初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)

第三講實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng) 第四講分式的化簡與求 第五講恒等式的證 第六講代數(shù)式的求 第七講根式及其運(yùn) 第八講非負(fù) 第九講一元二次方 第十講三角形的全等及其應(yīng) 第十一講勾股定理與應(yīng) 第十二講平行四邊 第十三講梯 第十四講中位線及其應(yīng) 第十五講相似三角形(一 第十六講相似三角形(二

第十七講*集合與簡易邏 第十八講歸納與發(fā) 第十九講特殊化與一般 第二十講類比與聯(lián) 第二十一講分類與討 第二十二講面積問題與面積方 第二十三講幾何不等 第二十四講*整數(shù)的整除 第二十五講*同余 第二十六講含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問 第二十七講列方程解應(yīng)用問題中的 第二十八講怎樣把實(shí)際問題化成數(shù)學(xué)問 第二十九講生活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世 第三十講生活中的數(shù)學(xué)(四)──買魚的學(xué) 第一講：因式分解(一運(yùn)用將其反向使用，即為因式分解中常用的，例如an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中

nn據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇1(1)原式=-2xn-1yn(x4n-=-2xn-1yn[(x2n)2-=(a-(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-=a5(a2-b2)+b5(a2-=(a2-=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-2分解因式：a3+b3+c3-我們已經(jīng)知道的正確性，現(xiàn)將此變形a3+b3=(a+b)3-這個式也是一個常用的，本題就借助于它來原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-說明(6)是一個應(yīng)用極廣的，用它可以推a3+b3+c3-＞0a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而a=b=c3分解因式16x15開始，x0，由此想到應(yīng)用an-bn來分解．

x16-1=(x-在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再4分解因式：x3-分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項、添項18-1+9．=(x3-1)-2將一次項-9x-x-8x．=(x3-x)+(-3x39x3-8x3．=(9x3-9x)+(-4添加兩項-原式=x3-=x3-x2+x2-說明由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解5分解因式：(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-(1)將-3-1-1-1．=(x9-1)+(x6-1)+(x3-=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-=(x3-=(x-4mn2mn+2mn．=m2n2-m2-=(m2n2+2mn+1)-(m2-=(mn+1)2-(m-將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-=(2x2+2)2-(x2-=(a3b-ab3)+(a2-=[a(a-=(a2-

(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)換元6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-分析x因式較．我們不妨將x2+x看作一個整體，并用設(shè)x2+x=y說明x2+x+17先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-=(y+10)(y-對多項式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)8設(shè)x2+4x+8=y，說明由本題可知，用換元法分解因式時，不必將9分解因式：6x4+7x3-36x2-1原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-=6(x2-1)2+7x(x2-1)-=[2(x2-1)-3x］［3(x2-=(2x2-3x-2)(3x2+8x-說明x2-1作一個整體，但并

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-10分解因式：(x2+xy+y2)-分析本題含有兩個字母，且當(dāng)互換這兩個字母的u=x+y，解原式=(u2-v)2-4v(u2-=u4-=(u2-=(x2+2xy+y2-=(x2-第二講：因式分解(二2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．

x

十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個十字f中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等dx．1(4)中有三個字母，解法仍與前面的類似． n- 我們把形如axn+axn-1+…+ax+a(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項 n- f(x)

解(1)1(因式定理)af(x)的根，f(a)=0f(xx-a．f(x)的一次因式f(x)的根．對于任意多項式定理 pa0的約數(shù)，qan的約數(shù)．特別a0=1f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)．2分解因式：x3-4x2+6x-分析這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗(yàn)-4的約數(shù)：±1，±x-2．1用分組分解法，使每組都有因式(x-2)．2用多項式除法，將原式除以(x-

解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-若整系數(shù)多項式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含9x2-3x-2，這樣可以簡化分解過程．f(x)，如果能找到一個一次因式(x-a)，f(x)就可以分解為(x-a)g(xg(x)f(x)低一次的一元多項式，g(x)進(jìn)行分解了．3說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-443分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-9±1，±3，±9；-2

4分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于x+2y+m和x＋y＋n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求m和n，使問題得到解決．原式說明本題也可十字相乘法，請自己解5分解因式：x4-2x3-27x2-分析本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面1，±7(7

b=-1，d=-7b=1，d=7a，cbd=7第三數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用的．因此，適當(dāng)學(xué)些有關(guān)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識，以

要說明一個數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否100 2a，b

分析要證明一個實(shí)數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極集，且二者是的兩個對立面，所以，判定一個實(shí)分證

得4若a1+b1a=a2+b2aa1，a2，b1，b2為有理設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無理將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1b1≠b24本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)

即6a，b個任意有理數(shù)，且a＜b，求證：a與b之間存在著無窮多個有理數(shù)(即有理數(shù)集只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被因?yàn)閍＜b，2a＜a+b＜2b說明構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個數(shù)，或一個式子，7a，ba＜b，問是否存在無理數(shù)α，a＜α＜b

分析因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能9a，x，y．將原式兩邊平方得10a12+22+32+…+n2的個位數(shù)字nn分析有理數(shù)的另一個定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理0.a1a2a3…an…是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)小

計算an的前若干個值，尋找規(guī)律f(n+20f(n)有相同的個位數(shù)，而 a=a0.a1a2…an 第四式的化簡與求1直接通分計算較繁，先把每個假分式化成整

本題的關(guān)鍵是正確地將假分式寫成整式與真2

4a=2分析與解先化簡再求值．直接通分較復(fù)雜，注意到平方差：a2-b2=(a+b)(a-b)，3abc=1，本題可將分式通分后，再進(jìn)行化簡求值，但1abc=1a，b，c2abc=1

分析與解三個分式一齊通分運(yùn)算量大，可先將每說5化簡計算(式中a，b，c解本例也是采取“拆項相消”法，所不同的是6已知：x+y+z=3a(a≠0，x，y，z本題字母多，分式復(fù)雜．若把條件寫成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么題目只與x-a，y-a，z-a令x-a=u，y-a=v，z-a=w，u2+v2+w2≠0，從而有從本例中可以看出，換元法可以減少字母個7

(x-4)2=3，即x2-原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-原式分母=(x2-說明本例的解法采用的是整體代入的方法，這是1說明比例有一的性質(zhì)，在解決分式問題2所以(a+b+c)(k-1)=0，k=1a+b+c=0．

k=1a+b+c=0k第五等式的證講主要介紹恒等式的證明．首先復(fù)下基本知識，然后者，要利用附加條件，使證明簡化．下面由繁到簡和相向1x+y+z=xyz，證明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x+y+z=xyz，將等式

x+y+z=xyz左邊=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-=4xyz=2＞0，1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，本例的證明思路是“相向趨進(jìn)”，在證明方k，使左右兩邊同時變形為同一形3求證：用比差法證明左-右=0．b代a，c代b，ac，則可得說明本例若采用通分化簡的方法將很繁．像這種

分析法與綜合a2+b2+c2=(a+b-c)2只要證ab=ac+bc，c(a+b)=ab，6a4+b4+c4+d4=4abcda，b，c，da4+b4+c4+d4-(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-因?yàn)?a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，以a2-b2=c2-d2=ab-a+b)(a-b)=(c+d)(c-≠0，ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-a＝c．a(chǎn)=b＝c=d本題采用的方法是綜合法．求證6(a+b)=6k(a-3(b+c)=6k(b-即8a+9b+5c=0．說明k”的設(shè)參8a+b+c=0

