第1章《直角三角形》-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)沖關(guān)好卷(湘教版)

2019-2020學(xué)年湘教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)培優(yōu)沖關(guān)好卷第1章《直角三角形》一．選擇題（2020?河南模擬）如圖，在RtAABC中，/A=90。，AABC=2/C,以頂點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交邊AB,BC于點(diǎn)E,F；再分別以E,F為圓心，以大于1EF為半徑作弧，兩弧在^ABC內(nèi)2交于點(diǎn)P;作射線BP，交邊AC于點(diǎn)G，若AG=6，則AGBC的面積為（ ）A.3<3 B.6%：3 C.2,3 D.名【解析】作GH±BC于H，如圖，由作法得BP平分/ABC:.GA=GH=33/A=90。，^ABC=2/C:.ZABC=60。，/C=30。??? 1 —在RtAABG, ^ABG=一^ABC=30。2二.AB=33AAG千3在RtAABC中，BC=2AB=61.\S =x6x<3=3<3ABCG2故選：A2.（2020?陜西模擬）如圖，已知AABC的面積為8,在BC上截取BD=BA，作/ABC的平分線交AD于點(diǎn)P，連接PC,則ABPC的面積為（ ）

【解析】B.4C.5D.6AP=PDBD=BA,【解析】B.4C.5D.6AP=PDBD=BA,5尸是乙ABC的平分線,s=-s,ACPD2AACDs=s+s\BPCABPDs=s+s\BPCABPD,' =-S +-S =—s\CPD2AABD2^CD2AABCAABC的面積為8,1?.S =-x8=4./ABPC23.（20193.（2019秋?青羊區(qū)校級(jí)期末）如圖，在AABC中,/B=90。，AB=6,BC=8,4）為/班。的角平分線,B.10C.12B.10C.12D.15【解析】作，AC于〃，如圖,在RtAABC中，ZB=90°,AB=6,BC=8,.-.AC=<62+82=10,AD為/BAC的角平分線,：.DB=DH,；-xABxCD=-DHxAC,,-.6(8-DH)=10DH,解得。H=3,1?.S =-xl0x3=15.AADC2故選：D

4.（2019秋?瀏陽(yáng)市期末）如圖，^AOB=60。，P是/AOB角平分線上一點(diǎn)，PD±AO，垂足為D，點(diǎn)MB.v3D.2、“3A.1C.2是OP的中點(diǎn)，且DM=2，如果點(diǎn)C是射線OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則B.v3D.2、“3A.1C.2點(diǎn)C點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，【解析】P是^AOB角平分線上的一點(diǎn)，AAOB=60。1?../AOP=-ZAOB=30°?二2PD±OA,M是OP的中點(diǎn)，DM=2...OP=2DM=41PD=-OP=22于點(diǎn)，DE于點(diǎn)，DE±BC,垂足為E，若ACDE的周長(zhǎng)為6,則AABC的面積為（ ）A.36 B.18 C.12 D.9??.PC的最小值為P到OB距離，??.PC的最小值=PD=2故選：C5.（2019秋?巴南區(qū)期末）如圖，在AABC中，AB=AC,/BAC=90°,/ABC的平分線BD與邊AC相交【解析】?在AABC中，AB=AC,/BAC=90°DE±BC??./DEC=90°???../EDC=ZC=45°DE=ECBD平分/BAC,/A=90°,DE±BC「.AD=DE??設(shè)DE=AD=CE=%由勾股定理得：DC=五xACDE的周長(zhǎng)為6,DE+EC+DC=6即x+x+v'2x=6解得：%=6-3t：2即AB=AC=AD+DC=6—3<2+（6—3<2）v2=3%2??.AABC的面積為1xABxAC=1x3<2x3<2=92 2故選：D（2019秋?武昌區(qū)期末）如圖，/BAC=90°,AB=AC=4<2，BE=<2，DE=2a,/BDE=15。，點(diǎn)P在線段AE上，PD=DE,AADQ是等邊三角形，連PQ交AC于點(diǎn)尸，則PF的長(zhǎng)為（ ）AA.6v2-2a B.6、五-4a C.4<2-2a D.8<2-4a【解析】/BAC=90°,AB=AC=4<2.?./B=45°??/BDE=15°?../PED=ZB+/BDE=60°PD=DE，s.APDE是等邊三角形,:.ZEDP=ZDEP=ZEPD=60°,PE=DE=2a,AP=AB-BE-PE=372-2a，aadq是等邊三角形，AD=DQ,ZADQ=60°,/ADE=ZPDQ,:.AADE=AQDP(SAS),/.ZDPQ=/DEA=60°,:.ZAPF=60°,ZPAF=90°,PF=2AP=2(3&-2a)=6近-4。，?故選：B.(2019秋?羅湖區(qū)校級(jí)期末)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,即是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)。,A.32 B.16 C.64 D.128【解析】ED是AC的垂直平分線，EA=EC,??:.ZC=ZEAD=15°,:.ZAEB=30°,4=90。，2AB=AE=EC=8,??*：.AB=4,:.\AEC的面積=，石CAB=ix8x4=16,2 2故選：B.■(2019秋?下城區(qū)期末)如圖，在AABC中，ZACB=90°,CD，于點(diǎn)。，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)M

