海南省保亭中學高中數(shù)學314空間向量正交分解其坐標表示教案新人教A版選修21

海南省保亭中學高中數(shù)學選修2-1教課設(shè)計：§空間向量的正交分解及其坐標表示課題：空間向量的基本定理教課目的：1．掌握及其推論，理解空間隨意一個向量能夠用不共面的三個已知向量線性表示，并且這類表示是獨一的；2．在簡單問題中，會選擇適合的基底來表示任一空間向量。教課要點：空間向量的基本定理及其推論教課難點：空間向量的基本定理獨一性的理解教課過程：一、創(chuàng)建情形平面向量基本定理的內(nèi)容及其理解假如e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一直量a，有且只有一對實數(shù)e21,2，a使a1e12e2二、新課講解1、空間向量的基本定理假如三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一直量獨一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使pxaybzc證明：（存在性）設(shè)a,b,c不共面，過點O作OAa,OBb,OCc,OPp過點P作直線PP平行于OC，交平面OAB于點P；在平面OAB內(nèi)，過點P作直線PA//OB,PB//OA，分別與A直線OA,OB訂交于點A,B，于是，存在三個實數(shù)A'x,y,z，使∴OPOAOBOCxOAyOBzOC

e1，存在一個C'CPOBB'P'因此pxaybzc（獨一性）假定還存在x,y,z使px/ay/bz/c∴xaybzcx/ay/bz/c∴(xx/)a(yy/)b(zz/)c0//不如設(shè)xx即xx0∴ayy/bzz/cxxxx∴a,b,c共面此與已知矛盾∴該表達式獨一綜上雙方面，原命題成立（注：上述證明不須給學生講解）由此定理，若三向量a,b,c不共面，那么空間的任一直量都可由a,b,c線性表示，所有空間向量組成的會合就是ppxaybzc,x,y,zR，這個會合可看作是由向量a,b,c生成的，我們把{a,b,c}叫做空間的一個基底，a,b,c叫做基向量。注：空間隨意三個不共面的向量都能夠組成空間的一個基底假如空間一個基底的三個基向量兩兩相互垂直，那么這個基底叫做正交基底．特別地，設(shè)e1、e2、e3為由公共起點O的三個兩兩相互垂直單位向量，稱這個基底為單位正交基底，以e1、e2、e3的公共起點O為原點，分別以e1、e2、e3的方向為x軸、y軸、z軸的正方向成立空間直角坐標系Oxyz。那么，關(guān)于空間隨意一個向量p，必定能夠把它平移，使它的起點與原點O重合，獲得向量OPp。有空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pxe1ye2ze3，我們把x,y,z稱作向量p在單位正交基底e1、e2、e3下的坐標，記作p(x,y,z)推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在獨一的三個有序?qū)崝?shù)x,y,z，使OPxOAyOBzOC有空間向量定理可知，空間隨意一個向量都能夠用不共面的向量表示出來，這能為解決問題帶來方便。三、典例剖析例1（課本例4）如圖，M、N分別是四周體OABC的邊OA、BC的中點，P、Q是MN的三平分點。用向量OA、OB、OC表示OP和OQ。解：OPOMMP1OA2MN1OA2(ONOM)23231OA2(ON1OA)=1OA21(OBOC)232632例2如圖，在正方體OADBCA/D/B/中，，點E是/AB與OD的交點,M是OD與CE的交點，B/D/試分別用向量OA,OB,OC表示OD和OMCA/解：OD/OAOBOCOABC，其例3如圖，已知空間四邊形M對角線OB,AC，M,N分別是對邊OA,BC的中點，點G在線BDE段MN上，且MG2G