分析a+b+c=0=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-=(a2-b2-c2)2-=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-=[a2-(b-c)2][a2-分析a，x，yz，a，xz，因此可y本題利用的是“消元”法，它是證明條件等10分析此題看起來很復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，可聯(lián)想到乘法a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以所以a3+b3+c3-3abc=0，由本例可以看出，換元法也可以在恒等式證11x，y，z求證x，y，z代數(shù)式求值問題，往往需要利用乘法、絕對值與算利用因式分解方分析x3x2+3x-1=0，所以=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-

證由已知有這種欲進(jìn)先退的解題策略經(jīng)常用于探索解決鍵是代數(shù)式的變形技能．要在明確變形目的的第六數(shù)式的求說明在求代數(shù)式的值時，若已知的是一個或幾個2a，b，ca+b+c即bc+ac+ab=0，則a+b+c=±1．a(chǎn)+b+c0，1，-1．說明本題也可以用如下方法對②式變形：即前一解法是加一項，再減去一項；這個解法是將3拆成1+1+1，最終都是將②式變形為兩個式子之積等于利用乘法求3x+y=m，x3+y3=n，m≠0x2+y2的值．解x+y=m，所以

分析本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù)k，用它表示連比的比值，以便把它們分割成幾個

u2+v2+w2=1，即將x，y已知中x，y的值正好是一對共軛無理數(shù)，所以很容易 計算出x+y與xy的值，由此得到以下解法．設(shè)參數(shù)法與換元利用非負(fù)數(shù)的性8若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx分析與解xy方程，似乎無法求值，但仔細(xì)挖掘題中的隱含條件可知，可以利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解．x-2)2+|3x-9x，y(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，m，nx，y分析與解兩個未知數(shù)，一個方程，對方程左邊的m2x2+m2y2-2mxy-(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0(mx-y)2+(my-利用分式、根式的性質(zhì)求

10xyzt=1直接通分是笨拙的解法，可以利用條件將某解根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母可以同時乘分析計算時應(yīng)注意觀察式子的特點(diǎn)，若先分母有1

第七式及其運(yùn)說明若根式中的字母給出了取值范圍，則應(yīng)在這2分析兩個題分母均含有根式，若按照通常的做法1

被開方數(shù)中含有三個不同的根式，且系數(shù)都2，可以看成 24

設(shè)原式=x，1利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b2218

解 x，y3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-＝3(x＋y)2-＝3×102-11本題的關(guān)鍵在于將根號里的乘積化簡，不可A，1＝(2-1)，及平方差(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以＝(22-＝(24-＝22×256-

分析與解x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＝-1，2時，方程成立．因此，方

第八負(fù)實(shí)數(shù)的偶次冪是n=1a2≥0．a(chǎn)性質(zhì)絕對值最小的實(shí)數(shù)是零．`3．一個正實(shí)數(shù)的算術(shù)根是非負(fù)4．非負(fù)數(shù)的其他性負(fù)數(shù)．(2a1，a2，…，an為非負(fù)數(shù)，則為零，即若a1，a2，…，an為非負(fù)數(shù)，且a1＋a2＋…＋an=0，a1＝a2＝…＝an＝0．

充要條件是判別式△=b2-4ac為非負(fù)數(shù)．因?yàn)?20x-3)2-(20x-3)2≤0．-(20x-3)2≥0．②a≥0a≤0，則3x，y因?yàn)閤，yy有因?yàn)閍2+b2-4a-2b+5=0，所即(a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0b-5x，yu=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值時x，yu=5x2-6xy+2y2+2x-=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-6確定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=01)2+x2+a2+3于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0無實(shí)根例7求方程的實(shí)數(shù)根本題是已知一個方程，但要求出兩個未知數(shù)

說明應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)“幾個非負(fù)數(shù)之和為零，8顯然，x1=x2=…=xn=0x1，x2，…，xn中，只要有x1=x2=…=xn=0x1≠0，x29求滿足方程｜a-b｜+ab=1a，b由于a，b10a，b解因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以△≥0，即△=4(1+a)2-=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-2a2-4ab-4b2+2a--a2+2a-1-a2-4ab--(a-1)2-11a，b，c，r，p證2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-=p2c2+2pcra+r2a2-=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-

=(pc-ra)2+4ac(pr-1pr-1＞0，又(pc-12x3x2+2x-1x2+5x-3=2x2-即3x2+2x-1＞x2+5x-說明比差法是比較兩個代數(shù)式值的大小的常用方13a，b，c證由題設(shè)有=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-A+B+C＞0．14a≥0，b≥0，求證：分析有15a，b，c，d，

解由已知可得(a4-2a2b2+b4)+(c2-a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．a(chǎn)，b，c，d有

第九元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac該方當(dāng)△=0當(dāng)△＜0

分析可以使用法直接求解，下面介紹的是采2x解用十字相乘法分解因式得x1=p(p-q)，x2=q(p+q)．3已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0大根為a，方程x2x-1999=0β，求α-β的由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0 )(x-4解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-本題容易犯的錯誤是約去方程兩邊的(x-1)，所以x=-2，這樣就丟掉了x=1這個根．故特別要注(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-x1=1，x2=-5解方程：x2-3｜x｜-本題含有絕對值符號，因此求解方程時，要

1x≠0x＞0x2-3x-4=0，所以x4，x-1(舍去)．當(dāng)x＜0時，x2+3x-4=0，x- 2x ｜x｜2-3｜x｜-所以(｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．所以x1=4，x2=-4．63x2-(2a-5)x-3a-x=23×22-(2a-5)×2-3a-3x2-x-10=0，即(x-7x含有字母系數(shù)的方程，一般需要對字母的取c=08xm，m，所以首先要m-1=0m-1≠0△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-9xa2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-(a2-a)x2-(2a2-a2-a≠0，即a≠0，1時，原方程為一元二次當(dāng)a2-a=0時，原方程為一元一次方程，當(dāng)時，x=0；a=1

10kaa2+ka-1=0，a2+a+(k-2)=0．k-1)(a-x2-1=0，x2+x- 解這兩個方程，x2-1=0x1，x-1；x2+x-2=0x1=1，x2=- 11kx(k2-1)x2-6(3k-解原方程變形、因式分解為(k+1)(k-1)x2-6(3k-即 4，7．k=2，3使得x1，x2同時為正整數(shù)，但當(dāng)12xx2-5x=m2-1和β，且｜α｜+｜β｜≤6，確定m解不妨設(shè)方程的根α≥β，由求根得m2≤1．

x0=0，代入①式得b=0，bABC的邊不x0=-(a＋c)．把x0=-(a＋c)(a+c)2-14有若干個大小相同的球，可將它們擺成正方x x2-9x+8=0，13a，b，c△ABCx2+2ax+b2與x2+2cx-b2有一次公因式，證明：△ABC證因?yàn)轭}目中的兩個二次三項式有一次公因式，x2+2ax+b2=0x2+2cx-b2=0x0，則

第十角形的全等及其應(yīng)在中學(xué)中，關(guān)于三角形全等有以下判定公理 (1)邊角邊公理有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個有兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等12-1∠1=∠2，∠ABC=∠DCB分析用全等三角形證明線段(或角)相等，最常用的方AB，DC△ABE和△CDEABC△DBC．經(jīng)分析可證明△ABE≌△由已知∠ABC=∠DCB，