是邊AC的中點(diǎn)，連接MP,作/MPQ=90°,點(diǎn)Q在邊BC上，若AC=6,BC=8，則（ ）A.當(dāng)CQ=是邊AC的中點(diǎn)，連接MP,作/MPQ=90°,點(diǎn)Q在邊BC上，若AC=6,BC=8，則（ ）A.當(dāng)CQ=4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合B.當(dāng)CQ=4時(shí)，/MPA=30°, 7，一，C.當(dāng)PD=5時(shí)，CQ=4D.當(dāng)PM=PQ時(shí)，CQ=4【解析】如圖，作ME±AB于E,QF1AB于F在RtAACB中， /ACB=90°，AC=6，BC=8「.AB=ACC2+BC2=<62+82=10CD1AB…ACBC24...CD= =AB5 . 24 18「.AD=v:AC2-CD2=,.62-(—)2=5AM=MC,ME//CD9 9...AE=ED=51 12...ME=-CD=—當(dāng)PD=75時(shí)，PE=DE+PD=169575ZMPQ=ZMEP=ZQFP=90°.../MPE+ZQPF=90°,ZMPE+ZPME=90°ZPME=ZQPF:.APEMsAQFP

ME"PFPE—QF16,QF"PF5 4—152—3,設(shè)QF—4k,PF—3kTQF//CD，QFBF'?'CD_BD4k_BF:.24二①y二187BP—AB—AD—PD—10 — 5553解得k—332BD——5?DF—BFFQ//CD，?CQ—QB—4故選項(xiàng)C正確，故選：C9.（2019秋?東西湖區(qū)期中）如圖，四邊形ABDC中，對(duì)角線AD平分/BAC,/ACD—136。，/BCD—44。,則/ADB的度數(shù)為（ ）54。50。4854。50。48。46?！窘馕觥咳鐖D所示，過(guò)D作DE±AB于E,DF±AC于F,DG±BC于GAD平分/BAC,DE±AB于E,DF±AC于F又^ACD=136°,/BCD=44°?../ACB=92°,/DCF=44°??.CD平分/BCF又DF±AC于F,DG±BC于GDF=DGDE=DG：.BD平分/CBEi 1 .??./DBE=-ZCBE2AD平分/BAC1??./BAD=-ZBAC2/ / / 1, , 、1, 1……??./ADB=/DBE—/BAD=一(/CBE—/BAC)=NACB=-x92°=46°2 2 2故選：D二.填空題(2019秋?岱岳區(qū)期末)如圖，在AABC中，/B=90°,/BAC=60°,AB=1,D是BC邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，并且/D=15°,則CD的長(zhǎng)為2.【解析】,在A【解析】,在AABC中，/B=90°/BAC=60°?../ACB=30°??./CAD=ZACB-ZD=15°=ZDCD=ACZB=90°,^ACB=30°,AB=5AC=2AB=2CD=2故答案為：2.（2019秋?肥西縣期末）如圖，OP平分ZAOB,^AGP=15°,PC//OA,PD±OA于點(diǎn)D,PD=2,則PC的長(zhǎng)為4.【解析】作PE±OA于E，如圖，OP平分ZAOB,PD±OB,PE±OA「.PE=PD=2*?OP平分ZAOB:.ZAOB=2ZAPO=2x15°=30°??PC//OB:.ZECP=ZAOB=30°?*...PC=2PE=4故答案為4.（2019秋?和縣期末）如圖，在AABC中，ZC=90。，ZA的平分線交BC于D,AC=4cm,DC=3cm,則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為Jcm.A.【解析】設(shè)D到AB的距離為h/C=90°??.DC±ACAD平分/CAB,DC=3cm.二h=DC=3cm??故答案為：3.（2020春?麻城市校級(jí)月考）如圖，RtAABC中，NACB=90°,斜邊AB=9,D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD1上一點(diǎn)，且CF=3CD，過(guò)點(diǎn)B作BE//DC父AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)為6.B匕 吧【解析】RtAABC中，/ACB=90。