【中小學數(shù)學教學設計案例】淺議概念形成過程的合理性──“等差數(shù)列的前項和”的教學思考

淺議概念形成過程的合理性──“等差數(shù)列的前項和”的教學思考北京首都師范大學附屬中學黃鳳圣《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》中指出:“高中數(shù)學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識”.對于數(shù)學概念的教學，我們既要重結論，又要重過程.所謂“重過程”就是通過教師創(chuàng)新的設計，讓學生主動經(jīng)歷數(shù)學概念的發(fā)現(xiàn)和證明的過程，在整個知識的形成過程讓學生在不斷地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程中，潛移默化地學會研究數(shù)學的方法，學會數(shù)學地思考，發(fā)展創(chuàng)新意識.在概念的形成過程中，如何達到以上目標，教師的教學設計就顯得尤為重要.以“等差數(shù)列的前項和”為例，淺議概念形成過程的合理性.數(shù)學故事高斯求和：德國著名數(shù)學家高斯被人們稱為“數(shù)學王子”，因他小時候就非常聰明，他是歷史上不多見的以“神童”著稱的一位數(shù)學家，一則廣為流傳的故事是高斯10歲的時候，有一天，老師為了讓班里的孩子們有事干，便出了一道題，求.學生知道使用“配對”法求和.等差數(shù)列實際應用“堆鋼管”：如圖堆放一堆鋼管，最上一層放了4根，下面每一層比上一層多放一根，共8層，這堆鋼管共有多少根？學生可以想到利用梯形面積公式來求鋼管的總數(shù).以下是關于“等差數(shù)列的前項和”的幾種教學設計.教學設計一：創(chuàng)設問題情境：高斯求和→復習等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則→類比高斯求和的“配對”法，探求等差數(shù)列求和公式，使用“倒序相加”法證明→應用舉例→小結.教學設計二：創(chuàng)設問題情境：高斯求和，實際應用“堆鋼管”→探究利用探求等差數(shù)列求和公式，使用“倒序相加”法證明→應用舉例→小結.教學設計三：創(chuàng)設問題情境：高斯求和，實際應用“堆鋼管”→利用“堆鋼管”的方法，探究特殊數(shù)列的和→探求等差數(shù)列求和公式，使用“倒序相加”法證明→應用舉例→小結.教學設計四：回顧等差數(shù)列通項公式的探究過程：從特殊到一般→類比等差數(shù)列通項公式的探究方法，先計算、、、、，并猜想等差列前項和的公式→利用猜想的結論“”，逆推證明的方法→應用舉例→小結.教學設計五：回顧等差數(shù)列通項公式的探究過程：從特殊到一般→類比等差數(shù)列通項公式的探究方法，先計算、、、、，并猜想等差列前項和的公式→利用前面求特殊的前項和過程中的方法（配對法）來證明公式→對配對法證明的過程進行反思，進行再創(chuàng)造，從而得到“倒序相加”法的證明→從實際應用“堆鋼管”出發(fā)，對探尋求和公式的幾何解析→應用舉例→小結.教學設計五的簡要過程如下：1.回顧等差數(shù)列通項公式的探究過程：從特殊到一般，先計算、、、、，然后猜想，用疊加法證明.2.類比等差數(shù)列通項公式的探究方法，先計算，，（提問如何用、表示），（提問、如何用、表示），（提問、、如何用、表示），……，猜測：.3.從上述過程中提煉證明方法.（1）n為偶數(shù)時：