ABC≌△DCB(ASA)，所以AB=CD．AB，CD△ABE22-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分別是腰ABAC延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交BCG．求證：GD=GE．從圖形看，GE，GD角形：△GEC△GBD．此時就要利用這兩個三角形中過EEF∥ABBCF．在△GBDGEFBGD=∠EGF∠B=∠FEC=EF．EC=BD，所以BD=EF．適當(dāng)添加輔助線、構(gòu)造全等三角形的方法可以不GFD≌△GCE2-3)．DDF⊥BCF；過EEH⊥BCBC力集中到△ABECAD做完一道題后，再想還有沒有其他證明方法，比32-5ABCAD，BEPBQ⊥ADQ．求證分析BP，PQ在Rt△BPQ在△ABECADRt△BQPBPQ=60°，∠PBQ=30°，所以說明發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造全等三角形是利用全等三角形證明題

42-6∠A=90°，AB=AC，MAC中點(diǎn)，AD⊥BM交BCDBME．求證：1從圖形觀察∠AMEDMCAMEDMC理想不過的事．由于∠C=45°，∠A=90°，若作∠AAG，則在△AGM，∠GAM=45°=∠C．結(jié)合求證言△AGM“應(yīng)該”與△CDM1作∠BACAGBMG．在△AGB∠ABG=90°-∠AMB，∠MAD=90°-∠EAB．2如圖2-7注意到在Rt△ABMAE⊥BM得到∠MAE=∠MBA，若延長AEC作CF⊥ACAE22Rt△ABMRt△CAF，∠ABM=∠CAF，AB=AC，及∠AMB=∠F，AM=CF．FCD≌△MCD(SAS)，所以∠F=∠DMC．②由①，②說明這兩個證法的思路較為復(fù)雜．添加輔助線的結(jié)果回的辦法，地創(chuàng)造全等三角形，產(chǎn)生的相

52-8ABCDCDQ，AQ，DDP⊥AQ，AQR，交BCP，OOP，OQ．求證：OP⊥OP⊥OQ，即證明∠COP+∠COQ=90∠COQ+∠QOD=90°，因此只需證明∠COP=∠DOQ證在正方形ABCD因?yàn)锳Q⊥DP，所以，在Rt△ADQ與Rt△RDQ中有∠RDQ=∠QAD．所以，在Rt△ADQRt△DCP說明(1)利用特殊圖形的特殊性質(zhì)，?？砂l(fā)現(xiàn)有用的45°62-9ABCDMCD中點(diǎn)，EMC∠BAE=2∠DAM．求證：證明一條線段等于兩條線段和的基本方法有兩BC)相等的線段，再證明截剩的部分與延長ABF，BF=CE，EFBCG．由于對頂角∠BGF=∠CGE，所以

GGH⊥AEHAGEAFAF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，即AE=BC+CE．說明我們也可以按分析(2)的方法來證明結(jié)論，為此HE=CE即可，請自證．第十一講股定理與應(yīng)勾股定a，b勾股定理逆a，b，c形面積方法來證明的．下面的證法1是幾里得證法

12-16Rt△ABCABDE，BCHK，ACFG，它們的面c2，a2，b2．下面證明，大正方形的面積等于CCM∥BD，ABL，連接BG，CE．因?yàn)樗許=b2同理可證S=aS=SS=S+S=b+a 2如圖2-17示．將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的邊長為a+b)，又在DEDG=bEF上EH=bAG，GH，HB．由作圖易知因此，AGHBc32-18ABCABG，自DDK⊥CBK，AF，DHEGF，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC

ACKDES，一方面S=SABDE+2S△ABC，①S=SACGF+SHGKD+2S△ABC．所以求積的證明方法，在習(xí)題中展示其中一小部分，定理在三角形中，銳角(或鈍角)所對的邊的平方(1C2-19AD⊥BCD，CDACBCABDAB2=AD2+BD2，ACD，AD2=AC2-CD2BD2=(BC-CD)2，③②，③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-=AC2-CD2+BC2+CD2-=AC2+BC2-c2=a2+b2-2a·CD．BC延長線垂直于D，則CD就是ACBC(延長線)上的ABDAB2=AD2+BD2，ACDAD2=AC2-CD2，BD2=(BC+CD)2AB2=(AC2-=AC2-c2=a2+b2+2a·cd． 系對于角的影響．在△ABC12-21ABCD∠BACBCEEF⊥ACF，作G．注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGFAF2=2FG2，因而應(yīng)有

因?yàn)锳EFABEF⊥AF，AE所以AF=AB．①AF2=AG2+FG2=2FG2．②由①，②得 說明事實(shí)上，在審題中，條件“AEBAC”及“EF⊥AC于F”應(yīng)使我們兩個直角三角形△AFEABEAB“AFAF(即22-22．AMABCBC過AAD⊥BCD(不妨設(shè)DAB2=AM2+BM2+2BM·MD．在△ACM，AC2=AM2+MC2-2MC·MDAB2+AC2=2(AM2+BM2)．③如果設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，它們對應(yīng)邊上的中線長分別為ma，mb，mc，由上述結(jié)論不難推出關(guān)于三角形三條中線長的．推論△ABC的中線長三角形的中線將三角形分為兩個三角形，其．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分別表示a，b，c32-23分析2-23對角線中點(diǎn)連線PQ，可看作△BDQ2證設(shè)四邊形ABCD角線AC，BD中點(diǎn)分別是Q，P．2，在△BDQ2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2說明本題是例2的應(yīng)用．將要解決的問題轉(zhuǎn)42-24△ABC，∠C=90°，D，E分別是BC，AC

44證AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以5C=90°，AM，BNBC，ACAM，BN，AB4M，N連接MN，44(AM2+BN2)=4AB2+4MN2M，NBC，AC4MN2=AB2由 MNABC后會知道中位線的基本性質(zhì)：“MN∥ABMN=2-S．M，N，兩邊減去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，從而AB必與MN平行．又S△ABM=第十二講行四邊

BM=DN，所以

ME=NF．

例1如圖2-32所示．在ABCD中ENFMABCD

又因?yàn)?MF=NF．由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角EFMN22-33．Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BCD，BG平分∠ABC，EF∥BC且交ACF．求AECFGH⊥BCH，由于BGEH，可證△ABE≌△HBE，AE=HE．AE作GH⊥BCHEH．BGABH平分線，GA⊥BA，GA=GH，從而所以AB=HB．在△ABE△HBE所以△ABE≌△HBE(SAS)，所以AD∥GH，所以∠AEG=∠BGH說明GH⊥BCBGABCEHCF例3如圖2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，

由于∠EMCBEMMBCEMDCF即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M延長EMDCF，DM．由于所以MEF的中點(diǎn)．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的MC=CD，所以則42-35ABCD，CE⊥BDE，AFBAD交ECF．求證：CA=CF．分析只要證明△CAF∠CAF=∠線時，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個與∠CADa，使得∠CFA=45°-aDC交AFHAF與BCG，我們不難證明∠FCH=∠CAD．延長DCAFH，顯然∠FCH=∠DCE△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因?yàn)榫匦螌Α螰CH=∠CAD．角形，從而易證△HCGCHG=45°．由于∠CHG△CHFCFH=45°-∠FCH．CAF5ABCDCDE，F(xiàn)作∠BAF∠12的兩部分，設(shè)法證明∠DAE=∠12．如圖作∠BAFAHDCH，

所以62-37ABCDADE，F(xiàn)，DE=AD，DF=BDBFCD，CEH，G．求證：△GHD準(zhǔn)確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．證因?yàn)镈EBC，所以四邊形BCED為平行四邊所以又

第十三講12-43在直角三角形ABC，E是斜邊AB中點(diǎn)，DAC的中點(diǎn)，DF∥ECBC延長F．EBFD分析E，DABCAB，ACDF．因?yàn)镋，DABCAB，ACEC=DF．EC=EB．