，斜邊AB=9,D為AB的中點(diǎn)，...CD=-AB=4.5-.-CF=1CD322DF=—CD=—x4.5=33 3BE//DC，,DF是AABE的中位線，?*,BE=2DF=6故答案為6.（2019秋?羅湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，在AABC中，BA=BC,^ABC=120°,BD±BC交AC于點(diǎn)D,BD=1,則AC的長(zhǎng)」【解析】BA=BC,^ABC=120°:.ZA=ZC=30°DB±BC:.ZDBC=90°:.ZABD=/ABC—/DBC=30°BD=1CD=2BD=2...AC=AD+DC=1+2=3故答案為3.（2019秋?玉田縣期末）如圖，在RtAABC中，/C=90°,AD平分/CAB交BC于點(diǎn)D,BE±AD于.點(diǎn)E.點(diǎn)E.若/DBE=28°，則/CAB=56°【解析】BE±AE^ADC=/BDE?../CAD=ZDBE=28°AE平分/CAB?../CAB=2/CAD=56°故答案為56。（2019秋?洛陽(yáng)期中）如圖，在RtAABC中，/ACB=90°,BE平分/ABC,CE±BE于點(diǎn)E,連接AE.若AC=BC=4，則AABE的面積為4.

【解析】作EH±AB【解析】作EH±AB于H,EK±BC于K.在EB上取一點(diǎn)J,使得EJ=EC,連接CJ.設(shè)EC=EJ=m在RtAABC中，AACB=90°,AC=BC=4BE平分/ABC,CE±BE于點(diǎn)E/ACB=45°,BE平分/ABC??./CBE=22.5°EC=EJ=m,/CEJ=90°?../JCB=ZJBC=22.5°EC2+EB2=BC2...S =1ECEB=1m（m+、：'2m）=1（1+v2）m2=2v2△ecb2 2 2EB平分ZABC,EH±AB,EK1BC????..EH=EK??TOC\o"1-5"\h\zS 2ABEH AB 4v2 -「.AAEB= 二——二 二、?2S 1BC BC 4△EBC BBCEK2.?S =2\：5x.2=4△AEBTOC\o"1-5"\h\z解法二：延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，證明AABE的面積等于AABC的一半，可得S =4△AEB故答案為4.17.（2018秋?南開(kāi)區(qū)期末）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,過(guò)AB邊上一點(diǎn)P作PE1AC于點(diǎn)E,Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，取PA=CQ，連接PQ，交AC于M，則EM的長(zhǎng)為3 .2一s cT【解析】過(guò)P作PF//BC交AC于F，如圖所示：PF//BC,AABC是等邊三角形，:.ZPFM=ZQCM,ZAPF=ZB=600,ZAFP=ZACB=600,ZA=600??；AAPF是等邊三角形，.AP=PF=AFPE1AC.AE=EF??AP=PF,AP=CQ.PF=CQ??在APFM和△QCM中，ZPFM=ZQCMZPMF=ZCMQPF=CQ/.APFM3AQCM(AAS)...FM=CMAE=EF/.EF+FM=AE+CM/.AE+CM=ME=1AC2AC=3ME=—2故答案為:18.(2017春?江漢區(qū)期中)如圖，在三角形ABC中，/BAC=90°,AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm,將三角形ABC沿直線BC向右平移3cm得到三角形DEF,DE交AC于G，連接AD，則下列結(jié)論：①i 12ED±DF；②AG=—cm；③CE=3cm；④點(diǎn)D到線段AC的距離是2cm.其中結(jié)論正確結(jié)論的序號(hào)是一①②.【解析】ADEF是由AABC平移得到，/BE=CF=3cm,/DEF=ZBAC=90°/DE±DF，故①正確，AB=3,AC=4EG//ABAGBE「ACBCAG3,,- ??一，4 512,AG=不，故②正確，EC=BC—BE=5—3=2，故③錯(cuò)誤，AD//EC’ADDG??一，ECGE3DG,—— .?一23—DG9解得DG=5cm，故④錯(cuò)誤，故答案為①②.三.解答題（2019秋?江夏區(qū)期末）如圖，在RtAABC中，/ACB=90。，/BAC=30。，點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，且AD=PD，延長(zhǎng)DP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，若AB=2，求PE的長(zhǎng).AB CE【解析】/BAC=30。，AD=PD/A=/APD=/CPE=30。??/ACB=90。/PCE=90。??PE=2CE設(shè)CE=%，貝UPE=2%,pc=AP=百xRtAABC中，AB=2BC=1AC=、；3，...PE=2x=120.