浙江省高中數(shù)學2019屆一輪復習曲線相切問題

曲線相切問題題1(湖南省長沙市統(tǒng)考文科第15題)若直線l與曲線C知足以下兩個條件：直線l在點Px0,y0處與曲線C相切；(ii)曲線C在P周邊位于直線l的雙側，則稱直線l在點P處“切過”曲線C．以下命題正確的選項是_________(寫出所有正確命題的編號)．①直線l:y0在點P0,0處“切過”曲線C：yx3②直線l:x1在點P1,0處“切過”曲線C：y(x1)2③直線l:yx在點P0,0處“切過”曲線C：ysinx④直線l:yx在點P0,0處“切過”曲線C：ytanx⑤直線l:yx1在點P1,0處“切過”曲線C：ylnx答案①③④解求出切線方程后作圖察看；對于⑤，還需用到常用不等式

lnxx1(當且僅當x1時取等號)．這是一道新奇新奇、內涵豐富的好題：由命題③，④，⑤還分別介紹了常用不等式sinxx(x0),xtanx0x,lnxx1(當且僅當x1時取等號)．2學生最初是從“圓的切線”接觸“切線”的，緊接著又學習了“拋物線的切線”，這就使得好多初中生對于“直線與曲線相切時，曲線在切線的一側”毋容置疑、根深蒂固，到了高中也沒法改變．下邊的問題，你思慮過嗎：直線與曲線相切時，曲線必定在切線的一側嗎？直線與二次曲線相切時，這條二次曲線必定在切線的一側嗎(請注意二次曲線包含雙曲線)？求過已知二次曲線上一已知點(且該已知點為切點)的該曲線的切線方程都可用“0”來求解嗎？若直線與二次曲線有獨一公共點，則它們必定相切嗎？(3)直線能與雙曲線的一支相切又與另一支訂交嗎？直線能與雙曲線的兩支均相切嗎？(4)直線有切線嗎？(5)函數(shù)圖像的切線能是鉛垂線嗎？(6)若直線與曲線有獨一公共點，則它們必定相切嗎？直線能與曲線既相切又訂交嗎？(7)過一點最多(最少)可作n(nN*)次曲線的幾條切線？(8)過二(三)次曲線上的一點可作該曲線的幾條切線？(9)直線與曲線相切時，能有無窮個切點嗎？(10)何謂曲線與曲線相切？讀罷本文，便可找到它們的所有答案．1直線與曲線相切(選修II)》(2006年人民教育第一版社)第118整日制一般高級中學教科書《數(shù)學·第三冊頁給出了曲線的切線的定義：如圖1所示，設曲線C是函數(shù)yf(x)的圖像，在曲線C上取一點P(x0,y0)及周邊的一點Q(x0x,y0y)，過P,Q兩點作割線，并分別過P,Q兩點作x軸與y軸的平行線MP,MQ，又設割線PQ的傾斜角為，那么MPx,MQyyx這就是說，y就是割線的斜率．

tanx圖1圖2如圖2所示，當點Q(x0x,y0y)沿著曲線漸漸向點P(x0,y0)靠近時，割線PQ將繞著點P漸漸轉動．當點Q沿著曲線無窮靠近于點P即x0時，假如割線PQ有一個極限地點PT，那么直線PT叫做曲線在點P處的切線．l由此定義可知，切線是割線的極限地點．因此直線與曲線相切是局部觀點，因此直線與曲線C能夠同時相切于點A和訂交于點B，比方曲線yx3與直線y3x2在點(1,1)處相切，在點(2，8)處訂交(見圖3)．圖3圖4題2（浙江省鄞州中學月考第15題)已知曲線y1x3+4，則過點P(2,4)的切線方33程是．當時給出的參照答案是