22-44．ABCDAD∥BC＜BC，AB=ACAB⊥AC，BD=BC，AC，BDO.求∠BCD分析由于△BCDCBD∠BCDRt△ABCBCBD)Rt△ABC求出∠BCD過DDE⊥ECE，DE即

又與EB交于

從而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的對邊等于斜邊一半定理的逆定理)．在△CBD32-45ABCDABF，M．求證：AD=BF．MFDCND=NCAD=BN=BF．證連接DN．因?yàn)镹是線段DC垂直平分線MF

42-46直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中點(diǎn)．若AD=2，BC=8，求△ABE分析AB=AD+BC，AB中是梯形的重要性質(zhì)，在下一講中深入研ABBC)AAG⊥BCG，交EFH，則AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-ABF，EF．由梯形中位線性質(zhì)知EF∥AD(BC)，在△NDC

AAG⊥BC于GEFH．由平行線等分線段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABGAG2=AB2-所以

=(AD+BC)2-(BC-=102-所以AG=8，AH=GH=4，52-47ABCF分析ADCFAD∥CF，AF=DC，了還需證明AF不平行于DC．利用(1AB∥DF，所以∠1=∠3．結(jié)合已知又所以頂角，由三角形內(nèi)角和定理知∠3=∠4，AD∥所以AF∥DC，ADCFAD=CF＜AD，所以AF不平行于DC．

(2)ADCF=AD+DC+CF+AF．△ADC=AD+DC+AC=16AF=3(FC=AC-3，=16(62-48ABCDAB∥CD，AC，BDAOB=60°，P，Q，ROA，BC，OD：△PQR分析P，ROA，ODQR，QP△OAB因此，BP⊥OA，CR⊥ODRt△BPCRt△CRBPQ，RQBC(即等腰梯形的腰)的中線，因此，PQ=RQ=BCABCD知，∠OAB=∠OBA∠OCD=∠ODC．又已知，ACBD60°角，所以，△ODC△OABBP，CR，BP⊥OA，CR⊥OD．Rt△BPCRt△CRB中，PQ，RQBC因?yàn)锳D=BC，

OAB邊OAP，BP⊥OA

“”的髀即△PQR

第十四講位線及其應(yīng)12-53．△ABCAD⊥BC分析由條件知，EF，EGABD量關(guān)系，不難求出△ABCADBC由已知，E，F(xiàn)AB，BD，EF從而AD=8(厘米)，

由于E，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EG△ABC的顯然，ADBC22-54．△ABC∠B，∠CBE，CFO，AG⊥BEG，AH⊥CFAB=9AC=14BC=18AG，BCM．由角平分線的對稱性可以證明△ABG≌△MBG，從而G是AM的中點(diǎn)；同樣，延長AH交BCN，H是AN中點(diǎn)，從而GH就是△AMN的中位線，所以GH∥BC，進(jìn)而，利用△ABC的GHAG，AHBCM，N，在△ABM由已知，BG∠ABM，BG⊥AM，所以由(1)知，△ABG≌△MBG△ACH≌△NCH，AB=BM=9厘米， 又BC=18厘米，所以說明(1)在本題證明過程中，我們事實(shí)上證明了等腰邊”．不妨自己證明．“∠B，∠C“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)2-55B，∠么，結(jié)論GH∥BC仍然成立．也不妨試證．

32-57．PABCDBCPQA′，B′，C′，D′分別是AP，PB，BQ，QA：A′C′=B′D′．A′，B′，C′，DAPBQAP，PB，BQ，QAA′B′C′D′是平行四邊形，A′CB′D′則是它A′B′C′D′應(yīng)該是矩形．利ABCD連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，這四條線段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ形，PCBQ所以A′B′⊥B′C′，A′C′=B′D′．①說明在解題過程中，人們的經(jīng)驗(yàn)?？善鸬铰?lián)想、42-58ABCDFAC，BD分析在多邊形的不等關(guān)系中，容易人們聯(lián)想三角

EADF，EFEFAD=AB+CD，證取AD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，在△ACD中，EG是它 的中位線(已知E是AC的中點(diǎn))，所以

所以在△EFG

EF＞EG-FG．

62-60．△ABCl，D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點(diǎn)，AA1，F(xiàn)F1，DD1，EE1l52-59ABCD，AB∥CD，E本題等價于證明△AED

分析ADEF行四邊形，對角線的交點(diǎn)O平分連接EF，EA，ED．由中位線定理知，EF∥AD，DE∥AF，ADEFAE，DFOOO1⊥l于O1OO1是梯形AA1E1EFF1D1D即第十五講似三角形(一形，叫作相似三角形．相似比為1的兩個相似三角形是12-64AB∥EF∥CD，厘米，CD=9分析BC是△ABC與△DBC公共邊，且AB∥EF．在△ABCEF∥AB同樣，在△DBC

由證明過程我們發(fā)現(xiàn)，本題可以有以下一般例2如圖2-65所示．ABCD的對角線交于O，OEBC于EABFAB=a，BC=b，BF=cBE．AB，BC，BFOOG∥BCABG，構(gòu)造出△FEB∽△過OOG∥BCABG．顯然，OG△ABC32-66△ABCADADBAC(=120°)，所以∠BAD=EAD=60DE∥ABACE，則△ADEAE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可實(shí)現(xiàn)求過DDE∥ABACEADBAC又EA=ED=AD．

分析2延長CBEGH，如虛線所示，AIHB．在△EIHDF∥IH，所在△OED△OBH

例4如圖2-67所示．ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，E為AD延長線上一點(diǎn)，OE交CD于F，EO延長線ABG．求證：

5(梅內(nèi)勞斯定理)ABC 設(shè)法引輔助線(平行線)將求證中所述諸線段過BBG∥EFACG．由平行線截線段成說明本題也可過CCG∥EF交AB延長線于G，將求證中所述諸線段“集中”到邊AB所在直線上進(jìn)行62-69．PABCPDE，F(xiàn)G，HIAB，BCCA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425d．分析由于圖中平行線段甚多，因而產(chǎn)生諸多相似FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四邊形△ABC，

DE=PE＋PD=AI＋FB，AF=AI＋FI，⑤BI=IF＋FB．⑥即因?yàn)榈谑v似三角形(二

12-76．△ABCADBAC設(shè)法通過添輔助線構(gòu)造相似三角形，這里應(yīng)注意所以BA=BG．過BBE∥ACADE 從

所以BE∶AC=BD∶DC，所以這個例題在解決相似三角形有關(guān)問題中，常起重三角形外角分三角形的邊成比例題，這個命題將在練習(xí)中出現(xiàn)，請自己試證．22-77△ABC，AMBC線，AE∠BAC，BD⊥AED，AMF．求證：EF∥AB．利用角平分線分三角形中線段成比例的性質(zhì)，構(gòu)造三角形，設(shè)法證明△MEF∽△MABEF∥AB．過BBG∥ACAEG，交AMH．AEBAC

所以AF∶FH=BE∶EC，這是因?yàn)樗?2-78△ABCAB，BC，CAl=AB＋AC這4條線段，構(gòu)造一對相似三角形，問題注意到，原△ABC中，已含上述4條線段中的三條，因此，不妨以原三角形ABC為基礎(chǔ)添加輔助線，構(gòu)造一個三角形，使它與△ABC證延長ABD，BD=AC(此時，AD=AB＋AC)，又延CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．

42-79．P，QABCDAB，BCBP=BQ，BH⊥PCH．QH⊥DH，只要證明∠BHQ=∠CHD．由于證在Rt△PBCBH⊥PC，所以所以∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，

