02-必修①第一章-集合與函數(shù)概念

02--必修①第一章-集合與函數(shù)概念LtD《新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修①精講精練》——精練月日:~:自評(píng)分《新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修①精講精練》——精講第一章集合與函數(shù)概念A(yù).B.C.D.A.B.C.D.5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ? A． B． C． D．6．已知＝＋x＋1，則＝______；f［］＝______．7．已知，則=.※能力提高8．（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的定義域與值域.9．已知，，且，試求的表達(dá)式.※探究創(chuàng)新10．已知函數(shù)，同時(shí)滿足：；，，，求的值.第6講§1.2.2函數(shù)的表示法¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ▓D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用；了解映射的概念.¤知識(shí)要點(diǎn)：1.函數(shù)有三種表示方法：解析法（用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量可求函數(shù)值）；圖象法（用圖象表示兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì)）；列表法（列出表格表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值）.2.分段函數(shù)的表示法與意義（一個(gè)函數(shù)，不同范圍的x，對(duì)應(yīng)法則不同）.3.一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)為從集合A到集合B的一個(gè)映射（mapping）．記作“”.判別一個(gè)對(duì)應(yīng)是否映射的關(guān)鍵：A中任意，B中唯一；對(duì)應(yīng)法則f.¤例題精講：【例1】如圖，有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，寫(xiě)出體積V以x為自變量的函數(shù)式是_____，這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______．解：盒子的高為x，長(zhǎng)、寬為，所以體積為V＝.又由，解得.所以，體積V以x為自變量的函數(shù)式是，定義域?yàn)?【例2】已知f(x)=，求f[f(0)]的值.解：∵，∴f(0)=.又∵>1，∴f()=()3+()-3=2+=，即f[f(0)]=.【例3】畫(huà)出下列函數(shù)的圖象：（1）；（教材P26練習(xí)題3）（2）.解：（1）由絕對(duì)值的概念，有.所以，函數(shù)的圖象如右圖所示.（2），所以，函數(shù)的圖象如右圖所示.點(diǎn)評(píng)：含有絕對(duì)值的函數(shù)式，可以采用分零點(diǎn)討論去絕對(duì)值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù)，然后根據(jù)定義域的分段情況，選擇相應(yīng)的解析式作出函數(shù)圖象.【例4】函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出的解析式，并作出函數(shù)的圖象.解：.函數(shù)圖象如右：點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是理解符號(hào)的概念，抓住分段函數(shù)的對(duì)應(yīng)函數(shù)式.第6練§1.2.2函數(shù)的表示法※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．函數(shù)f(x)=，則=（）. A.1B.2C.3D.42．某同學(xué)從家里到學(xué)校，為了不遲到，先跑，跑累了再走余下的路，設(shè)在途中花的時(shí)間為t，離開(kāi)家里的路程為d，下面圖形中，能反映該同學(xué)的行程的是（）.OOdtOdtOdtOdtA.B.C.D.3．已知函數(shù)滿足，且，，那么等于（）. A. B. C. D.4．設(shè)集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，從A到B的對(duì)應(yīng)法則f不是映射的是（）. A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x5．?dāng)M定從甲地到乙地通話分鐘的話費(fèi)由給出，其中是不超過(guò)的最大整數(shù)，如：，從甲地到乙地通話5.2分鐘的話費(fèi)是（）. A.3.71B.4.24C.4.77D.7.956．已知函數(shù)且此函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，5），實(shí)數(shù)m的值為.7．；若.※能力提高8．畫(huà)出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）.9．設(shè)二次函數(shù)滿足且=0的兩實(shí)根平方和為10，圖象過(guò)點(diǎn)(0,3)，求的解析式※探究創(chuàng)新10．（1）設(shè)集合，.試問(wèn)：從A到B的映射共有幾個(gè)？（2）集合A有元素m個(gè)，集合B有元素n個(gè)，試問(wèn)：從A到B的映射共有幾個(gè)？第7講§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).理解增區(qū)間、減區(qū)間等概念，掌握增（減）函數(shù)的證明和判別.¤知識(shí)要點(diǎn)：1.增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasingfunction）.仿照增函數(shù)的定義可定義減函數(shù).2.