第4節(jié)參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

5.4參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)5.4.1參數(shù)估計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)5.4.2假設(shè)檢驗(yàn)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)5.4.1

參數(shù)估計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)時(shí)總體分布的數(shù)學(xué)形式已知，且可以用有限個(gè)參數(shù)表示的估計(jì)問題。參數(shù)估計(jì)一般分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。通常有：

矩估計(jì)法最小二乘估計(jì)法極大似然函數(shù)估計(jì)法參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)：根據(jù)樣本求出參數(shù)的估計(jì)值；區(qū)間估計(jì)：給定一可信度的度量值和一個(gè)區(qū)間，使估計(jì)值以概率的落入給定的區(qū)間，從而求出該區(qū)間端點(diǎn)值的估計(jì)，從而確定區(qū)間。5.4.1

參數(shù)估計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)設(shè)為總體X的概率密度函數(shù)，為未知參數(shù)，為來(lái)自總體X的

樣本值。極大似然估計(jì)法就是求使似然函數(shù)

取得最大值的分別作為未知參數(shù)的估計(jì)值。MATLAB提供了專用函數(shù)與通用函數(shù)。通過(guò)這些函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。格式

binofit(X,N,a)計(jì)算二項(xiàng)分布的參數(shù)估計(jì)，N為二項(xiàng)分布的實(shí)驗(yàn)次數(shù)格式

normfit(X,a)計(jì)算正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)泊松分布的參數(shù)估計(jì)poissfit(X,a)均勻分布的參數(shù)估計(jì)unifit(X,a)指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)expfit(X,a)5.4.1

參數(shù)估計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)1.參數(shù)估計(jì)的專用函數(shù)>>X=binornd(10,0.4,1,6)X=355443>>[di]=binofit(X,10,0.01)d=0.30000.50000.50000.40000.40000.3000i=0.03700.73510.12830.87170.12830.87170.07680.80910.07680.8091

0.03700.7351i的第一列表示區(qū)間的左邊界，第二列表示區(qū)間的右邊界，例如：i的第一行表示置信度

的置信區(qū)間為[0.0370,0.7351]。產(chǎn)生服從二項(xiàng)分布

的

階隨機(jī)矩陣二項(xiàng)分布的參數(shù)估計(jì),置信度為例5.42：計(jì)算二項(xiàng)分布的參數(shù)估計(jì)d為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)i為參數(shù)的區(qū)間估計(jì)>>X=normrnd(3,1,4,7)>>[abcd]=normfit(X)a=2.73012.58303.62922.74352.50122.83223.0284b=0.61420.40930.85050.85911.31481.02521.1622c=1.75281.93172.27581.37650.40911.20101.17913.70753.23434.98264.11054.59334.46354.8776d=0.34800.23190.48180.48670.74480.58070.6583

2.29021.52613.17133.20324.90213.82234.3331例如：c的第一列代表置信度

的置信區(qū)間為[1.7528，3.7075]。例5.43計(jì)算正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)產(chǎn)生服從正態(tài)分布

的

階隨機(jī)矩陣計(jì)算正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)，置信度為

a為參數(shù)

的點(diǎn)估計(jì)b為參數(shù)

的點(diǎn)估計(jì)d為參數(shù)

的區(qū)間估計(jì)c為參數(shù)

的區(qū)間估計(jì)2.參數(shù)估計(jì)的通用函數(shù)函數(shù)：mle功能：實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)格式1：phat=mle(‘name’,X,a)格式2：[phat,pci]=mle(‘name’,X,a)其中，name為分布函數(shù)名，X為樣本數(shù)據(jù)，返回值phat表示指定分布name的最大似然估計(jì)值；參數(shù)a滿足0<a<1，

1-a為置信度。參數(shù)a可以省略，省略時(shí)默認(rèn)值為0.5。格式2的返回值pci表示置信度為1-a的置信區(qū)間關(guān)于name的取值在使用時(shí)可以參考附錄中的附表5-2。2.參數(shù)估計(jì)的通用函數(shù)例5.44分別利用金球和鉑球測(cè)定引力常數(shù)用金球測(cè)定觀察值為：

