線性系統(tǒng)的可控性和可觀性

線性系統(tǒng)的可控性和可觀性摘要：線性系統(tǒng)的可控性和可控性是線性系統(tǒng)最基本的概念。本文從這個基本概念著手，介紹了線性系統(tǒng)的可控標準形和可觀標準形，并且對系統(tǒng)可控性和可觀性的判據(jù)做了詳細的介紹。本文的研究有利于對線性系統(tǒng)可控性和可觀性的知識體系有一個比較好的了解，對進一步學習現(xiàn)代控制理論提供一個扎實的基礎，同時通過對相關知識的歸納總結，為以后的學習研究提供了一個好的方法。通過對其中大量高等數(shù)學的學習與應用，可以提高應用高等數(shù)學解決相關問題的意識與能力。關鍵詞:線性系統(tǒng)；可控性；可觀性LinearsystemcontrollabilityandobservabilityHouShiboLiuYingruiWanglinlinLinHuanAbstact:Controllabilityoflinearsystemsandcontrolisthemostbasicconceptsoflinearsystems.Thispaperstartedfromthisbasicconcept,introducedtheformoflinearsystemcontrollabilityandobservabilityofthestandardnormalform,andthesystemcontrollabilityandobservabilitycriterionforadetaileddescription.Thisstudyisbeneficialtothelinearsystemcontrollabilityandobservabilityofknowledgehaveabetterunderstandingofthefurtherstudyofmoderncontroltheoryprovidesasolidfoundation,throughsummarizedtherelevantknowledgeforthefutureoflearningStudyprovidesagoodmethod.Throughwhichalargenumberoflearningandapplicationofadvancedmathematics,appliedmathematicscanimproveawarenessoftheproblemsolvingandcapacity-related.Keywords:Linearsystem；Controllable；Observability0引言在控制工程中，有兩個問題經常引起設計者的關心。那就是加入適當?shù)目刂谱饔煤螅芊裨谟邢迺r間內將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)控制（轉移）到希望的狀態(tài)上，以通過對系統(tǒng)輸出在一段時間內的觀測，能否判斷（識別）系統(tǒng)的初始狀態(tài)。這便是控制系統(tǒng)的能控性與能觀性問題。控制系統(tǒng)的能控性及能觀性是現(xiàn)代理論中很重要的兩個概念。在多變量最優(yōu)控制系統(tǒng)中，能控性及能觀性是最優(yōu)控制問題解的存在性問題中最重要的問題，如果所研究的系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問題的解是不存在的[1]。1可控性能控性所考察的只是系統(tǒng)在控制作用的控制下，狀態(tài)矢量的轉移情況，而與輸出無關，所以只需從狀態(tài)方程的研究出發(fā)即可。1.1線性連續(xù)定常系統(tǒng)的可控性定義線性連續(xù)定常系統(tǒng)（1）如果存在一個分段連續(xù)的輸入，能在有限時間區(qū)間內，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)，轉移到指定的任意終端狀態(tài)，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的[2]。1.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)線性連續(xù)定常單輸入系統(tǒng)（2）其可控的充分必要條件是由構成的能控性矩陣（3）滿秩，即。否則當時，系統(tǒng)為不能控的。下面來推導系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的條件，在不失一般性的條件下，假設終端狀態(tài)為狀態(tài)空間的原點，并設初始時間為零，即。方程（1）的解為由能控性定義，可得即（4）注意到可寫成（5）將方程（5）代入方程（4）中，可得（6）設那么方程（6）變?yōu)椋?）要是系統(tǒng)能控，則對任意給定的初始狀態(tài)，應能從式（7）解出來，因此，必須保證的逆存在，亦即其秩必須等于。同理，可以證明，對于多輸入系統(tǒng)（8）其能控的充分必要條件是由構成的能控性矩陣（9）滿秩，即。否則當時，系統(tǒng)為不能控的。需要注意的是，對于單輸入系統(tǒng)，陣為的方陣，與的行列式的值不為零是等價的，故可以通過計算的行列式的值是否為零來判斷是否滿秩。