如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說(shuō)f(x)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫f(x)的單調(diào)區(qū)間.在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是從左向右是上升的（如右圖1），減函數(shù)的圖象從左向右是下降的（如右圖2）.由此，可以直觀觀察函數(shù)圖象上升與下降的變化趨勢(shì)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.3.判斷單調(diào)性的步驟：設(shè)x、x∈給定區(qū)間，且x<x；→計(jì)算f(x)－f(x)→判斷符號(hào)→下結(jié)論.¤例題精講：【例1】試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性.解：任取∈(0,1)，且.則.由于，，，，故，即.所以，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù).【例2】求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.解：設(shè)任意，且.則.若，當(dāng)時(shí)，有，，即，從而，即，所以在上單調(diào)遞增.同理可得在上單調(diào)遞減.【例3】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）.解：（1），其圖象如右.由圖可知，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2），其圖象如右.由圖可知，函數(shù)在、上是增函數(shù)，在、上是減函數(shù).點(diǎn)評(píng)：函數(shù)式中含有絕對(duì)值，可以采用分零點(diǎn)討論去絕對(duì)值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù).第2小題也可以由偶函數(shù)的對(duì)稱性，先作y軸右側(cè)的圖象，并把y軸右側(cè)的圖象對(duì)折到左側(cè)，得到的圖象.由圖象研究單調(diào)性，關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象.【例4】已知，指出的單調(diào)區(qū)間.解：∵，∴把的圖象沿x軸方向向左平移2個(gè)單位，再沿y軸向上平移3個(gè)單位，得到的圖象，如圖所示.由圖象得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.點(diǎn)評(píng)：變形后結(jié)合平移知識(shí)，由平移變換得到一類(lèi)分式函數(shù)的圖象.需知平移變換規(guī)律.第7練§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．函數(shù)的減區(qū)間是（）.A.B.C.D.2．在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)的是（）.A.y=－x+1B.y=C.y=x2－4x＋5D.y=3．函數(shù)的遞增區(qū)間依次是（）.A.B.C.D.4．已知是R上的增函數(shù)，令，則是R上的（）. A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先減后增 D．先增后減5．二次函數(shù)在區(qū)間(∞，4)上是減函數(shù)，你能確定的是（）.A.B.C.D.6．函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)其內(nèi)任意實(shí)數(shù)均有：，則在上是.（填“增函數(shù)”或“減函數(shù)”或“非單調(diào)函數(shù)”）7．已知函數(shù)f(x)=x2－2x＋2，那么f(1)，f(－1)，f()之間的大小關(guān)系為.※能力提高8．指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性：（1）；（2）9．若，且.（1）求b與c的值；（2）試證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).※探究創(chuàng)新10．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)、均有，且，又當(dāng)時(shí)，有.（1）求的值；（2）求證：是單調(diào)遞增函數(shù).第8講§1.3.1函數(shù)最大（小）值¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).能利用單調(diào)性求函數(shù)的最大（?。┲?¤知識(shí)要點(diǎn)：1.定義最大值：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)于任意的x∈I，都有≤M；存在x0∈I，使得=M.那么，稱M是函數(shù)的最大值（MaximumValue）.仿照最大值定義，可以給出最小值（MinimumValue）的定義.2.配方法：研究二次函數(shù)的最大（?。┲担扰浞匠珊?，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值.3.單調(diào)法：一些函數(shù)的單調(diào)性，比較容易觀察出來(lái)，或者可以先證明出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值.4.圖象法：先作出其函數(shù)圖象后，然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值.¤例題精講：【例1】求函數(shù)的最大值.解：配方為，由，得.所以函數(shù)的最大值為8.【例2】某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元售出時(shí)，每天可售出100件.現(xiàn)在他采用提高售出價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)，已知這種商品每件提價(jià)1元，其銷(xiāo)售量就要減少10件，問(wèn)他將售出價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天所賺得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).