ME·PD=MD·EQ．52-80．P，QRt△ABC分析若作MD⊥ABD，ME⊥ACE，并連接PB2+QC2=PA2+QA2，PB2-PA2=QA2-QC2．AB，AC

為此，只要證明△MPD∽△MEQ即可．再證明有一對銳角相等即可．由于ADME為矩形，所∠DME=90°=∠PMQ∠PMD=∠QME62-81．△ABCE，DBC上的兩

(AD＋PD)2-(AD-=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2，AD·PD=AE·EQ．

AFGDF，EG．由平行線等分線段DF∥EG∥BA，所以

FM=3

第十七講*集合與簡易邏§17．1集 A，B，C…a，b，c，…等表示元

mAmA，m∈A．n如果A，B是平面上兩個不同的點(diǎn)，那么A，B兩點(diǎn)所確定的直線上的點(diǎn)組成一個集合，這條直線上下面進(jìn)一步給介紹一些關(guān)于集合的基本知識．一一填寫在｛｝中，每個元間用逗點(diǎn)隔開．填寫集A，

是是

1設(shè)A=｛1，2，3，4｝，AA，B，由它們的公共元素所構(gòu)成ABA∩BA，B2-88)．例如則所以l1l2P，則l1∩l2=｛P｝2-A，B，把它們所含的元素合并起來所構(gòu)成的集合，叫作集合A，B的并集，我們用A∪BA，B2-92)．例如設(shè)M，N分別表示你班上男生、的集合，那M∪N則A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝．A，B35A∪B，3，5(iiiE=｛x│xx≥4｝，則E∪F=G．A={x│xα}B=｛x│xβ｝，A∪Bα或性質(zhì)β的元素組成的集A∪B={x│x∈A2

根據(jù)已知條件，用填文氏圖各區(qū)域的元素的方2-93(a)，(b)).3A={1，a，a2，B={1，a，b)，A，Ba，2a，3a｝a，b因?yàn)锳=｛1，a，a2｝，B=｛1，a，b｝，所以3，6，9｝b=6．§17．2邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思維法則的一A={x│x4}，B={x│x2數(shù)}，則Aα——4；B有性質(zhì)β——2x4x2

x=1，y=0(x＞y)，那么數(shù)學(xué)命題具有多種形式，經(jīng)常采用題形式是6÷3=22×3=6”也是真命題．“如果∠1，∠2∠1=∠2”(2)

例如，(i)則(ii)上述推理格式叫作式，推理中的①，②是兩個前提條件，①叫，②叫，③是由①，②實(shí)際上，式和推出關(guān)系的傳遞性是一證(a+b-2某校數(shù)學(xué)競賽，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H名．AF，H．”B一名．”E：“A．”F般途徑或新題的思考方法．下面舉幾個例題，以見12-99，有一個六邊形點(diǎn)陣，它的中心是分析與解我們來觀察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律，然

名．”G“C．”HA分解與解由已知條件可知：AH，E(i)AHDG(ii)如果EF猜對了，即F與H都不是第一名，這時若B對了，那么D就猜錯了，C也猜錯了，GE，F(xiàn)，B，G第十八講納與發(fā)第四層有點(diǎn)數(shù)因此，這個點(diǎn)陣的第n層有點(diǎn)(n-1)×6n層共2在平面上有過同一點(diǎn)P，并且半徑相等的n圓，其中任何兩個圓都有兩個交點(diǎn)，任何三個圓除P點(diǎn)(1)n(2)n分析與解(1)2-100P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面18．1．

18．2．a(chǎn)2-S2-a3-S3-S4-a4-a5-S5-an-1-an-2＝n-an-an-1＝n-Sn-Sn-S1=2，所以Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋nn-1n-1nSn-1Sn=Sn-1＋n．

an=an-1＋(n-13設(shè)a，b，c自然數(shù)，其中a≤b≤c，如果b=n(n是自然數(shù))，試問分析與解b=n=1，b=1，a≤b≤c，所以b=n=1這時滿足條件的三角形總數(shù)為這時滿足條件的三角形總數(shù)為b=nan≤k≤nb≤c＜a＋b，n≤c＜n＋k，所以ckn，n＋1，n＋2，…，n＋k-1)．b=n41×2×3×…×n縮寫為n！(稱作n分析與解n=4119=(4＋1)！-1．

5設(shè)x＞0，x3x2+x+2分析與解本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因x=0，顯然有x=100x3＞x2+x+2．x，x3＜x2+x+2x，x3＞(x-x＞0，x2+x+1＞0，x-2=0，所以所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，所以x3＜x2＋x＋2.所以(x-2)(x2+x+2)＞0，所以x3＞x2＋x＋2．

數(shù))，那S么SEFGH與SABCD之比是多少？GGM∥ACDAM(2)7E，F(xiàn)，G，HABCD

與(1)18．5.k=n(自然數(shù))時有第十九講殊化與一般1．特殊化、一般化和類比推1在△ABC∠C=90°，CD2．2在△ABC∠C=90CD2-103)，CD=AD=BD．CD2=AD·BD)．3．3在△ABC∠C=90°，CDC

DE⊥BCE，DF⊥ACF．AB4在△ABC∠C=90°，DAB2-105)，則有引DF⊥ACF，DE⊥BCE．因?yàn)槎?5在△ABC∠C=90°，DAB2—106)，則有4AD-AD，4在△ABC，AB=c，BC=a，AC=b，acn，時，取“-”號，∠B42-107B＜

．1設(shè)x，y，z，w求證分析與解我們先考慮一個特例，只取兩個不同實(shí)

x，y，z，w2設(shè)凸四邊形O1O2O3O4的周l，以O(shè)1，O2，O3，O4為圓心作四個半徑為R的圓輪．如果帶動四ss2-110)．

O1R2π又因?yàn)橐?設(shè)a1，a2，…，ann=3，AC邊上的中線，EAB邊上ED⊥BD．求△DEA2-113)．

a2-ab≥ab-第二十講比與聯(lián)引CF⊥BAFBC=AC，CF類比1角這一特殊性，那么是否會產(chǎn)生類似題呢？由此想2．22-114．已知△ABC∠C=4∠B=4∠A，BDAC，EAB∠AED=∠C，S△ABC=1，S△AED．1CF⊥ABF，交BDH，顯然△ADE△CBH．但由已知條件則

13．3已知△ABCC=90°，AC=2BC=2，BD邊上的中線，CF⊥ABF，BDH2-115解本題直接求S△CBH有些，聯(lián)想例1、例2中的△ADE，DE⊥BD交ABE．AC=2BC=2，DACCF=x

CF⊥ABF，所以∠BCH=∠A．由于所以S△CBH=S△ADE. (2)31S△

5a，b分析與解由已知條件，聯(lián)想到方程根的定義bx2＋px+q=0a，b

分析與解(1)展開原式有即(x+z-2y)2=0，所以(z-x)2-4(x-y)(y-1所以7分析與解這是一個根式的化簡問題，分子、分母例8圖2-116是我國古代數(shù)學(xué)家證明勾股定理ABCD)，然后在“弦圖”DAGa，b，c

c2=2ab+b2-這古代數(shù)學(xué)家獨(dú)立于西方畢達(dá)哥拉斯和幾2-117 2-118

第二十一講類與討7：18，19，81，12：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998199，919，991三個數(shù)是質(zhì)數(shù)；取四張，所得的任一個四位數(shù)的數(shù)字和是27，因而是3的倍數(shù)，不是質(zhì)數(shù)．綜上2＋3=5上面的解題方法稱為分類討．當(dāng)我們要解決一

x2-│2x-1│-x1＝3，x2=-分類討是一種很重要的數(shù)學(xué)方法．在分類中須1求方程

2x2-[x]=2，其中[x]是不超過x的最大由[xx≥[x]=x2-x2-x-2≤0，

-x2-(-x2-3a分析a，若以x(1x＜-1

5n，最大角比最小角24°，求n設(shè)三角形的三個角度數(shù)分別是α，β，γ，且有α≥β≥γ．由題設(shè)α-γ=24．所以所以180°-n≤2n-204°≤204°-所以綜上所述，n104°≤n≤136°．6p5p2-124