而對于多輸入系統(tǒng)，此時為的矩陣，其秩的確定一般的說要復雜一些。由于矩陣和積是方陣，而它的秩等價于的秩，因此可以通過計算方陣的秩來確定的秩[3]。2可觀性控制系統(tǒng)大多采用反饋控制形式。在現(xiàn)代控制理論中，其反饋信息是由系統(tǒng)的狀態(tài)變量組合而成。但并非所有的系統(tǒng)的狀態(tài)變量在物理上都能測取到，于是便提出能否通過對輸出的測量獲得全部狀態(tài)變量的信息，這便是系統(tǒng)的能觀測問題2.1可觀性概念能觀性表示的是輸出反映狀態(tài)矢量的能力，與控制作用沒有直接關系，所以分析能觀性問題時，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)，即（10）如果對任意給定的輸入，在有限的觀測時間，使得根據(jù)期間的輸出能唯一地確定系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)，則稱狀態(tài)是能觀的。若系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都是能觀的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的[4]。2.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀性判據(jù)線性連續(xù)定常系統(tǒng)（11）其能觀的充分必要條件是由構成的能觀性矩陣（12）滿秩，即。否則當時，系統(tǒng)為不能觀的。證明由式（11）可以求得由于我們可得（13）因此，根據(jù)在時間區(qū)間測量到的，要能從式（13）唯一地確定，即完全能觀的充要條件是矩陣滿秩。同樣，對于單輸出系統(tǒng)，陣為的方陣，與的行列式的值不為零是等價的，故可以通過計算的行列式的值是否為零來判斷是否滿秩。而對于多輸出系統(tǒng)，此時為的矩陣，由于矩陣和積是方陣，而它的秩等價于的秩，因此可以通過計算方陣的秩來確定的秩。3可控標準型和可觀標準型由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達也不是唯一的。在實際應用中，常常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間表達式化成相應的幾種標準形式：如約旦標準型，對于狀態(tài)轉移矩陣的計算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控標準型對于狀態(tài)反饋來說比較方便，而能觀標準型則對于狀態(tài)觀測器的設計及系統(tǒng)辯識比較方便。無論選用哪種標準形，其實質都是對系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式進行非奇異線性變換，而且關鍵在于尋找相應的變換矩陣。這樣做的理論依據(jù)是非奇異變換不改變系統(tǒng)的自然模態(tài)及能控性，能觀性，而且只有系統(tǒng)完全能控（能觀）才能化成能控（能觀）標準型，對于一個傳遞函數(shù)為： （14）的系統(tǒng)，可以證明，當其無相消的零極點時，系統(tǒng)一定能控能觀，則可直接由傳遞函數(shù)寫出其能控、能觀標準型[5]。3.1可控標準型當系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式（14），則可直接寫出其能控標準型：（15）如果給定的能控系統(tǒng)是用狀態(tài)空間表達式描述的，且并不具有能控標準型的形式，則可用下面的方法將其化為能控標準型。設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：（16）若系統(tǒng)是完全能控的，則存在線性非奇異變換，（17）（18）其中為系統(tǒng)特征多項式中對應項系數(shù)。使其狀態(tài)空間表達式（16）化為：（19）其中（20）（21）（22）能控的。3.2可觀性標準型當系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式（14），則可直接寫出其能觀標準型：（23）當給定的能觀系統(tǒng)是用狀態(tài)空間表達式描述的，且并不是能觀標準型，同樣可用下面的方法將其變換為能觀標準型。設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為:（24）若系統(tǒng)是完全能觀的，則存在線性非奇異變換，（25）（26）其中為系統(tǒng)特征多項式中對應項系數(shù)。使其狀態(tài)空間表達式（14）化為：其中（27）（28）（29）4結束語運用歸納總結的方式介紹了線性系統(tǒng)的可控性和可觀性的概念，標準形式及他的判據(jù)，并給出了證明的過程。從而可以讓我們對線性系統(tǒng)的能控性的知識體系有一個比較全面的了解，對于學習自動控制的初學者來說是一種較好的方法。在介紹判據(jù)內容時我們歸納了一些比較實用的判斷方法，特別是對于矩陣的秩比較大時，用一般的方法計算就會較復雜，而用上面的新方法則會使計