解：設(shè)他將售出價(jià)定為x元，則提高了元，減少了件，所賺得的利潤(rùn)為.即.當(dāng)時(shí)，.所以，他將售出價(jià)定為14元時(shí)，才能使每天所賺得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為360元.【例3】求函數(shù)的最小值.解：此函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在定義域上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最小值為2.點(diǎn)評(píng)：形如的函數(shù)最大值或最小值，可以用單調(diào)性法研究，也可以用換元法研究.【另解】令，則，，所以，在時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的最小值為2.【例4】求下列函數(shù)的最大值和最小值：（1）；（2）.解：（1）二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，即.畫(huà)出函數(shù)的圖象，由圖可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的最大值為4,最小值為.（2）.作出函數(shù)的圖象，由圖可知，.所以函數(shù)的最大值為3,最小值為-3.點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值或最小值，常根據(jù)閉區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，結(jié)合圖象進(jìn)行分析.含絕對(duì)值的函數(shù)，常分零點(diǎn)討論去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)行研究.分段函數(shù)的圖象注意分段作出.第8練§1.3.1函數(shù)最大（小）值※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則y的最小值是（）.A.1B.3C.－2D.52．函數(shù)的最大值是（）.A.8B.C.4D.3．函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則的取值范圍是（）.A．B．C．D．4．某部隊(duì)練習(xí)發(fā)射炮彈，炮彈的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式是則炮彈在發(fā)射幾秒后最高呢（）.A.1.3秒B.1.4秒C.1.5秒D1.6秒5.的最大（小）值情況為（）.A.有最大值，但無(wú)最小值B.有最小值，有最大值1C.有最小值1，有最大值D.無(wú)最大值，也無(wú)最小值6．函數(shù)的最大值是.7．已知，.則的最大值與最小值分別為.※能力提高8．已知函數(shù).（1）證明在上是減函數(shù);（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值.房?jī)r(jià)（元）住房率（%）160551406512075100859．一個(gè)星級(jí)旅館有100個(gè)標(biāo)準(zhǔn)房，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)，經(jīng)理得到一些定價(jià)和住房率的數(shù)據(jù)如右：欲使每天的的營(yíng)業(yè)額最高，應(yīng)如何定價(jià)？※探究創(chuàng)新10．已知函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值.第9講§1.3.2函數(shù)的奇偶性¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的幾何意義，能熟練判別函數(shù)的奇偶性.¤知識(shí)要點(diǎn)：1.定義：一般地，對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有，那么函數(shù)叫偶函數(shù)（evenfunction）.如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有），那么函數(shù)叫奇函數(shù)（oddfunction）.2.具有奇偶性的函數(shù)其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸軸對(duì)稱.3.判別方法：先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再用比較法、計(jì)算和差、比商法等判別與的關(guān)系.¤例題精講：【例1】判別下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）.解：（1）原函數(shù)定義域?yàn)?，?duì)于定義域的每一個(gè)x，都有，所以為奇函數(shù).（2）原函數(shù)定義域?yàn)镽，對(duì)于定義域的每一個(gè)x，都有，所以為偶函數(shù).（3）由于，所以原函數(shù)為非奇非偶函數(shù).【例2】已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求、.解：∵是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，∴，.則，即.兩式相減，解得；兩式相加，解得.【例3】已知是偶函數(shù)，時(shí)，，求時(shí)的解析式.解：作出函數(shù)的圖象，其頂點(diǎn)為.∵是偶函數(shù)，∴其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.作出時(shí)的圖象，其頂點(diǎn)為，且與右側(cè)形狀一致，∴時(shí)，.點(diǎn)評(píng)：此題中的函數(shù)實(shí)質(zhì)就是.注意兩拋物線形狀一致，則二次項(xiàng)系數(shù)a的絕對(duì)值相同.此類(lèi)問(wèn)題，我們也可以直接由函數(shù)奇偶性的定義來(lái)求，過(guò)程如下.