分析關(guān)于整數(shù)的問題，我們常把它分成奇數(shù)和偶n6證666k，p6k+1，6k+5p=6k＋1p2-當(dāng)p=6k＋5時，p2-=12k(k＋1)≡0(mod24)．所以，P2-124倍數(shù)．7分析欲證的等式中含有三個絕對值符號，且其中一個在另一個內(nèi)，要把絕對值去掉似乎較為，但等xx，y，zA=4x，y，z(1x≥y，x≥z=2y-從而A=4max｛x，y，z｝．例8在1×3的矩形內(nèi)不地放兩個與大矩形相

2-126，這時兩個小矩形的周長和為第二十二講面積問題與面積方下面，我們把常用的一些面積和定理列舉如

有關(guān)圖形面積的計算和證

因?yàn)镃D⊥AB，AC=CB，且△ABDAEFBDA

2ABCDAC，BDO，且△ABC，△ACD，△ABDS1=5，S2=10，S3=6．求△ABO2-128)．解首先，我們證明△ABCACDF．Rt△BEO

32-129，AD，BE，CF△ABCP，并將△ABC分成六個角形，其中四個角形的面積已在圖中給出．求△ABC分析如果能把未知的兩個角形的面積求出，那么△ABC的面積即可得知．根據(jù)例1，這兩個面積是解設(shè)未知的兩個角形的面積為x和y，即又即x=56．因此

42-130，通過△ABCQS1，S2，S3，求△ABC

例512-131n然后將每個頂點(diǎn)和它相對的頂點(diǎn)最接近的分點(diǎn)連接起2-131，F(xiàn)BCBGH所以 6在△ABC內(nèi)部或邊界上任取一點(diǎn)P，記P到三邊a，b，c的距離依次為x，y，z．求證：ax+by+cz是2-132，PA，PB，PC，把△ABC三個角形，則ax＋by＋cz=2S△ABC，ax＋by＋cz若△ABC72-133，PABC，AD，BE，CFPBC，CA，ABD，E，2

本例的結(jié)論很重要，在處理三角形內(nèi)三條線82-134D，E，F(xiàn)ABCBC，CA，ABAD，BE，CFP，AP=BP=CP=6PD=x，PE=y，PF=zxy＋yz+zx=28xyz=xyz+6(xyyzzx)+36(x+y＋＋216，所以8y第二十三何不等面積．下面先給出幾個基本定理．1在三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任2同一個三角形中，大邊對大角，小邊對小3在兩邊對應(yīng)相等的兩個三角形中，第三邊4三角形內(nèi)任一點(diǎn)到兩頂點(diǎn)距離之和，小于5lPl2-135．PA，PB，HAHBPA和PBlHA＞HB，則PA＞PB；若PA＞PB，HA＞HB．事實(shí)上，PA2-HA2=PH2=PB2-PA2-PB2=HA2-

6在△ABCPBC有PA或B說明max｛AB，AC｝表示AB，AC中的較大者，如圖2-136所示，若P段BH上，則由于PH≤BH，由5知PA≤BA，從而1ABCAB＞AC，AM，P為△AMCPB＞PC(2-137)．在△AMBAMC，AM，BM=MC，且AB＞AC，3∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜過點(diǎn)P作PH⊥BC，垂足為H，則H必定段2PABC2-

例3如圖2-139．段BC同側(cè)作兩個三角形ABCDBCAB=AC，DB＞DC，AB＋AC=DB＋DC．AC與BDE，求證：AE＞DE．DBFDF=AC，AF(12，便得4PA＋PB＜a＋b，PB＋PC＜b＋c，2，所(2)PDE∥BCABCAB，AC

AD．所以在△ABF在△ADC△ADF4設(shè)GABCDDC在不等式兩邊的線段數(shù)不同的情況下，一般所 三角形

2-140，GKMGM=MK，Rt△GCK，CMGK52-141．BCABCO，AO，BO，CO

6在△ABCDAM(1OOX，OYAB，AC，交BCX，Y點(diǎn)，再過X，YXS，YT

在△BCD∠DCB＞∠DBC，CC′和BBAB，ACS，T．由于△OXY∽△ABC，所XYOXYBX△BXSSXOC′是平行四

BD＞CD，3∠DMB＞∠DMC．在△AMB3AB＞AC，所以在證明角的不等式時，常常把角的不等式轉(zhuǎn)由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，2即BC＞2BD．CD＞BC-BD，所以CD＞BD．8在銳角△ABCAH

92-145OABC過△ABCA，B，COA，OB，OCA1，B1，C12-145AOBC1．因?yàn)镻到△A1B1C1三邊B1C1，C1A1，A1B1的距離分別為ha，hb，hc，且△A1B1C1的邊長為a，高為h．由等知作MH1⊥BCH1M延長BM至N，使得MN=BM，則 形．因?yàn)锳H為最

所以以

第二十四講*整數(shù)的整除整除的基本概念定義設(shè)a，b，b≠0．q，使得a=bq，那么稱ab整除，或稱b整除a，并記作b｜a．如果不存在這樣的整數(shù)q，使得a=bq，則稱a不能被b整除，或稱b不整除a，記作ba．1b｜a，c｜b，c｜a．2c｜a，c｜b，c｜(a±b)．性質(zhì)3若c｜a，cb，則c(a±b)．4b｜a，d｜c(diǎn)，bd｜ac．5a=b＋cm｜a，m｜b，6b｜a，c｜a，則[b，c]｜a(此處[b，c]b，cb，c)=1bc｜a(此處(b，cb，c7c｜ab，且(c，a)=1c｜b．特別pp｜ab，則p｜ap｜b．8a≠b，n(a-b)｜(an-bn)．9a≠-b，n(a＋b)｜(an-10a≠-b，n

11，12242n-1，2n＋1，2n+3(nn2+n＋1=n(n＋1)+1n，n+1n+124[(2n-2若x，y2x+3y，9x＋5yu=2x＋3y，v=9x＋5y．17｜u，從上面兩y，得所以5)=117｜u，證明整除的基本

pqp=q，4x，y，題中有三個未知數(shù)，我們設(shè)法得到一些方

5設(shè)n60｜6n-3n-2n-60=22×3×5，22，3，5的，所以由性質(zhì)6，只需證明22，3，5能被6n-3n-2n-160=22×3×5n810，有22｜6n-22｜6n-2n-3n-13｜6n-3n3｜2n+1，3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n，5｜6n-1-3n-2n．由于22，3，5兩兩互質(zhì)，所以60｜6n-3n-2n-012k2k+123k，3k＋1，3k＋245686a23分析a2366k，6k＋1，6k＋2，因?yàn)閍23a6k±1ka2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k3k±1一奇一偶(若k為奇數(shù)，則3k±1為偶數(shù)k為偶數(shù)，則3k±1為奇數(shù))，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．7求證：3n+1(n22222n=2kk81，故可設(shè)(3k)2=8l＋1，于是2在解決有些整除性問題時，直接證明較為，可8a，b，a2＋b23證：a和b3a，b3a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整數(shù))，于是不是3的倍數(shù)，±1，