(2019秋?西寧期末)如圖，在AABC中，AB=AC,/C=30。，AB±AD,DC=3，求BD的長(zhǎng).【解析】,在AABC中，AB=AC,/C=30。.?./B=ZC=30。,/BAC=180°-30°-30°=120。AB±AD:.ZBAD=90。；./DAC=120°-90°=30。../DAC=ZC=30。CD=AD=3RtAABD中， /BAD=90。,/B=30。...BD=2AD=621.(2019秋?兩江新區(qū)期末)如圖，AABC與ADBC有公共邊BC，且AC=BC,BC=DC,NACB=90°,/BCD=150°,/ACB的角平分線CE交BD于點(diǎn)E，連接AE.(1)求ZAEB的度數(shù);(2)若AE=6,S =9<3，求CE的長(zhǎng).AAEB【解析】(1) AC=BC,^ACB=90。?./CAB=ZCBA=45。??BC=DC,/BCD=150。1?./CBD=ZD=一(180?！?50°)=15。2

CE平分/ACB，而/ACB=90。?./ACE=ZBCE=45。??在AACE和ABCE中產(chǎn)二BCV/ACE=BCE,CE=CE/.AACE=ABCE(SAS)/./EAB=ZEBA/EBA=ZCBA-ZCBD=45。-15。=30。?./AEB=180。-30。-30。=120。(2)延長(zhǎng)CE交AB于F，如圖，CA=CB,EA=EB:.CF垂直平分AB*?在RtAAEF中， ZEAF=30。—1.—— -/EF=~AE=3，AF=、.'3EF=3\，3，2 ?/CF=AF=3v3/CE=CF-EF=3v3-322.(2019秋?鹽都區(qū)期末)在平面內(nèi)，將一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，其中三角形ABC為含60。角的直角三角板，三角形BDE為含45。角的直角三角板.(1)如圖1,若點(diǎn)D在AB上，則ZEBC的度數(shù)為—150。_；(2)如圖2,若ZEBC=170。，則Za的度數(shù)為；(3)如圖3,若ZEBC=118。，求Za的度數(shù)；(4)如圖3,若0o<Za<60。，求ZABE-ZDBC的度數(shù).a【解析】(1)如圖1,ZABC=60°、ZDBE=90°,:.ZEBC=ZABC+ZDBE=150°,良答案為150。；(2)如圖2,/ABC=60°、ZDBE=90°,:.ZABC+ZDBE=150°,??*ZEBC=170°,/.Za=ZEBC-(ZABC+ZDBE)=170°-150°=20°,??故答案為20°.(3)如圖3,ZABC=60°、ZDBE=90°,ZABC+ZDBE=150°,??*ZDBC=ZABC-a,ZEBC=118°,*?tZDBE+ZDBC=90°+(60°-a)=118°,??*:.a=32°；(4)如圖3,/ABE=90°-a,ZDBC=60°-a,:"ABE-ZDBC=90°-a-(60°-a)=30°.??23.(2019秋?大豐區(qū)期末)如圖，點(diǎn)。為直線鉆上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作射線。C,使/BOC=135。，將一個(gè)含45。角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，斜邊0M與直線鉆重合，另外兩條直角邊都在直線鉆的下方.圖1 圖2 03（1）將圖1中的三角板繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，如圖2所示，此時(shí)/BOM=_90。_；在圖2中，OM是否平分/CON？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）接著將圖2中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得ON在/AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚?AOM與/CON之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒4.5。的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到第秒時(shí)，/COM與/CON互補(bǔ).【解析】（1）如圖2,/BOM=90。OM平分/CON.理由如下：/BOC=135。.?"MOC=135?！?0。=45。*?而/MON=45。??./MOC=ZMON故答案為90。^AOM=ZCON理由如下：如圖3,/MON=45。../AOM=45。一/AON^AOC=45。?./NOC=45。一/AON?./AOM=ZCON（3）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，/COM與/CON互補(bǔ)，則ON旋轉(zhuǎn)67.5?；?47.5?；?47g=554.5°故答案為：15或55.