【另解】當(dāng)時(shí)，，又由于是偶函數(shù)，則，所以，當(dāng)時(shí)，.【例4】設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)a滿足不等式，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴的圖象在y軸左側(cè)遞減.又∵是奇函數(shù)，∴的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則在y軸右側(cè)同樣遞減.又，解得，所以的圖象在R上遞減.∵，∴，解得.點(diǎn)評(píng)：定義在R上的奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn).由圖象對(duì)稱性可以得到，奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.第9練§1.3.2函數(shù)的奇偶性※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．函數(shù)(|x|≤3)的奇偶性是（）.A．奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)2．（08年全國(guó)卷Ⅱ.理3文4）函數(shù)的圖像關(guān)于（）.A．軸對(duì)稱 B．直線對(duì)稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線對(duì)稱3．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，等于（）.A.B.C.D.4．函數(shù)，那么的奇偶性是（）.A．奇函數(shù)B．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C．偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)5．若奇函數(shù)在[3,7]上是增函數(shù)，且最小值是1，則它在上是（）.A.增函數(shù)且最小值是－1 B.增函數(shù)且最大值是－1C.減函數(shù)且最大值是－1 D.減函數(shù)且最小值是－16．已知，，則.7．已知是定義在上的奇函數(shù)，在是增函數(shù)，且，則的解集為.※能力提高8．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明你的結(jié)論.9．若對(duì)于一切實(shí)數(shù)，都有：（1）求，并證明為奇函數(shù)；（2）若，求.※探究創(chuàng)新10．已知，討論函數(shù)的性質(zhì)，并作出圖象.第10講第一章集合與函數(shù)概念復(fù)習(xí)¤復(fù)習(xí)目標(biāo)：強(qiáng)化對(duì)集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問(wèn)題，注意運(yùn)用文氏圖解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡(jiǎn)訓(xùn)練.深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念.掌握對(duì)應(yīng)法則、圖象等有關(guān)性質(zhì).理解掌握函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法和步驟，并會(huì)運(yùn)用.¤例題精講：【例1】（05年江蘇卷.17）已知a,b為常數(shù)，若，則.解：由，則，整理得，比較系數(shù)得：，解得：；或.則.【例2】（02京、皖春.18）已知是偶函數(shù)，而且在上是減函數(shù)，判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明.解：設(shè)x1＜x2＜0，則－x1＞－x2＞0，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，則.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，由此可得在上是增函數(shù).【例3】集合，，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：由，得.當(dāng)時(shí)，有：，解得.-12-m3m-12-m3m+17xBA，解得.綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.點(diǎn)評(píng)：已知兩個(gè)含參集合的關(guān)系或者運(yùn)算結(jié)果時(shí)，可以結(jié)合數(shù)軸分析區(qū)間端點(diǎn)的位置情況，列出相關(guān)不等式后求解參數(shù)范圍.注意當(dāng)時(shí)，不能忽視的情況.【例4】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)，x∈R.（1）討論的奇偶性；（2）若x≥a，求的最小值.解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)，此時(shí)為偶函數(shù).當(dāng)a≠0時(shí)，，，.此時(shí)函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù).（2）當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù).若a≤－，則函數(shù)在上的最小值為.若a＞－，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)在上的最小值為f（a）=a2+1.綜上，當(dāng)a≤－時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是－a.當(dāng)a＞－時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是a2+1.點(diǎn)評(píng)：函數(shù)奇偶性的討論問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題，如果平時(shí)注意知識(shí)的積累，對(duì)解此題會(huì)有較大幫助.因?yàn)?/p>