不能被3整除，9設(shè)pa2=pb2a，b，10p，q29所以 第二十五講*同余n＋11，23i(i=1，2，3)，4-i44時，你的對手就無疑了．因此，若n除以4的余數(shù)1，23n40心一個數(shù)是多少，而要關(guān)心這個數(shù)用m除后的余數(shù)是什么．又例如，1999，1999365天，365=7×52＋1，20001m，m去除a，bab對模ma同余b，模m．a(chǎn)bm1所以a-b=m(q1-q2)，m｜a-m｜a-b，設(shè)則有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即2aba-mabm

1若a≡b(modm若a≡b(modm)，b≡c(modma≡2a≡b(modm)，c≡d(modm)，則證m｜a-b，m｜c(diǎn)-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(diǎn)(a-b)＋b(c-d)，即c，a≡b(modm)？25≡5(mod55≡1(mod3ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，則由于(m，c)=1m｜a-b，即a≡b(modm)．4n≥2，maa≡0(modm)1(2)8(32n＋7)；證(155≡-1(mod8551999≡-1(mod8)，551999＋17≡-1＋17=16≡0(mod8)，8｜(55199932=9≡1(mod8)，32n≡1(mod8)，32n＋7≡1＋7≡0(mod8)，8｜(32n＋7)．19≡2(mod17)，194≡24=16≡-1(mod17)，所191000=(194)250≡(-1)250≡1(mod17)，于是17｜(191000-22n-17的倍數(shù)的所有正整數(shù)23≡8≡1(mod7)，n3n=3k，n=3k＋1，2n-1=2·(23)k-1=2·8k-≡2·1k-1＝1(modn=3k＋2，2n-1=22·(23)k-1=4·8k-≡4·1k-1＝3(mod3n，證明A=2903n-803n-18971897=7×271，7271

2903≡5(mod803≡5(mod464≡2(mod261≡2(modA=2903n-803n-≡5n-5n-2n+2n=0(mod7)，7｜A．又因?yàn)?903≡193(mod803≡261(mod464≡193(mod271｜A．因(7，271)=11897整除A．41，2，3…，127，128128｜a1-a2｜，｜a3-a4｜，…，｜a127-｜b1-b2｜，｜b3-b4｜，…，｜b63-x，問xa，｜a｜≡a(mod2)，a≡-a(mod=｜a1-a2｜+｜a3-a4｜+…+｜a127-≡a1-a2＋a3-a4+…+a127-≡a1＋a2＋a3＋a4+…+a127＋a128(mod＝64×129≡0(mod2)，x1005910≡1(mod9)，k≥1，有10k≡1k＝1(mod(1)996401(這是平方數(shù)2=(2k＋1)2=4k2＋4k+1≡1(mod2=(2k)2=4k2≡0(mod780，1，4(這是平方2k＋1，2=8t+1≡1(mod8)，4k2=16t2＝0(mod(2)k=奇數(shù)=2t+1，則4k2=4(2t＋1)2=16(t2＋t)+4≡4(mod8)，

與±18(13321998(2)求872n+1-1余數(shù)(1)先找與±1(mod33)同余的數(shù)．因?yàn)?5＝32≡-1(mod33)，210≡1(mod21998=(210)··≡-8≡25(mod(2)7≡-1(mod8)，72n＋1≡(-1)2n＋1＝-1(mod72n＋1-1≡-2≡6(mod8)，即余數(shù)為6．9nFn7．nn≥22n42n=4t．于是F22n＋1=24t+1=16t＋1n≡6t＋1≡7(mod10)，F(xiàn)n7．n，F(xiàn)n都是素數(shù)．然而，這一猜測是錯誤的．首先這個猜測的是拉，他證明了下一個費(fèi)馬數(shù)F5是合數(shù)．證F5是合數(shù)，留作練習(xí)．10證明方程x5x≡0，±1，±2(modx2≡0，1，4(mod5)，x4≡0，1，1(modx4≡0，1(mod5)．yy4≡0，1(mod5)，x4+y4+2≡2，3，4(mod5)，

同余是處理不定方程的基本方法，但這種方第二十六參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問情況，可以用判別式Δ=b2-4ac來判別，但是對于一個分析求解，當(dāng)然，經(jīng)常要用到一些整除性的性質(zhì)．本1m(m2-1)x2-6(3m-1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根可得

m=2一般來說，可以先把方程的根求出來(如果比論，就比較容易求解問題，解法1就是這樣做的．有時22xa2x2-(3a2-8a)x＋2a2-(其中aam=2x1=6，x2=4．2首先，m2-1≠0，m≠±1．設(shè)兩個不相等的正整數(shù)根為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系知

分析“至少有一個整數(shù)根”應(yīng)分兩種情況：一是因?yàn)閍≠0，a35a=1，3，5．3設(shè)mxmx2-(m-一個整系數(shù)的一元二次方程有有理根，那么它n所以(m-3)2-n2=8，m-3＋n≥m-3-n，并且m-3＋nm-3-n說明一個整系數(shù)的一元二次方程如果有整數(shù)根或4x解a=0-6x-2=0，無整數(shù)解．Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-

4a=n2n要使x1為整數(shù)，而n為正奇數(shù)，只能n=1，從而a=2．要使x2為整數(shù)，即n-3｜4，n1，5，7，從a=2，-4，-10．說明本題是前面兩種方法的“綜合”．既要用判5xax1≥x2a所以(x1＋1)(x2+1)=7，說明利用韋達(dá)定理，然后把參數(shù)消去，得到的是6r分析r=0和r≠0．r=0x；r≠0x于r是有理數(shù)，處理起來有些，這時用直接求根或rr=0x-1=0，

(x＋2)2a=2(x＋6)．x＋2≠0，于是x2+2x-所以-4≤x≤2(x≠-2)．x1，x2x1≥x2，則r

a=1-4，2；a=3，6，108x2+bx+c=0x2+cx＋b=0x1，x2(1x1x2＞0，x1與x2x1＞0例7已知a是正整數(shù)，且使得關(guān)于x的一元二次

所以c≥b-1．所以所以b-(3)由(2)可知，bc所以(x1＋1)(x2＋1)=2，

所以(x1+1)(x2＋1)=1，綜上所述，共有三組解第二十七講列方程解應(yīng)用問題中的列方程解應(yīng)用問題時，比較的一環(huán)常常是同學(xué)為此，須先對“量”做個基本的分析和介體積、密度、、價格，等等，這些方面都是從一定1，2，

1設(shè)A，B82km)，甲騎自行車AB，9min)B分析與解首先我們列出題中的各種已知量和待求

BA=乙由B+9又考慮 以甲的速度是每小時行30千米，乙的速度是每小時322-2，在以上兩種找等量關(guān)系的思考方法中，第211分析與解部多11天的時間；(4)求分別用一臺機(jī)器打完全部所需的天數(shù)

1機(jī)打完全部所需要的時間(天數(shù))，那么2x就是乙機(jī)打完全部所需要的時間(天比同時用兩臺機(jī)器全部打完所需時間多11天”可x=15(天)……甲機(jī)打完全部的天數(shù)，2x=30(天)……乙機(jī)打完全部的天數(shù)x所需時間(天數(shù))，則2x為乙機(jī)打完全部所需時間由于全部的工作量設(shè)為1，而甲乙兩機(jī)同時工作打完全部的時間為

設(shè)x為倒入含85％的酒的重量，那么由(1)可知， x=15(天)……甲打完全部的時間2x=30(天)……乙打完全部的時間21例3要在含50％的800克(g)酒中，倒入含酒精85％的酒多少克，才能配成含75％的酒？分析與解本題涉及的量有溶液、溶質(zhì)和濃度，其