6.6836.6816.6766.6786.6796.672用鉑球測(cè)定觀察值為：

6.6616.6616.6676.6676.664設(shè)測(cè)定值總體為，和為未知。利用金球和鉑球的觀察值分別計(jì)算和的點(diǎn)估計(jì)和置信度為90%的置信區(qū)間。解：>>X1=[6.6836.6816.6766.6786.6796.672]；>>X2=[6.6616.6616.6676.6676.664];>>[d1,c1]=mle(‘norm’,X1,0.1)

%金球測(cè)定的估計(jì)d1=6.67820.0035c1=6.67500.00266.68130.0081>>[d2,c2]=mle('norm',X2,0.1)%鉑球測(cè)定的估計(jì)d2=6.66400.0027c2=6.66110.00196.66690.0071根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果可知，使用金球時(shí)的均值與均方差的點(diǎn)估計(jì)值分別為6.6782和0.0035，置信度為90%的置信區(qū)間分別為[6.6750,6.6813]和[0.0026,0.0081]。使用鉑球的均值與均方差的點(diǎn)估計(jì)值分別為6.6640和0.0027，置信度為90%的置信區(qū)間分別為[6.6611,6.6669]和[0.0019,0.0071]。5.4.2假設(shè)檢驗(yàn)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)對(duì)于正態(tài)總體而言，一般分為方差

已知和未知兩種情況。設(shè)

是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，且

。零假設(shè)，命令中的m即為這里的

；備則假設(shè)

。當(dāng)方差已知時(shí)，用命令ztest實(shí)現(xiàn)檢驗(yàn)法。Z檢驗(yàn)法:方差

已知關(guān)于

的檢驗(yàn)問題，即假設(shè)數(shù)據(jù)來(lái)自同一正態(tài)總體的獨(dú)立樣本，利用統(tǒng)計(jì)量

來(lái)確定拒絕域。若假設(shè)為真,則Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t檢驗(yàn)法:

方差未知關(guān)于

的檢驗(yàn)問題，即用樣本方差

代替總體方差

作出估計(jì)，采用

為統(tǒng)計(jì)量。若假設(shè)為真,則t服從自由度為t分布。5.4.2假設(shè)檢驗(yàn)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)格式

ztest(X,m,s,a,n)說(shuō)明計(jì)算已知方差的單樣本Z檢驗(yàn)。X是正態(tài)總體樣本，m為欲檢驗(yàn)的均值，s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，a為顯著性水平，t為備擇假設(shè)選項(xiàng)，n只有三個(gè)值：0，1或-1，其中0表示“

”，1表示“>”，-1表示“<”；缺省時(shí)n=0.5.4.2假設(shè)檢驗(yàn)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)格式

ttest(X,m,a,n)

說(shuō)明計(jì)算單樣本均值的t檢驗(yàn)。X是正態(tài)總體樣本，m為欲檢驗(yàn)的均值，a為顯著性水平，n含義同上。

格式

ttest2(X,Y,a,n)

說(shuō)明計(jì)算雙樣本均值的t檢驗(yàn)。X和Y為正態(tài)總體的樣本，a為顯著性水平，n含義同上。5.4.2假設(shè)檢驗(yàn)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)函數(shù)ztest對(duì)應(yīng)的原假設(shè)，其中n的三個(gè)值對(duì)應(yīng)以下三種備擇假設(shè)：若n=0，表示備擇假設(shè)(默認(rèn)雙邊檢驗(yàn))；若n=1，表示備擇假設(shè)(單邊檢驗(yàn)）；若n=-1，表示備擇假設(shè)(單邊檢驗(yàn))。5.4.2假設(shè)檢驗(yàn)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)例5.46某元件的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布

