分及以下為不合格，結(jié)合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該學(xué)科競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān)？不合格合格合計(jì)男生720女生1020合計(jì)4000附：K2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?).解析：(1)由題意，得：中間值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴eq\o(x,\s\up6(－))＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)．∴這4000名考生的平均成績(jī)eq\o(x,\s\up6(－))為70.5分．(2)2×2列聯(lián)表如下：不合格合格合計(jì)男72011801900女108010202100合計(jì)180022004000K2＝eq\f(4000×?720×1020－1180×1080?2,1800×2200×1900×2100)＝eq\f(4000×??2,18×22×19×21×108)＝eq\f(4000×54×54,18×22×19×21)≈73．82>10.828.故有99%的把握認(rèn)為該學(xué)科競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān)．18．(本小題滿分12分)已知m>0，a，b∈R，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋mb,1＋m)))2≤eq\f(a2＋mb2,1＋m).證明：∵m>0，∴1＋m>0.所以要證原不等式成立，只需證(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，故原不等式得證．19．(本小題滿分12分)若a>b>c>d>0且a＋d＝b＋c，求證：eq\r(d)＋eq\r(a)<eq\r(b)＋eq\r(c).證明：要證eq\r(d)＋eq\r(a)<eq\r(b)＋eq\r(c)，只需證(eq\r(d)＋eq\r(a))2<(eq\r(b)＋eq\r(c))2，即a＋d＋2eq\r(ad)<b＋c＋2eq\r(bc)，因a＋d＝b＋c，只需證eq\r(ad)<eq\r(bc)，即ad<bc，設(shè)a＋d＝b＋c＝t，則ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)<0，故ad<bc成立，從而eq\r(d)＋eq\r(a)<eq\r(b)＋eq\r(c)成立．20．(本小題滿分12分)[2018·天津卷]已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．解析：(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽取的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②由①，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級(jí)的是A，B，C，來自乙年級(jí)的是D，E，來自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(5,21).21．(本小題滿分12分)[2019·廣西五校聯(lián)考]某公司為了準(zhǔn)確地把握市場(chǎng)，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，對(duì)過去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第x年與年銷售量y(單位：萬件)之間的關(guān)系如表：x1234y12284256(1)在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)(1)中的散點(diǎn)圖擬合y與x的回歸模型，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；(3)建立y關(guān)于x的回歸方程，預(yù)測(cè)第5年的銷售量約為多少？參考數(shù)據(jù)：eq\r(\i\su(i＝1,n,)?yi－\o(y,\s\up6(－))?2)＝32.7，eq\r(5)＝2.24，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi＝418.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)?xi－\o(x,\s\up6(－))??yi－\o(y,\s\up6(－))?,\r(\i\su(i＝1,n,)?xi－\o(x,\s\up6(－))?2\i\su(i＝1,n,)?yi－\o(y,\s\up6(－))?2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)?xi－\o(x,\s\up6(－))??yi－\o(y,\s\up6(－))?,\i\su(i＝1,n,)?xi－\o(x,\s\up6(－))?2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解析：(1)作出的散點(diǎn)圖如圖：(2)由(1)散點(diǎn)圖可知，各點(diǎn)大致分布在一條直線附近，由題中所給表格及參考數(shù)據(jù)得，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(69,2)，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝418,eq\r(\i\su(i＝1,4,)?yi－\o(y,\s\up6(－))?2)≈32.7，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝30，eq\i\su(i＝1,4,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\i\su(i＝1,4,x)iyi－4eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝418－4×eq\f(5,2)×eq\f(69,2)＝73，eq\r(\i\su(i＝1,4,)?xi－\o(x,\s\up6(－))?2)＝eq\r(\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\r(30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\r(5)≈2.24，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)?xi－\o(x,\s\up6(－))??yi－\o(y,\s\up6(－))?,\r(\i\su(i＝1,4,)?xi－\o(x,\s\up6(－))?2\i\su(i＝1,4,)?yi－\o(y,\s\up6(－))?2))＝eq\f(73,2.24×32.7)≈0.9966.∵y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.9966，說明y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)強(qiáng)，∴可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．(3)由(2)知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(69,2)，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝418，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝30，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－