可．為此，若設(shè)x為倒入的含85％的酒的重量，則混合溶液重量=800＋x．因?yàn)?，甲種酒中含的重量為50％×800，乙種酒中含的重量為85％x，所以由(2)可知：混合溶液中含的重量為50％×800123

第二十八講怎樣把實(shí)際問題化成數(shù)學(xué)問1182-146)．所謂“七橋問題”就

1736題”得到的解決．那么拉是怎樣抽象成數(shù)學(xué)問題2-147)．2-147AB1B到D2，3DC45；由CA7；由AD6，共七座橋．這樣，就把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化2-148)2-148(a)假四座橋(圖2-149)．對于圖2-149(a)，定義網(wǎng)絡(luò)是由有限個點(diǎn)(稱作網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn))和有限

2-和圖2-149的，我們可以直觀地想到如下結(jié)論：02．拉證明了以上兩條猜想，得到了著名的拉定0回到原問題．利用拉定理，“七橋問題”很2-1474，不滿足拉定理的條件，因此不可能按約定條件通過七座02，把法則加以推廣，以解決的實(shí)際問題，并2解第一步：設(shè)計變量．根據(jù)這個問題，我們可以設(shè)預(yù)測的某種樹的高度為y，離地面1.5米處的直徑為xy對xyx，y)看作一個點(diǎn)，畫在坐標(biāo)紙2-150)，作成散點(diǎn)圖．從散點(diǎn)圖可以直觀地看出2-150，y

xy—一次函數(shù)式就可作為樹的高度y和直徑x間的關(guān)系式a，b，在直線上取兩點(diǎn)，取點(diǎn)的原點(diǎn)(4，8.6)和(40，26y=ax＋所以xy13.88y=0.50x＋6.28，以此作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，yx說明上面的方法，是數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題時的一x，y找到x，y間的函數(shù)關(guān)系式，不過需要的數(shù)學(xué)知3202.21.5分析與解202.2

200≤x3≤40．x1，x2代入y第二十九活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世2-155)，這種現(xiàn)象叫作面對稱．如果我們只取一個2-155)． △A′B′CllABCA′B′C′2-156)．圖中，A與A′，Bl△ABC△A′B′1ABCDEF2-157(a))，lABCDEFlAFlA，F(xiàn)B，C，D，E關(guān)于lB，C，D，E向lM，N，P，QBM，CN，DP，EQP=PD，E′Q=QEAB′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F，ABCDEFE′D′C′B′了(圖2-157(b))．1212112設(shè)直線ll平行l(wèi)和l間的距離為a．如果ABl右側(cè)，并設(shè)AB關(guān)于l的對稱圖形是A′B′，而A′B′關(guān)于l2的對稱圖形是A″B″2-158AB和A″B″有什么關(guān)系？121211

解因?yàn)閘1平行于lAAl，當(dāng)2BBB″也垂直于l1和l2AA′A″∥BB′B″．AA′A″=BB′B″．2，我們可知，如果在平面上兩條直線互相平22-1592-1602-160m2，m1，m0，m-1，m-2，m-3看成鏡子，A0A1，A2A-1，A-2A0A1A0以m0為對稱軸A1A-1作一次A1和A2的關(guān)系以及A2和A0的關(guān)系呢？請自己作出回答．有了上面的知識，不僅可以自己設(shè)計一些帶形花邊圖案，還可以了解某些上畫的花邊圖案的2-160m2，m1，m0，m-1，m-2m0和m-12-163m0A1，A2，A3，…，以及m1A-1，A-2，A-3，…是無限多的．還可以知道：A0m0A1，A1m-1A-2，A-2m0A3A0和A1，A1A2A0到A2是平行移動．3l1l2O，其夾角為α．ABl1A′B′，而A′B′關(guān)于l2A″BAB和A″B″2-164)ABl1A′B′，A′B′l2A″B″AB=A′

∠AOA″＝∠BOB″＝2α．以這兩條直線的交角的2倍為旋轉(zhuǎn)角，作了一個旋轉(zhuǎn)移例4小時候常常玩萬花筒，它是由三塊等麗奇特的圖案呢？試用前邊的知識揭開萬花筒的解萬花筒中所以能呈現(xiàn)千變?nèi)f化、美麗而奇特的2-1652-166)加以分析．CBO；△CBOOCA→點(diǎn)CAOCO，點(diǎn)B→點(diǎn)DABCD，O→點(diǎn)OBO

在這樣旋轉(zhuǎn)移動下，△ABO中的平行四邊形、小圓和曲線也跟著旋轉(zhuǎn)了120°．經(jīng)多次反復(fù)，就形成了圖2-165的綺麗景色．如果有，可以自己在紙第三十講生活中的數(shù)學(xué)(四)──買魚的學(xué)買到物美價廉的魚．假定現(xiàn)在商店里某種魚以大小13102-171)，A和小魚B13∶1相似形周長的比等于相似比．21已知：△ABC∽△A′B′C＝2a，AC=2b，A′B′＝3c，△ABC

22-1733∶4，32∶42．ABCD3a·3b=32ab，A′B′C′D′4a·4b=42ab，ABCD從定理1和定理2，我們自然會想到：相似的兩個32-174是兩個相似的長方體，它們的相似比3∶5，求它們的體積之比．長方體(a)3a·3b·3c=33abc，長方體(b)5a·5b·5c=53abc，42-175解小圓柱的體積是

x1228(23)倍．x13327(33)倍．xnyxy3A和魚B，A與B13∶10，3，A與B

5y=2x32-176)，由于A魚的價格是1.5B的價格是1元，所以價格比是1.5∶1=1.5，我們可以看到，A的體積是B的體積的2.197倍，可是A的價格B的價1.5AB為此，我們先規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)：設(shè)M魚高1厘米時，體積是2厘米3，那么N魚高是x米時，體積是y厘米3．由于M和N根據(jù)上式，當(dāng)x的值變化時，y的值相應(yīng)地跟著變30.1．從表中可以看到：當(dāng)x=1時，x3=1，y=2x3=2．這就M

(1xx＝2.75yy=2x3的圖像上的某一點(diǎn)，過這40，yx=2.75yy=40．N2.75403．y=2x3yxy=10對應(yīng)的x1.75．這說明N1031.75進(jìn)一步考慮魚的身高和價格的關(guān)系．為此，前面的B101503．由于魚是相似的，在買魚的時Cxy3，價格是z30.2．y＝ax3，考慮到魚B的身高和體積，即x=10時，y=50，代入①式，就有50=a×103，所以a=0.05．于是①式就成y=0.05x3①′Cz=by，②By=50z=2y．②′所以z=0.1x3③613x=13xz

nn3xzz=0.1x3的圖2-177.第三十一講近年集中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)?！稊?shù)學(xué)周報》杯”2007年初中數(shù)學(xué)競賽試題參考一、選擇題（5小題，每小題6分，滿分30.其中有且只有一個選項是正確的請將正確選項的代號填入題后的括號里.不填、多填或錯填得）xy

y

的解的個數(shù)為 （A） （B） （C）答解：x≥0，則xy6yy6

答如圖，連接BE，因?yàn)?為銳角三角形所以BAC

O

為兩圓xyx0xy

于是y ，解得y9，進(jìn)而求得x3xy所以，原方程組的解為 只有1個解y

．故選2095823

（B4x

（第3題答案圖上述取法的種數(shù)是 （A） （B） （C）答（B．

ax2bxc0，bx2cxa0cx2axb解：用枚舉法紅球個 白球個 黑

b2

的值為 個 種

3答（D．

400 00

解：x0 ax2bxc0，bx2cx 16種．（B

cx2

b0

AB，ACD，EOADEO

(abc)(x2

1)0 的