未知?，F(xiàn)測(cè)得16只元件的壽命如下：158280101212224397179264222362168250149260485170是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225（小時(shí)）?5.4.2假設(shè)檢驗(yàn)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)解：分析可知，取a=0.05，n=1。>>X=[158280101212224397179264222362168250149260485170];>>[hbc]=ttest(X,225,0.05,1)%進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)h=0b=0.2477c=198.4996Inf根據(jù)運(yùn)行結(jié)果h=0，接受原假設(shè)，即不能認(rèn)為元件的平均壽命大于225（小時(shí)）。例5.47雙樣本均值差的t檢驗(yàn)函數(shù)ttest2的應(yīng)用。對(duì)兩個(gè)正態(tài)總體樣本均值的差異性檢驗(yàn)，在MATLAB中的程序如下：>>x=normrnd(4,3,1,100);>>y=normrnd(5,2,1,100);>>[hsig]=ttest2(x,y,0.05,0)%計(jì)算雙樣本均值t檢驗(yàn)，顯著性水平為0.05h=1sig=0.0061運(yùn)行結(jié)果的解釋：h=1表示拒絕

，接受

；sig表示假設(shè)x的均值等于y的均值的原假設(shè)意義下較大的概率。5.4.3

應(yīng)用實(shí)例—天氣判別問題

對(duì)于下雨天和非雨天兩類天氣情況收集如下數(shù)據(jù)雨天非雨天濕度差溫度濕度差溫度-1.93.2

0.2

6.2-6.910.4

-0.1

7.55.22.0

0.4

14.67.30.0

2.1

0.86.812.7

-4.6

4.30.9-15.4

-1.7

10.9-12.5-2.5

-2.6

13.11.51.3

2.6

12.83.86.8

-2.8

10.0判別濕度為2，溫度為2的天氣是晴天還是雨天。(2)假設(shè)雨天總體G1、非雨天總體G2均來(lái)自正態(tài)總體,是否可與認(rèn)為非雨天的溫度均值x12的小于雨天的溫度均值x11，而非雨天的濕度均值x21大于雨天的均值濕度x22？

根據(jù)下雨天和非雨天兩類天氣情況收集如下數(shù)據(jù)5.4.3

應(yīng)用實(shí)例—天氣判別問題以G1和G2分別表示兩個(gè)總體，設(shè)它們是取值于

中的隨機(jī)變量,它們的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差矩陣分別為問題：設(shè)有一個(gè)樣本

,問x屬于總體G1還是屬于

總體G2？距離判別法5.4.3

應(yīng)用實(shí)例—天氣判別問題距離判別法是根據(jù)X與G1和G2的距離決定X的歸屬若X與G1

距離小，則X屬于G1

；距離判別法原則:若X與G2

距離小，則X屬于G2

；這里采用馬氏距離距離判別的根據(jù)與原則定義一個(gè)函數(shù)距離判別準(zhǔn)則如果則判斷如果則判斷由確定判別準(zhǔn)則為解：(1)需要計(jì)算數(shù)學(xué)期望m1、m2和協(xié)方差矩陣s1、s2。M文件如下：X1=[-1.90003.2000;-6.900010.4000;5.20002.0000;7.300000;6.8000;12.7000;...0.9000-15.4000;-12.5000-2.5000;1.50001.3000;3.80006.8000];X2=[0.20006.2000;-0.10007.5000;0.400014.6000;2.10000.8000;-4.60004.3000;...-1.700010.9000;-2.600013.1000;2.600012.8000;-2.800010.0000];m1=mean(X1);％求雨天樣本均值m2=mean(X2);％求非雨天樣本均值m1=mean(X1);％求雨天樣本均值m2=mean(X2);％求非雨天樣本均值s1=cov(X1(:,1),X1(:,2));％求雨天樣本協(xié)方差

s2=cov(X2(:,1),X2(:,2));％求非雨天樣本協(xié)方差

x=[2,2];d1=(x-m1)'*inv(s1)*(x-m1);％計(jì)算

與雨天總體Ｇ1的距離

d2=(x-m2)*inv(s2)*(x-m2)';％計(jì)算

與雨天總體Ｇ2的距離

利用MATLAB求解---天氣判別．此時(shí)按距離判別。因此要計(jì)算