∵（）∴（）∴（2）n為奇數(shù)時：∵（）∴（）∵∴

4.對上述證明過程進行反思，進行再創(chuàng)造.提出問題：在上面證明的過程中有沒有什么新發(fā)現(xiàn)？（提示，中的必須滿足嗎？范圍是否可以擴大？），則的范圍可以變成，從而所有項都可以用首項表示，所有項也可以用末項表示：從而得到倒序相加得：5.從實際應用“堆鋼管”出發(fā)，對探尋求和公式的幾何解析.6.應用舉例.7.小結.一．教學目標設計的合理性教育部《基礎教育課程改革綱要（試行）》對課程目標從“知識與技能”、“過程與方法”、“情感態(tài)度與價值觀”三方面提出了要求，構成了新課程的“三維目標”，三維的課程目標應是一個整體，知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀三個方面互相聯(lián)系，融為一體，體現(xiàn)了學生的全面發(fā)展、個性發(fā)展和終身發(fā)展的基本規(guī)律，體現(xiàn)了學生各種素質(zhì)在學科課程培養(yǎng)中的有機聯(lián)系，體現(xiàn)了時代對基礎性學習能力、發(fā)展性學習能力和創(chuàng)新性學習能力培養(yǎng)的整體要求.所以本節(jié)課的目標為：（一）知識與技能目標（1）掌握等差數(shù)列前項和公式的推導方法和公式的簡單運用；（2）通過對公式從不同角度、不同側面的剖析，培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高學生分析問題和解決問題的能力；（3）掌握數(shù)列求和的基本方法；（4）掌握解決問題的基本方法.（二）過程與方法目標（1）通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形式過程中培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力；（2）利用以退求進的思維策略，遵循從特殊到一般的認知規(guī)律，讓學生在實踐中通過體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程導出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學生類比思維能力；（3）通過對公式從不同角度、不同側面的剖析，培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高學生分析問題和解決問題的能力.（三）情感態(tài)度與價值觀目標結合具體模型，將教材知識和實際生活聯(lián)系起來，使學生感受數(shù)學的實用性，有效激發(fā)學習興趣.通過學生自己動手體驗知識的形成過程，使學生獲得成功的體驗，增強學生的自信心，培養(yǎng)學生探索、再創(chuàng)造的意識.二．問題情境創(chuàng)設的合理性布魯納說過：“學習的最好刺激，是對所學材料的興趣.”設計融科學性和趣味性于一體的數(shù)學課堂，能夠培養(yǎng)學生的學習興趣，使學生覺得“其樂無窮”，學生就會積極、主動、愉快地去學習.但是問題情境的創(chuàng)設不僅具有趣味性，更重要的是有科學性，為教學目標服務，使得學生能通過自身獨立思考、判斷，提出自己一些見解的問題背景，從而在一定程度上推動了學生的理解與思維的發(fā)展.例如，教學設計二中，把高斯求和和堆鋼管都放在問題情境中，雖然學生能很快的得到倒序相加法，但是學生思維量就小，達不到應有的思維訓練和能力培養(yǎng).三．符合學生認知的合理性數(shù)學教學必須遵循人們認知的普遍規(guī)律，即“由特殊到一般”，也就是在認識個體的基礎上去認識全體，繼而再用一般的結論或方法來解決具體問題.在教學設計一中直接由“高斯算法”過渡到“倒序相加法”是一個思維跨越，學生難以完成，產(chǎn)生了困惑.教學設計三仍有“倒序相加”揭示不充分、不自然的感覺.設計一個適合學生認知的自然的知識發(fā)展過程：歸納－猜想－證明，讓學生歷經(jīng)觀察、歸納、猜想、證明，結論的探究、方法的探求，體驗了知識創(chuàng)造過程的辛酸苦辣，感悟了數(shù)學本質(zhì).四．知識形成中再創(chuàng)造的合理性在知識形成的過程中，學生創(chuàng)造性思維火花的不斷碰撞和相互啟發(fā)，促進了每位學生思維的發(fā)展，使學生看問題的角度不斷擴大，讓學生經(jīng)歷“再創(chuàng)造與再發(fā)現(xiàn)的過程”.獲得科學發(fā)現(xiàn)的體驗，不僅能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，使學生在感受數(shù)學自然、親切的同時，產(chǎn)生“看個究竟”的沖動，興趣盎然地投入學習，而且也更符合學生的心理特征和認知水平.在教學設計四，學生先計算、、、、，并猜想出等差列前項和的公式，然后利用猜想的結論“”，逆推證明的方法.在這個過程中學生在猜想等差列前項和的公式的時候經(jīng)歷了再創(chuàng)造，雖然利用猜想結論逆推證明方法（倒序相加）也是再創(chuàng)造的過程，但是這個再創(chuàng)造的過程顯得不是特別自然.在教學設計五，學生先計算、、、、，并猜想出等差列前項和的公式，接著利用前面計算過程中的配對法推廣到一般情況，這個再創(chuàng)造的過程顯得很自然，然后反思前面證明過程中，發(fā)現(xiàn)中的的范圍可以擴大成，從而所有項都可以用首項表示，所有項也可以用末項表示：，，倒序相加就水到渠成了，最后直觀上通過梯形面積公式理解公式，很符合學生的認知.五．小結的合理性弗賴登塔爾認為:“數(shù)學知識不是教出來的，而是研究出來的”，數(shù)學教學應以數(shù)學知識為載體，以數(shù)學思想方法為核心，以提高學生能力和素質(zhì)為目的，所以要小結如何暴露知識發(fā)生的思維過程，如何優(yōu)化了學生的思維品質(zhì)，如何提高了創(chuàng)新意識，如何拓寬了數(shù)學視野.在這節(jié)課的教學過程中，不能只簡單小結一下等差列前項和的公式的形式，要小結這幾個方面：（1）類比法的使用；（2）研究問題的基本方法：從特殊到一般；（3）如何抽象概括出結論的；（4）如何抽象出證明方法（配對法）；（5）如何反思，再創(chuàng)造出新的證明方法（倒序相加）；（6）如何幾何解釋求和公式等等