AB的垂直平分線ED交AB于點(diǎn)E，24.（2019秋?大同期末）如圖，在AAB的垂直平分線ED交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，若CD=3，求BD的長(zhǎng).AA【解析】DE是線段AB的垂直平分線，「.AD=BD*?/B=30。?./BAD=ZB=30。又/C=90。?./CAB=90。—/B=90?！?0。=60。?./DAC=ZCAB-ZBAD=60?！?0。=30。—1在RtAACD中，CD=-AD2AD=2CD=2x3=6...BD=AD=6（2019秋?瑞安市期末）如圖，在等腰RtAABC中，ZBAC=90。，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D,連結(jié)DC,過(guò)點(diǎn)B作BE±DC于點(diǎn)E,F為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)C=FE.連結(jié)AF,AE.(1)求證：FA=FE.(2)若ZD=60。，BC=10，求AAEF的周長(zhǎng).【解析】(1)證明：BE±DC:.ZEBC+ZECB=ZCEF+ZBEF=90。FC=FE:.ZECB=ZCEF,:.ZEBC=ZBEF,BF=FE=FC,在RtABAC中，AF是斜邊6c上的中線，/.FA=FC,：.FA=FE；(2)解：ZD=60°,ABAC=90°,:.ZACD=30°,AABC為*腰直角三角形，:.ZABC=ZACB=45°,?*:.ZECF=ZACD+ZACB=30°+45°=75°,由(1)得：FA=FE,AF是斜邊6C上的中線，/.AFIBC,AF=-BC=5,2FC=FE,"EFC=180°-2ZECF=180°-2x75°=30°,*?*:.ZAFE=90°-30°=60°,：.AAEF是等邊三角形，:.AAEF的周長(zhǎng)=3AF=3x5=15.(2019秋?黔東南州期末)如圖，等邊AABC的邊長(zhǎng)為12,。為川邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。石_LBC于點(diǎn)￡.過(guò)點(diǎn)石作AC于點(diǎn)尸.(1)若AD=2,求AF的長(zhǎng)；(2)當(dāng)AD取何值時(shí)，DE=EF2:.BD=AB-AD=10在RtABDE中/BDE=90°-ZB=30°1--...BE=-BD=52CE=BC-BE=7在RtACFE中ZCEF=90°-ZC=30°1 7...CF=-CE=-2217AF=AC-FC=—2(2)在ABDE和AEFC中2BED=ZCFE=90°vZB=ZC ,DE=EF:.ABDE=ACFE(AAS)BE=CF:.BE=CF=...BE=-BC=4BD=2...BE=-BC=4BD=2BE=8??.AD=AB-BD=4AD=4時(shí)，DE=EF27.(2019秋?沙河市期末)如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC,ZAOC=30°，將一直角三角板(ZM=30°)的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方.(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周.如圖，經(jīng)過(guò)t秒后，OM恰好平分ZBOC.求t的值；并判斷此時(shí)ON是否平分ZAOC?請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)在(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖，那么經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間OC平分ZMON?請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）旋轉(zhuǎn)前ZMOC=90。-ZAOC=60。1 180。一30°當(dāng)OM平分ZBOC時(shí)，ZMOC=-ZBOC= =75°223t=75°—60。結(jié)論：ON平分^AOC理由： /CON=90?！?MOC,乙AOC=180。-乙BOC=2（90。-乙MOC）??./AOC=2/CON??.ON平分^AOC（2）ZMOC=ZAOM—ZAOC=（3t+90。）—（30。+61）=60?！?t若OC平分ZMON, 1,貝UZMOC=-ZMON2...60。—3t=45。（2019秋?豐城市期末）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B,C,E在同一條直線上，連結(jié)DC.（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的宇母）;（2）證明：DC±BE.【解析】（1）AABE=AACD證明：AABC與AAED均為等腰直角三角形，AB=AC,AE=AD,/BAC=ZEAD=90°??./BAC+ZCAE=ZEAD+ZCAE即/BAE