y4x40，實質上，正確答案應該是y4x40和y20(見圖4)．應該注意“曲線在某一點處的切線”與“曲線過該點的切線”的區(qū)別．下邊再舉出多姿多彩的直線與曲線相切的各樣情況．(1)直線與曲線相切(且切點獨一)不訂交(如圖5所示，曲線yx4與x軸相切不訂交，切點為坐標原點)：能夠證明，直線與二次曲線相切時均是這類情況．圖5(2)直線與曲線相切(且切點有無數(shù)個)不訂交(如圖6所示，正弦曲線與直線y1在公共點2k,1(kZ)處均相切．2圖6(3)直線與曲線既相切又訂交且切點、交點均獨一(見圖3)．(4)函數(shù)圖像的切線能夠是鉛垂線．圖7圖8圖91(x1)2(2x0)0(即圖7即曲線y1)2在座標原點(0，0)處的切線是x1(x(0x2)y軸)；1(x1)2(2x0)圖8即曲線y1)21(x(0x2)x0(即y軸)；

在座標原點(0，0)處的切線是圖9即曲線數(shù)能夠求得曲線

y3x在座標原點(0，0)處的切線是x0(即y軸)，證明以下：由于用導yx3在座標原點(0，0)處的切線是y0(即x軸)，因此曲線yx3對于直線yx對稱的曲線y3x在座標原點(0，0)處的切線是x軸對于直線yx對稱的直線軸．(5)設直線l與曲線C相切于點P(x0,y0)，曲線C在點P雙側以P為端點的各一段圖像可在直線l的同側(比方圖3，圖4，圖5)．(6)設直線l與曲線C相切于點P(x0,y0)，曲線C在點P雙側以P為端點的各一段的圖像可在直線l的異側(比方圖7，圖8，圖9)．曲線與曲線相切一般以為，“曲線與曲線相切”的定義是：若曲線C1與曲線C2有公共點P(x0,y0)，且它們在該點處的切線重合，就說曲線C1與曲線C2在點P處相切(曲線與曲線相切包含了直線與曲線相切的情況)．(1)曲線與曲線相切(且切點獨一)不訂交(如圖10，曲線y11x2與曲線y24x2相切不訂交，切點為坐標原點)．圖10(2)曲線與曲線相切(且切點有無數(shù)個)不訂交(如圖11所示，曲線ysinx1與曲線y1sinx在公共點2k,0(kZ)處均相切)．2圖11(3)曲線與曲線即相切又訂交且切點、交點均獨一(如圖12，曲線y11x2(1x1)4x21(x與曲線y2相切又訂交)．1)圖12(4)設曲線C1與曲線C2上相切于點P(x0,y0)，曲線C1在點P雙側以P為端點的各一段圖像可在曲線C2的同側(比方圖10)．(5)設曲線C1與曲線C2上相切于點P(x0,y0)，曲線C1在點P雙側以P為端點的各一段圖像可在曲線C2的異側(比方圖13)．可證曲線y(ee)x與曲線ylogeex有獨一的公共點11(該點是e,)(可見文件e[1])，且它們在該點相切(由于它們在該點處有同樣的切線x2y)．e圖13題3(新高考研究卷（一）第21題)已知函數(shù)[1,1),(1,3]內各有一個極值點.

f(x)1x31ax2bx在區(qū)間32(1)求a24b的最大值；(2)當a24b8時，設函數(shù)yf(x)在點A(1,f(1))處的切線為l，若l在點A處穿過函數(shù)函數(shù)yf(x)的圖象(即動點在點A周邊沿曲線yf(x)運動，經過點A時，從l的一側進入另一側)，求函數(shù)f(x)的表達式.解(1)由題設可得函數(shù)f(x)x2axb在區(qū)間[1,1),(1,3]內各有一個實根(分別設為x1,x2)，可得x2x1a24b，且0x2x14，因此0a24b16，當且僅當(x1,x2)(1,3)即(a,b)(2,3)時取等號，因此a24b的最大值是16.(2)可求得切線l:y(ab1)x12a.23由于切線l在點A(1,f(1))處穿過函數(shù)yf(x)的圖象，因此g(x)f(x)[(ab1)x1a2]1x31ax2bx(ab1)x1a2在x1233223兩邊周邊的